Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR¹ , имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A₁ <A₂ <…<A_{k +1} , такие, что

а) ;

б) знаки функции D(t) на множествах A₁ , A₂ , …, A_{k +1} перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R¹ . Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x₁ , …, x_k (-¥<x₁ <…<x_k <¥) такие, что

(-1)^k-i f(x_i ) > (-1)^k-i g(x_i ), ;

б) существуют точки y₁ , …, y_k (-¥<y₁ <…<y_k <¥) такие, что

(-1)^k-i f(y_i ) > (-1)^k-i g(y_i ), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , ,, .

Функция f имеет индекс k^- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k⁺ в F, если выполнено и не выполнено .

Через I_k ^- (I_k ⁺ ), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k^- (k⁺ ) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ¥).

Через F_U обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы

, uÎU,

абсолютно сходятся.

В случае положим , fÎF_U , AÌF_U , :

, F_i (A)={F_i (f): fÎA},

, ,

.

Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u₁ (t), …, u_n (t) и u₁ (t), …, u_n (t), u_{n +1} (t) образуют T₊ -системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A₁ , …, A_k – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть

, (1)

где d_i (-1)^{k - i} , и d_i =0, для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0£x₁ <x₂ <…<x_k <¥. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .

Пусть теперь и .

Так как

, (3)

где d_i =(-1)^{n +1- i} , , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством d_{n +1} =1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {f_i }_{i ³ 1} функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f, если

для всех uÎU.

Определение 4. Множество AÌF_U назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .

Множество AÌF_U назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;

2. ;

3. Множества I_k ^- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {f_i }_{i ³ 1} ÌI^- _{k +1} (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система образует T₊ - систему на [0, ¥).

Рассмотрим систему функций , такую, что w_i =u_i для и - T₊ - системы для m³n (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система образует T₊ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {f_j }_{j ³ 1} ÌI_k ^- такая, что . Зафиксируем произвольное f_l .

Если f_l ÎI_k ^- , где k£n+1, то положим f_l ^* =f_l .

Пусть k>n+1 и s={} – (k-1, W) окрестность f_l в I_k ^- .

Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s£k-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в R^{k -1} , содержащее .

Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x₁ , …, x_{k -2} . Условие b_{k -1} =0 противоречит чебышевости системы . Положим b_{k -1} >0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>x_{k -2} .

Имеем

,

где c_l ⁱ – i-ая компонента вектора , и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то m_l >-¥.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

F_{k -1} (f_lp )>F_{k -1} (f_lq )=m_l при p<q и

,

Рассмотрим произвольные f_lp и f_lq , где p<q. Так как , то отношения и невозможны для s£k-2. Отношения и невозможны, так как f_lp , f_lq ÎI_k ^- . Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что F_{k -1} (f_l ^’ )=m_l .

Отношение f_l ^’ ÎI_k ^- невозможно, в силу определения числа m_l и принципа инвариативности области. Отношения f_l ^’ ÎI_m ^- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества I_k ⁺ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {f_i }_{i ³ 1} ÌI_k ⁺ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. I_k ⁺ ÌF_U для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система образует T₊ -систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ¥) функций назовем T₊ ¹ -системой, если она является T₊ -системой, и, кроме того, системы u₁ , …, u_{l -1} , u_{l +1} , …, u_n также являются T₊ -системами для .

Лемма 2. Пусть - T₊ ¹ -система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_i (f) ³ (-1)^n-i F_i (g), .

Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n.

Пусть x₁ , …, x_{p -1} (-¥<x₁ <…<x_{p -1} <¥) – точки перемен знака функции ; x_о =-¥, x_n =¥; . Выберем точки x_{n -1} <x_{n -2} <…<x_p <x_{p -1} так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_i =±1. Из условия следует, что h_n =1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_n ⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T₊ ¹ -система на [0, ¥), то detA>0, detA_n ⁱ >0, . Следовательно, h_n £0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T₊ ¹ -система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j³1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j₁ , такое, что , где r - какая-либо метрика в Rⁿ , и

, .

Выберем j₂ так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W^{( k )} (t)>0 для tÎ[a, b] и ; c₁ , …, c_n – вещественные константы; xÎ[a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов Â_o - всех ФР на [a, b] и В_L – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Â_o , B_L , класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): I_k ⁺ (I_k ^- ) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k⁺ (k^- ); ; - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для aÎ(0,1) и для bÎ(0,1).

