Задача 1

Задано величини напруги на вхідних затисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).

Рис. 1.0

Вихідна схема

Дано:

U = 100 В; R₁ = 10 Ом;

R₂ = 20 Ом; R₃ = 7 Ом;

R₄ = 8 Ом; R₅ = 10 Ом;

R₆ = 20 Ом; R₇ = 10 Ом;

R₈ = 5 Ом; R₉ = 5 Ом.

Визначити: струми в вітках.

Рішення:

Рис. 1.1

Проставимо напрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d. Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола U_ав , U_cd .

Схему перетворимо до еквівалентного опору.Опори R₇ , R₈ і R₉ з'єднані послідовно і еквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R₇₈₉ = R₇ + R₈ + R₉ = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1).Опори R₆ і R₇₈₉ з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R_6-9 = R₆ · R₇₈₉ /( R₆ + R₇₈₉ )=20·20/(20+20)= 10 Ом (Рис. 1.2).

Опори R₅ і R_6-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd): R_cd = R₅ · R_6-9 /( R₅ + R_6-9 ) = 10·10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R₁ R₁ R₂ R_3-9

Опори R₃ , R_cd і R₄ з'єднані послідовно і їх еквівалентний опір:

R_3-9 = R₃ + R_cd + R₄ = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).

Опори R₂ і R_3-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола ав): R_ав = R₂ · R_3-9 /( R₂ + R_3-9 ) = 20·20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).

Еквівалентний опір усього кола (опори R₁ і R_ав з'єднані послідовно):

R_екв = R₁ + R_ав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).

Струми визначаємо за допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.

Сила струму на вході кола:

I₁ = U/R_екв = 100/20 = 5 А.

Напруга на паралельній ділянці ав:

Uав = I₁ ·R_ав = 5·10 = 50 В.

Сила струму: I₂ = Uав/R₂ = 50/20 = 2,5 A.

Сила струму: I₃ = I₄ = Uав/R_3-9 = 50/20 = 2,5 А.

Напруга на паралельній ділянці cd:

Ucd = I₃ ·R_cd = 2,5·5 = 12,5 В.

Силаструму: I₅ = Ucd/R₅ = 12,5/10 = 1,25 A.

Силаструму: I₆ = Ucd/R₆ = 12,5/20 = 0,625 A.

Силаструму: I₇ = Ucd/R₇₈₉ = 12,5/20 = 0,625 A.

Перевірка правильності рішення по першому закону Кірхгофа.

Вузол а: I₁ – I₂ – I₃ = 0; 5 – 2,5 – 2,5 = 0.

Вузол c: I₃ – I₅ – I₆ – I₇ = 0; 2,5 – 1,25 – 0,625 – 0,625 = 0.

Задача 2

Дані всі ЕРС і опори в схемі (рис. 2.1). Потрібно:

1. Скласти рівняння Кірхгофа (не вирішуючи).

2. Перетворити пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми віток методами контурних струмів і двох вузлів.

3. Скласти баланс потужностей.

4. Побудувати потенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.

Рис.2.1

Вихідна схема

Дано:

E₁ = 60B,

E₂ = 40 Ом,

R₁ = 8 Oм,

R₂ = 10 Oм,

R₃ = 12 Oм,

R₄ = 16 Oм,

R₅ = R₆ = R₇ = 30 Oм

Рішення:

1. Довільно проставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обраних контурів.

Складаємо рівняння за законами Кірхгофа.

Перший закон.

Для вузла 1 I₇ + I₅ - I₁ = 0.

Длявузла 2 I₂ - I₆ - I₅ = 0.

Длявузла 3 I₃ + I₆ - I₇ = 0.

Другий закон.

Для контуру А E₁ + E₂ = I₁ ·R₁ + I₂ ·R₂ + I₅ ·R₅ .

Для контуру В E₂ = I₂ ·R₂ – I₃ ·(R₃ + R₄ ) + I₆ ·R₆ .

Для контуру С 0= I₇ ·R₇ – I₅ ·R₅ + I₆ ·R₆ .

2. Перетворимо пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).

Рис.2.2. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку

Так як опори трикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові і рівні:

Рис.2.3. Розрахункова схема

Опори віток (рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:

R₁ ^/ = R₁ + R₅₇ = 8 + 10 = 18 Ом;

R₂ ^/ = R₂ + R₅₆ = 10 + 10 = 20 Ом;

R₃ ^/ = R₃ + R₄ + R₆₇ =

=12 + 16 + 10 = 38 Ом.

