Учебное пособие: Основні закони динаміки

2. ОСНОВНI ЗАКОНИ ДИНАМIКИ.

1. ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ІНЕРЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ.

Динаміка вивчає рух тiл в зв`язку з силами, що на них діють. Сила, яка діє на тіло, є мірою взаємодії його з оточуючими тілами чи полями.

Основна задача динаміки полягає у визначенні положення тіла в довільний момент часу за відомим початковим положенням тіла, його початковій швидкості та силам, що діють на нього.

В основі динаміки лежать три закони, сформульовані I. Ньютоном у 1687 р.

Першим законом Ньютонаназивають закон інерції, який відкрив ще Г. Галілей. Згідно цього закону тіло, на яке не діють iншi тiла, або перебуває в спокої, або рухається прямолінійно і рiвномiрно. Таке тіло називається вільним, а його рух - вільним рухом або рухом за iнерцiєю.

Вільне тіло є фізичною абстракцією. На практиці розглядають тiла, поставлені в такі умови, коли зовнiшнi дії на них по можливості усунені або практично компенсують одна одну.

Перший закон Ньютона виконується не у всякій системі відліку (СВ). СВ, в якій виконується перший закон Ньютона, називається iнерцiальною системою вiдлiку (IСВ), а сам закон називають законом iнерцiї. В класичній механiцi постулюється, що існує СВ, в якій всі вiльнi тiла рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно або знаходяться в стані спокою. Iнерцiальною СВ є геліоцентрична СВ (система Коперника). Її центр суміщений з Сонцем, а вiсi направленi на три вiддаленi зiрки. Нижче буде показано, що будь-яка СВ, яка рухається відносно IСВ рiвномiрно i прямолiнiйно , теж є iнерцiальною. СВ, пов`язана з Землею, не є IСВ, проте відхилення вiд iнерцiальностi для багатьох задач мале i може не братись до уваги.

Отже, перший закон Ньютона стверджує, що існує СВ, в якій вільне тіло або знаходиться в спокої, або рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.

Закони Ньютона, про які мова йтиме нижче, справедливі лише в iнерцiальних системах вiдлiку.

2. МАСА ТА ІМПУЛЬС.

Властивість тiл чинити опiр спробам привести їх у рух або змінити значення чи напрям їх швидкостi називається iнертнiстю.

Мiра iнертностi тiла називається його масою.

Для кiлькiсного визначення маси введемо поняття ізольованої або замкненої системи. Це така система тiл, на яку зовнiшнi тiла (що не входять в систему) не чинять ніякої дiї. Розглянемо ізольовану систему, що складається з двох м.т. Швидкості точок малi порівняно з швидкістю світла (v<<c). Під час взаємодії м.т. їх швидкості змінюються. Дослід показує, що зв`язок мiж приростами швидкостей м.т. i виражається спiввiдношенням

m₁ D₁ = - m₂ D₂ , (2.1)

де m₁ i m₂ - сталi величини одного знаку, що залежать лише вiд самих м.т. системи. Вони називаються масами м.т.

Якщо ввести еталон маси m_ет , то кiлькiсно масу можна визначити так:

(2.2)

Маса еталона називається кілограм ( кг ).

Розділивши (2.1) на t i переходячи до границі при t0, одержимо:

(2.3)

тобто спiввiдношення мiж масами можна знаходити, порівнюючи прискорення тiл.

В (2.1) фігурує добуток маси м.т. на її швидкість . Ця величина називається імпульсом тiла :

(2.4)

3. ДРУГИЙ І ТРЕТІЙ ЗАКОНИ НЬЮТОНА.

У другому закону Ньютона говориться, що швидкість зміни імпульсу тiла дорівнює силі, яка на нього діє:

(2.5)

Рівняння (2.5) називають рівнянням руху тіла.

Замінимо в (2.5) на Одержимо:

.

Вважатимемо m = const (при v<<c ця умова виконується):

, або . (2.6)

Прискорення, яке набуває тіло під дією сили, прямо пропорційне цій силі i обернено пропорційне масі тіла.

Перепишемо (2.5) наступним чином:

(2.7)

Проiнтегруємо (2.7) вiд моменту часу t₁ до моменту часу t₂ :

, або . (2.8)

Добуток сили на час її дiї (або) називається імпульсом сили. Рiвностi (2.7) та (2.8) - це теж другий закон Ньютона ще в одному виді:

Зміна імпульсу тiла дорівнює імпульсу сили, що діє на тіло.

