Министерство образования и науки РФ

Хабаровская государственная академия экономики и права

Кафедра высшей математики

Факультет «Финансист»

Специальность: «Финансы и кредит»

Специализация: ГМФ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Вариант № 6

Выполнил: Алепов А.В.

студ. 3ФК курса,

г. Южно-Сахалинск 2006 г.

№6

Привести систему к системе с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив решение в исходную систему:

Решение:

Составим таблицу:

2	7	3	1	6
1	-5	1	3	10
6	-1	-2	5	-2
1	-5	1	3	10
2	7	3	1	6
6	-1	-2	5	-2
1	-5	1	3	10
0	17	1	-5	-14
0	29	-8	-13	-62
1	1	-5	3	10
0	1	17	-5	-14
0	-8	29	-13	-62
1	0	-22	8	24
0	1	17	-5	-14
0	0	165	-53	-174
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Получили систему с базисом:

Здесь , , - базисные неизвестные, - свободное неизвестное. Положим . Получим , , .

Подставим решение в исходную систему:

,

решение найдено верно.

№26

Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второго сорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется 5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта - 27 кг, третьего сорта – 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.

Решение:

1. Решение с помощью симплексного метода.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через х₁ и х₂ выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план составят 2х₁ + 5х₂ и они недолжны превосходить запасов 45 кг:

Аналогично, ограничения по материалу второго сорта

И по материалу третьего сорта:

Прибыль от реализации х₁ изделий А и х₂ изделий В составит

целевая функция задачи.

Получили модель задачи:

Вводом балансовых переменных приводим модель к каноническому виду:

Запишем начальное опорное решение:

Симплекс-таблицу заполняем из коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:

в индексной строке содержатся две отрицательные оценки , наибольшая по абсолютной величине (-7)

В индексной строке содержится отрицательная оценка (-1/3).

в индексной строке нет отрицательных оценок

Так как все оценки положительные записываем оптимальное решение:

При этом плане прибыль от реализации изделий х₁ = 5 и х₂ = 6 составит Z_max = 65; х₄ = 0 и х₅ = 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х₃ = 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.

Получили Z_max = 65 тыс. руб. при .

2. Графическое решение:

Рассмотрим систему линейных неравенств.

Строим область допустимых решений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:

(I),

(II),

(III),

х₁ = 0 (IV), х₂ = 0 (V).

Для построения прямых берем по две точки:

Областью решений является пятиугольник ABCDO.

Затем строим на графике линию уровня

и вектор

или

Теперь перемещаем линию уровня в направлении вектора . Последняя точка при выходе из данной области является точка С – в ней функция

достигает своего наибольшего значения.

Определим координаты точки С из системы уравнений (II) и (III):

Подставим найденные значения в целевую функцию:

.

Т.е. максимальная прибыль от реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.

№46

Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.

Решение:

Модель предыдущей задачи:

Двойственная ей задача имеет вид:

Для предыдущей задачи ее решение: при

Следовательно, по основной теореме для двойственной задачи: при

Проверка:

верно.

№ 66

Решить транспортную задачу.

Решение:

1. Занесем данные задачи в таблицу:

В1	В2	В3	В4	В5
А1	5	8	7	10	3	100
А2	4	2	2	5	6	200
А3	7	3	5	9	2	200
А4	5	7	4	2	5	100
	190	100	130	80	100	600

2. Составляем математическую модель задачи: для этого вводим неизвестные х_ij , которыми являются количество единиц товара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.

ограничения по поставкам

ограничение по потребителям

(,( ограничения по здравому смыслу.

Цель задачи (стоимость всей перевозки) в математической форме:

Задача разрешима, т.к.

.

3. Находим оптимальный план по методу наименьшего элемента

В1	В2	В3	В4	В5
А1	5100	87	76	108	33	100
А2	4-2 +	270-	2130	53	65	200
А3	- 770	+330	52	95	2100	200
А4	520	76	43	280	55	100
	190	100	130	80	100	600

- план невырожденный

Дадим оценку полученному плану методом потенциалов. Каждому поставщику А_i ставим в соответствие число (, называемое потенциалом поставщика; каждому потребителю B_j – число (, называемое потенциалом потребителя. Причем и выбираем так, чтобы в любой загруженной клетке сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е.

Всего занятых клеток m+ n– 1 = 8 (план не вырожденный). Придаем одному из неизвестных значение 0.

Для определения потенциалов составляем систему:

Откуда

Вычисляем оценки для свободных клеток по формуле

и запишем их в левом углу свободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для нее цикл

вдоль которого перемещаем

.

Получаем следующий план перевозок:

В1	В2	В3	В4	В5
А1	5100	85	74	108	31	100
А2	470	20	2130	54	65	200
А3	72	3100	52	97	2100	200
А4	520	74	41	280	53	100
	190	100	130	80	100	600

- план невырожденный

Дадим оценку полученному плану. Всего занятых клеток m+ n– 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение 0.

Для определения потенциалов составляем систему:

Откуда

Вычисляем оценки для свободных клеток и записываем их в левом углу свободных клеток.

Все оценки положительны, значит, план оптимален.

Оптимальный план можем представить в виде

транспортные расходы по этому плану составят

условных единиц.