1. Визначимо струми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурні рівняння.

E₁ + E₂ = J₁ ·(R₁ ^/ + R₂ ^/ ) + J₂ · R₂ ^/ .

E₂ = J₁ ·R₂ ^/ + J₂ ·(R₂ ^/ + R₃ ^/ ).

Підставимо чисельні значення.

100 = J₁ ·38 + J₂ ·20.

40 = J₁ ·20+ J₂ ·58.

Контурні струми знаходимо за допомогою методу визначників.

J₁ = ∆₁ /∆ = 5000/1804 = 2,77.

J₂ = ∆₂ /∆ = - 480/1804 = - 0,266.

Визначимо струми в вітках.

I₁ = J₁ = 2,77 A; I₂ = J₁ + J₂ = 2,77 – 0,266 = 2,504 A.

I₃ = - J₂ = - 0,266 A.

Знак мінус свідчить про те, що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.

2. Визначимо струми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузлову напругу.

g₁ , g₂ , g₃ – провідності відповідних віток.Далі визначимо струми в вітках.

I₁ = (E₁ +U_АВ )/ R₁ ^/ = (60- 10,11)/18 = 2,77 A.

I₂ = (E₁ -U_АВ )/ R₂ ^/ = (40 + 10,11)/20 = 2,505 A.

I₃ = -U_АВ / R₃ ^/ = -10,11/38 = - 0,266 A.

3. Складемо баланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бути дорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Р_{сп о ж} = Р_нагр .

E₁ · I₁ + E₂ · I₂ = I₁ ² · R₁ ^/ +I₂ ² · R₂ ^/ + I₃ ² ·R₃ ^/ .

60 · 2,77 + 40 ·2,505 = 2,77² · 18 + 2,505² · 20 + 0,266² · 38.

266,4 = 266,3.

Погрішність розрахунків:

Точність розрахунку досить висока.

4. Для побудови потенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявши потенціал точки В рівним нулеві.

j_B = 0; j_Ñ = j_B E₁ = - 60 B; j_À = j_C + I₁ ·R₁ = - 60 + 2,77·18 = - 10,14 B; j_D = j_À + I₂ ·R₂ = -10,14 + 2,505·20 = 40 B; j_B = j_D –E₂ = 0.

Рис.2.4. Потенційна діаграма

Задача 3

По заданих величинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гц при амплітуді U_м і початковій фазі φ_u :

1. Показання приладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).

2. Побудувати в масштабі векторну діаграму напруг і струму.

3. Записати миттєві значення напруги і струму на вході кола:

i = I_м ּ Sin(ω·t + φ_i )

и

U = U_м ּ Sin(ω·t + φ_u ).

Рис.3.1. Розрахункова схема.

Дано:

U_м =100 В, φ_u = 10^о ;

R₁ =20 Ом, R₂ =25 Ом;

L₁ = 63,8 мГн; С₁ = 100 мкФ.

Рішення:

Діюче значення напруги (показання вольтметра):

U = U_м /1,41 = 100/1,41 = 70,71 В.

Миттєве значення напруги:

U = 100 ּ Sin(ω·t + 10^о ).

Опори:

X_L1 = ω·L₁ = 2·π· f · L₁ = 2·π· 50 ·63,8·10^-3 = 20 Ом.

X_С1 = 1/(ω·С₁₎ = 1/(2·π· f ·З₁ ) = 1/(2·π· 50 ·100·10^-6 ) = 32 Ом.

Модуль повного опору кола:

z = [(R₁ + R₂ )² + (X_L1 – X_C1 )]^0,5 = [45² + (-12)² ]^0,5 = 46,57 Ом.

Зсув фаз між струмом і напругою:

φ = arc tg (X_L1 – X_C1 )/(R₁ + R₂ ) = arc tg(-12/45) = - 14,93^o .

Модуль струму в колі (показання амперметра):

I = U/z = 70,71/46,57 = 1,52 А.

Амплітудне значення струму:

I_м = I·1,41 =1,52 · 1,41 = 2,15 А.

Початкова фаза струму:

φ_i = φ_u – φ = 10^o + 14,93^o = 24,93^o .