Уточнимо поняття сили. Силою називають всіляку дію на дане тіло, яка надає йому прискорення або викликає його деформацію. Якщо на тіло діє не одна сила, а декілька ( , , ...), то в (2.5) замість треба підставити рiвнодiйну , тобто векторну суму всіх прикладених до тiла сил (рис.2.1):

(2.9)

Рiвнiсть (2.9) є проявом принципу суперпозиції, в основі якого лежить принцип незалежності дії сил:

Кожна сила надає тiлу одне й те ж прискорення, незалежно вiд того, діють iншi сили на тіло, чи нi.

Одиницею вимірювання сили в СI є ньютон ( Н ); 1 Н - це сила, що тiлу масою 1кг надає прискорення 1 м/с² : 1 Н = 1 (кг м)/с² .

В СГС - системі одиницею сили є дина: 1 дин = 1 (г·см)/с² .

1 Н = 10⁵ дин.

Позасистемною одиницею сили є кiлограм - сила :

1 кгс або 1кГ ; кГ = 9.8 Н.

Будь-яка дія тiл одного на друге носить характер взаємодії: якщо тіло 1 діє на тіло 2 з силою , то i тіло 2 в свою чергу діє на тіло 1 з силою (рис. 2.2).

Третій закон Ньютона стверджує, що сили, з якими тiла діють одне на одне, рiвнi за значенням i протилежні за напрямом:

(2.10)

4. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ

Перетворимо (2.1) наступним чином:

або (2.11)

Назвемо імпульсом системи м.т. векторну суму iмпульсiв окремих м.т. системи: Одержимо:

(2.11')

Нагадаємо, що (2.1) було записано для ізольованої системи двох матеріальних точок.

Отже, повний імпульс ізольованої системи двох м.т. залишається сталим.

Це твердження (i рівняння (2.11) чи (2.11')) називають законом збереження імпульсу для ізольованої системи двох м.т.

Розглянемо тепер систему, що складається з N м.т. Для кожної м.т. запишемо рівняння руху (2.5):

де - внутрiшнi сили, - зовнiшнi сили. Додамо ці рівняння, враховуючи, що внутрiшнi сили згідно третього закону Ньютона зустрічаються попарно i їх векторна сума дорівнює нулю:

;

В дужках стоїть імпульс системи м.т., тому:

(2.12)

(2.12) - це другий закон Ньютона для системи м.т.

Для замкнутої системи тому і

Імпульс ізольованої системи м.т. зберігається, тобто залишається сталим в часі.

Імпульс зберігається i для незамкнутої системи, якщо .

Якщо сума зовнiшнiх сил не дорівнює нулю, але проекція цієї суми на деякий напрямок рівна нулю, то зберігається складова імпульсу в цьому напрямку (тобто проекція імпульсу на цей напрямок):

і

Імпульс системи м.т.може бути представлений у вигляді добутку сумарної маси системи м.т. на швидкість руху центра мас системи:

(2.13)

Центром мас системи називають таку точку C, положення якої задається радiус-вектором :

(2.14)

Для твердого тіла:.

Продиференцiюємо (2.14) за часом i одержимо (2.13):

Підставимо (2.13) в (2.12) :

, або (2.15)

Центр мас системи м.т. рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює сумарній масі всієї системи, i на яку діє сила, що дорівнює геометричній сумі всіх зовнiшнiх сил, що діють на систему.

Це твердження називають теоремою про рух центра мас.

Для ізольованої системи :

Центр мас ізольованої системи або нерухомий, або рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.

Якщо початок вiдлiку помістити в центр мас (система вiдлiку залишиться iнерцiальною, оскільки ), то , і

Центр мас є точка простору, відносно якої повний імпульс ізольованої системи дорівнює нулю.

5. РЕАКТИВНИЙ РУХ.

Розглянемо рух тiла зі змінною масою. Мається на увазі не релятивістська залежність маси тiла вiд швидкості, оскільки мова йтиме про відносно повільний рух тiл, а зміна маси тiла за рахунок втрати чи поповнення ним речовини.

Один з прикладів такого руху - рух ракети. Ракета з великою швидкістю викидає речовину (гази), діючи на неї з великою силою. Речовина, що викидається, з такою ж, але протилежно направленою силою в свою чергу діє на ракету i надає їй прискорення в протилежному напрямі. Якщо зовнiшнiх сил немає, то імпульс системи "ракета - викинута речовина" не змінюється з часом.

Розглянемо загальний випадок, коли на ракету діють зовнiшнi сили. Нехай m(t) - маса ракети в довільний момент часу t , а - її швидкість. Імпульс ракети в цей момент часу дорівнює . Через час dt маса i швидкість одержать прирости i . Імпульс ракети тепер дорівнює . Імпульс газів, що утворилися за цей же час dt, дорівнює dm_{г аз газ} , де dm_{га з} - маса газів, _газ - їх швидкість. Приріст імпульсу ракети дорівнює імпульсу рiвнодiйної зовнiшнiх сил (див. (2.12)):

(m + dm)( + d) + dm_{газ газ} - m = dt.