Пусть и , где , xÎ[a, b].

Функция Á_s непрерывна слева на [a, b] и Á_s (a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Á_s (x) не убывает по x.

Далее, из s_k Þs при k®¥ следует ÁÞÁ_s . Следовательно, семейства распределений {Á} и {Á} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B₀ (f)<…<B_m (f) (под X<Y (X, YÌR¹ ) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)^j f(x)>0 (или (-1)^{j +1} f(x)>0 при xÎB_j (f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения Á (Á) и для любого Á_m , , функция Á_m - Á (Á_m - Á) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция Á_m - Áимеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x₀ <x₁ <…<x_{n +3} £b такие, что (-1)ⁱ [Á_m -Á] > 0, . Кроме того, Á_m (a)=Á(a)=0. Следовательно, существуют точки y₀ Î[a, x₀ ), y₁ Î[x₀ , x₁ ), …, y_{n +3} Î[x_{n +2} , x_{n +3} ) такие, что функция (-1)ⁱ [m(t) - h_a (t)] возрастает в точке y_i , , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

Á_s (t)=c_i , ,

где , , с₀ = 1.

Очевидно, что последовательности u₀ , …, u_k , , образуют T₊ - системы на [a, b]. Из условия W^{( k )} (t)>0 для tÎ[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u₀ , …,-u_k , также образуют T₊ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Á_m - Á не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_i (f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P₀ (f)=(-¥, infB₁ (f)], P_i (f)=[supB_{i -1} (f), infB_{i +1} (f)],

, P_k (f)=[supB_{k -1} (f), +¥).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{D_a =Á_s - Á :aÎ[0,1]} и {d_b =Á_s - Á :bÎ[0,1]}.

Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция D_a (d_b ) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X₀ (a), …, X_{n +2} (a) (Y₀ (b), …, Y_{n +2} (b)) следующим образом. Если a (b) есть:

1.параметр первого типа, то

X_i (a)=P_i (D_a ), (Y_i (b)=P_i (d_b ), );

2.

3.параметр второго типа, то

X_i (a)=P_i-1 (D_a ), , X₀ (a)=(-¥, infB₀ (D_a )],

(Y_i (b)=P_i (d_b ), , Y_n+2 (b)=(supB_n+1 (d_b ), +¥));

4.параметр третьего типа, то

X_i (a)=P_i (D_a ), , X_{n +2} (a)=[supB_{n +1} (D_a ), +¥)),

(Y_i (b)=P_{i -1} (d_b ), , Y₀ (b)=(-¥, infB₀ (d_b )]).

Таким образом:

(-1)^n-i D_a (t)£0 при tÎIntX_i (a), , (1)

(-1)^n-i d_b (t)³0 при tÎIntY_i (b), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntX_i (a) и (-1)^{n - i} D_a (t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntY_i (b) и (-1)^{n - i} d_b (t)³0 при tÎY.

Заметим также, что X_i (0)=Y_{i +1} (0), X_{i +1} (1)=Y_i (1).

Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR¹ непрерывно, если из g_i ®g⁰ , x_i ®x⁰ , где g⁰ , g_i Î[0, 1], x_i ÎZ(g_i ), i³1, следует x⁰ ÎZ(g⁰ ).

Лемма 2. Отображения X_i (a), Y_i (b), непрерывны.

Доказательство. Пусть a_j ®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка X_i (a_j ). Определим a₀ =-¥. Возьмем произвольную точку a₁ сгущения последовательности {a₁ ^{( j )} }_{j ³ 1} . Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_i ^{( j )} }_{j ³ 1} , и {b_i ^{( j )} }_{j ³ 1} , . Положим b_n+2 =+¥.

Итак,

, , (2)

причем -¥=a₀ <a₁ £b₀ £a₂ £b₁ £…£a_n+1 £b_n £a_n+2 £b_n+1 <b_n+2 =+¥.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-i D_a (t)£0 (3)

при tÎ(a_i , b_i ), если a_i ¹b_i .

Из (3) и следует, что a_i ¹b_i , , так как в противном случае функция D_a имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_i (a) следует [a_i , b_i ]ÌX_i (a),. Для любого i из x_j Î[a_i ^{( j )} , b_i ^{( j )} ] и x_j ®x⁰ вытекает, что x⁰ Î[a_i , b_i ]. Следовательно, x⁰ ÎX_i (a).

