Контрольная работа: Расчет математического ожидания и дисперсии
Название: Расчет математического ожидания и дисперсии Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||
1. Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильного набора пароля с первого раза, если: д) на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры Решение: P(A) = n – общее число исходов. Допустим на нечетных местах стоит 0_0_0_0_0 На трех других местах может быть: n0= комбинаций ( 10 цифр, 3 места), если на нечетных местах стоит 1, и т.д. n= n0+n2+…+n0=10∙= m= число благоприятных исходов m=0 P(A) = =0,0001 Ответ: 0,0001 2. Девять карточек, пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом в случайном порядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из последних 4 карточек имеет номер больше 3 Будем использовать классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события , а n – число всех элементарных равновозможных исходов. Сразу вычислим, что - число различных способов разложить карточки. Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Номер больше трех имеют карточки: 4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек. Выбираем на последнее место карточку 6 способами (любую из этих шести), на предпоследнее место карточку 5 способами (любую из оставшихся пяти, одна уже выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами, на четвертое с конца место карточку 3 способами. Получили всего способов разложить последние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь раскладываем оставшиеся 5 карточек 5!=120 способами. Итого получаем 120*360=43200 способов. Тогда вероятность . Ответ: 0,119 3. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается 5 точек. Найти наивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и вероятность именно такого числа точек на отрезке AC Бросается 5 точек n=5 Вероятность попасть на АС для одной точки Р== 0,3 1)-наивероятнейшее число точек, попавших на АС np –q ≤< np +p p= 0,3; q=1-p=0,7 5∙ 0,3-0,7 ≤ < 5∙ 0,3+ 0,3 0,8 ≤ < 1,8 =1 2) Вероятность именно такого числа точек на АС (1)=? Применим формулу Бернулли. (K) = .. ; (1)= ..= ∙0,3 ∙= 5 ∙ 0,3∙ = 0,36 Ответ: 0,36 4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти вероятность того, что не отказал первый элемент, если известно, что отказали какие-то два элемента Решение. =0,2 =0,1 =0,6 - отказ. = 1- =0,8 =0,4- не отказ. Событие А- отказали какие-то два - первый отказал Р()=0,2= (А)=+ 0,2∙0,1∙0,4+ 0,2∙0,9∙0,6=0,116 -первый не отказал Р=0,8= (А)= 0,048 По формуле полной вероятности P(A)=0,2∙0,116+0,8∙0,048=0,0616 Искомую вероятность найдем по формуле Байеса: ()= = Ответ: 0,62 5. Бросаются две игральные кости. Найти для произведения очков на выпавших гранях: математическое ожидание; дисперсию Решение. Введем независимые случайные величины и равные, соответственно, числу очков, выпавших на первой и на второй кости. Они имеют одинаковые распределения:
Найдем математическое ожидание . Найдем дисперсию . Тогда математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равно . Дисперсия суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равна (так как бросания костей независимы): . Ответ: 7; 35/6. 6. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 30 и 4. Найти вероятность того, что Х в 5 испытаниях ровно 3 раза примет значение, заключенное в интервале (29, 31) Решение. Используем формулу , где математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение α=29, β=31. P(29<х<31)=Ф(=Ф(0,25)-(0,25)= Ф(0,25)+Ф(0,25) = 2∙Ф(0,25) = 2∙0,3413∙0,25 = 0,17065 Ответ: 0,17065 7. В порядке серийной выборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10 контейнеров. Каждый контейнер содержит равное количество однотипных изделий, полученных высокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого параметра изделия равна 0,01. Найти: границы, в которых с вероятностью 0,99 заключено среднее значение проверяемого параметра во всей партии, если отобрано 50 контейнеров, а общая средняя равна 5 При беспроводном отборе применяется формула: n= N=1000 n==5 p=0,99 ≈0,98 Подставим: 5= 5= 5000+0,049=98 0,049=98 Т.к. х=5, то интервал 50,14 |