Розкриємо дужки:

m + md + dm + dm·d + dm_{га з газ} - m = dt

Оскільки dt - мала величина ( dt 0 ), то dm·d - нескінченно мала величина вищого порядку i її можна відкинути; dm_газ = - dm згідно закону збереження маси. Після перетворень одержимо:

md - dm(_газ - ) =dt

Різниця _газ - = _відн - це швидкість витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газової струмини (див.рис.2.3).

(Якщо ракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зі швидкістю _{віднгазсрр} ; _{віднгаз} ).

Отже:

=dt+ (2.16)

Розділимо (2.16) на dt :

(2.17)

За формою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна, а змінюється з часом. До зовнішньої сили додається член , який носить назву реактивної сили:

(2.18)

Якщо маса вiддiляється, то < 0 i вектор протилежний вектору _відн ; якщо маса приєднується, то > 0 i вектор співпадає за напрямком з _відн .

Рівняння (2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінною масою або рівнянням Мещерського (Мещерський I.В. (1859 - 1935)).

Якщо = 0, то з (2.16) одержимо:

Нехай ракета рухається в напрямку, протилежному . Спроектуємо останню рiвнiсть на вісь OY (див. рис. 2.4):

mdv = - v_відн dm;

(2.19)

Будемо вважати, що v_відн стала; тодi розв`язування рівняння (2.19) спрощується:

(2.20)

Значення C визначимо з початкових умов (якщо
v₀ = 0, то початкова маса дорівнює m₀ ), якi пiдставимо в (2.20):

, звiдки .

Таким чином:
або . Остаточно:

(2.21)

(2.21) називають формулою Ціолковського (К.Е. Цiолковський (1857-1935)).

(Застосування (2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень. При v_відн =1 км/c для v₁ =8 км/c матимемо що нереально (потрібні кращі сорти палива). При v_відн =4 км/c (політ в одну сторону)).

6. ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ ГАЛІЛЕЯ.

Розглянемо дві iнерцiальнi системи вiдлiку - i (див. рис. 2.5). Нехай S - нерухома СВ, а S' - рухається відносно S зі сталою швидкістю . Для простоти вважатимемо, що направлена вздовж вiсi OX i в момент часу t₀ = 0 осi координат систем i співпадали. Нехай в момент часу t рухома точка знаходиться в положенні M.

Тоді: .

Припустивши, що час в обох СВ однаковий (абсолютнiсть часу), тобто t=t´, одержимо:

, (2.22)

або в координатній формі:

(2.23)

(2.22) та (2.23) називають перетвореннями Галілея. Крім припущення про абсолютність часу тут використано також припущення про абсолютність довжин: в рiвняннi і вимірюються в різних СВ S i S´. Ці припущення справедливі лише при u << c. При u ≈ c перетворення Галілея повинні бути замiненi більш загальними перетвореннями Лоренца, якi будуть розглянуть пiзнiше.

Візьмемо похідну вiд (2.22) по часу:

(2.24)

(2.24) - це класичний закон додавання швидкостей :

Під час розв`язування задач доводиться розглядати рух тiл відносно різних СВ. При цьому ми будемо користуватися принципом незалежності рухiв, згiдно якому рухи даного тiла відносно різних СВ не залежать один вiд одного. Як приклад можна навести рух тiл, одне з яких кинуто горизонтально, а друге вільно падає без початкової швидкості (див. рис. 2.6).

Візьмемо похідну вiд (2.24) по часу (врахуємо, що ):

тобто: (2.25)

Отже, прискорення якого-небудь тiла в усіх СВ, які рухаються одна відносно іншої прямолiнiйно i рiвномiрно, одне й те ж. Тому якщо одна із систем iнерцiальна, то й iншi також будуть IСВ. Про рiвнiсть (2.25) говорять, що прискорення iнварiантне відносно перетворень Галілея. Можна показати, що сила є функцією тільки iнварiантних величин - рiзницi координат i рiзницi швидкостей точок, що взаємодіють одна з одною. З цієї причини сила також iнварiантна відносно перетворень Галілея.

Тому рівняння другого закону Ньютона в ІСВ S´ має такий же вид, як i в S:

Рівняння механіки Ньютона iнварiантнi відносно перетворень Галілея.

Це твердження називається принципом вiдносностi Галілея.

Іншими словами він звучить так:

всі механiчнi явища в різних IСВ відбуваються однаково, внаслiдок чого ніякими механічними дослідами неможливо встановити, чи нерухома дана СВ, чи вона рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.