Непрерывность отображений Y_i (b) доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР и любой точки xÎ[a, b] существует ФР такая, что Á_v (t)³Á_s (t) (Á_v (t)£Á_s (t)) в некоторой окрестности точки x.

Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎY_i (0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d₀ £0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎY_i (0).

Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏY_i (1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎY_i (b^¢ ). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {b_j }_{j ³ 1} такая, что xÎY_i (b_j ) и b_j ®b¢. Пусть для некоторого b_l не существует такого k, что n-k четно и xÎY_k (b_l ). Тогда в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех b_j , j³1, существует k_j такие, что n-k_j четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎY_m (b_j ) для бесконечного числа элементов последовательности {b_j }. По лемме 2 xÎY_m (b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎY_i (b¢).

б) Предположим, что xÎY_i (1)=X_{i +1} (1). Пусть a¢=inf{a:xÎX_{i +1} (a)}. Согласно лемме 2, xÎX_{i +1} (a¢). Если a¢=0, то xÎX_{i +1} (0)=Y_{i +2} (0). Это противоречит условию xÎX_{i +1} (a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При x¹Y_{n +2} (1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть xÎY_{n +2} (1). Так как Y_{n +2} (1)ÌY_{n +1} (1), то xÎY_{n +1} (1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Y_{n +1} (1), так как в этом случае множества Y_{n +1} (1) и Y_{n +2} (1) совпадают, что невозможно. Так как xÎY_{n +1} (1) и не совпадает с левым концом отрезка Y_{n +1} (1), то d₁ (t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что Á_s -Á_n £0 в некоторой окрестности точки x. Случай Á_s -Á_n ³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Á_s (x) и Á_s (x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=Á_s (x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á. Выберем подпоследовательность последовательности {s_i }, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что Á_s (x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Á_s (x)-Á_s (x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Á_s . Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á (x¢)-Á_s (x¢)½<e¤2, из которого следует, что Á_s (x¢) - Á (x¢)<e, j>N. Так как Á (x¢) £Á (x), то Á_s (x) - Á (x)<e, откуда следует Á_s (x) - d£e. Последнее неравенство влечет Á_s (x)=d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥ )

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u₀ º1 на [0, ¥) функций образуют T₊ -системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

- моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

1⁰ . Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Â_х решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Â_х ={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x₁ <x₂

(1)

Предположим, что для любого x>0 Â_х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

(-замыкание множества XÌRⁿ ),

где I_i ^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в Â.

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

(2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l₁ >0, …, l_n >0, l_{n +1} >0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс Â_x является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где , () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Â_x .

Так как ФР имеет индекс (n+1)^- в Â и , то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].

2⁰ . Второй подход продемонстрируем на примере класса Â₀ всех ФР на [0,¥).

Лемма 2. Если u₀ , u₁ , …, u_n – T₊ -система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T₊ -системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции u_j (t) и au_j (t)+bu_j (t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения u_j (t)=0. Рассмотрим уравнение

au_j (t)+bu_j (t)=0, t>x. (3)

Уравнение (u_i (t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.

Пусть , .

Допустим, что не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {t_i }_{i ³ 1} , {t_i }_{i ³ 1} , удовлетворяющие условиям:

а) t_k ®¥,t_k ®¥ при k®¥;

б) , ;

в) t₁ <t₁ <t₂ <t₂ <…<t_m <t_m <… .

Пусть cÎ(A, B).

Из-за непрерывности функции на (x, ¥) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).

Выберем 0£j₀ £n так, чтобы для всех и обозначим .

Пусть число t₀ таково, что при t>t₀ .

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v₀ , v₁ , …, v_n и v₀ , v₁ , …, v_n , W являются T₊ -системами на [0, ¥).

Предположим, что эти системы являются T₊ -системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t₀ <t₁ <…<t_{n -1} <t_n <¥

, ,

где .

Через обозначим множество ФР sÎÂ₀ , для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть - моментное пространство класса относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем .

Таким образом, - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (sÎÂ₀ ^U )

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .

Таким образом, задача в классе Â₀ сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

r - величина скачка функции в точке ¥.

Литература

1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.