Миттєве значення струму:

I = 2,15 ּ Sin(ω·t + 24,93^о ).

Активна потужність у колі (показання ватметра):

P = I² · (R₁ + R₂ ) = 1,52² · (20 + 25) = 104 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.

U_R1 = I·R₁ = 1,52 · 20 = 30,4 В; U_L1 =I · X_L1 =1,52 · 20 = 30,4 В;

U_R2 = I ·R₂ = 1,52 · 25 = 38 В; U_C1 = I ·X_C1 = 1,52·32 =48,64 В.

Виберемо масштаби. Для струму – довільний. Для напруг – 0,5 В в 1мм. При побудові векторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:

Ủ = Ủ_{R 1} + Ủ_{L 1} + Ủ_{R 2} + Ủ_{C 1} .

Рис.3.2. Векторна діаграма

Задача 4

Задано значення напруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:

1. Визначити струми I₁ , I₂ , I₃ , напругу U₂ і cosj кожної ділянки кола.

2. Обчислити активну, реактивну і повну потужності всього кола.

3. Побудувати в масштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.

Рис.4.1. Розрахункова схема

Дано:

вхідна напруга U=380B;

опори

R₁ =185 Ом, R₃ = 210 Ом, X_L1 = 203 Ом,

X_L3 = 195 Ом,

X_C2 = 200 Ом.

1. Визначимо повні опори віток. Показник оператора в градусах.

Z₁ = R₁ + jX_L1 = 185 + j203 = 274,65 ·e ^{j 47,66} ;

Z₂ = - jX_C2 = - j200 = 200·e ^{- j90} ;

Z₃ = R₃ + jX_L3 = 210 + j195 = 286,57·e ^{j 43} .

Визначимо повний опір паралельної ділянки кола.

Визначимо повний опір усього кола.

Z = Z₁ + Z₂₃ = 185 + j 203 + 186 - j 200 = 371 + j 3 ≈ 371.

Визначимо комплексні значення струмів за допомогою закону Ома.

Повний струм

Спадання напруги на паралельній ділянці кола в комплексній формі.

= 1,024 ·273·e ^{- j 47} = 280 ·e ^{- j 47} .

Струми в паралельних вітках у комплексній формі.

(Перевірка правильності визначення струмів по першому закону Кірхгофа: = 1,024 – 1,024 – j0,955 + j0,955 = 0).

Визначимо Cosφ кожної ділянки кола.

Cosφ₁ = R₁ /Z₁ = 185/274,65 = 0,67; Cosφ₂ = R₂ /Z₂ = 0/200 = 0;

Cosφ₃ = R₃ /Z₃ = 210/286 = 0,73.

2. Визначимо потужності. Комплекс повної потужності всього кола.

=380·1,024 = 390.

Модуль повної потужності всього кола S = 390 (B·A).

Активна потужність усього кола Р = 390 (Вт).

Реактивна потужність усього кола Q = 0 (В·Ар).

- сполучений струм у колі (міняється знак на протилежний у показнику оператора).

3. Для побудови топографічної векторної діаграми (рис. 4.2) знайдемо спадання напруги в комплексній формі на кожнім елементі в вітках кола.

= 1,024 ·185 = 190.

= 1,024 ·195 ·e ^{j 90} = 200·e ^{j 90} .

= 280 ·e ^{- j 47} . = 0,955·e ^{- j 90} ·210 = 200·e ^{- j 90} .

= 0,955·e ^{- j 90} ·195·e ^{j 90} = 186.

Виберемо масштаби. Для векторів струмів: 0,1А – 1 см; для векторів напруг: 40В – 1 см. При побудові сполученої векторної діаграми струмів і напруг враховувати закони Кірхгофа.

Рис.4.2. Векторна діаграма

Задача 5.1

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.1). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.1. Розрахункова схема

Дано:

U_л =127 В;

R_ав = 4 Ом;

R_вс = 8 Ом;

R_са = 6 Ом;

X_ав = 3 Ом; X_ав = 3 Ом;

X_вс = 4 Ом; X_са = 8 Ом.

Рішення:

Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_ав = R_ав + j X_ав = 4 + j3 = 5 · e ^{j 36,87} .

Z_вс = R_вс + j X_вс = 8 + j3 = 8,544 · e ^{j 20,556} .

Z_са = R_са + j X_са = 6 + j8 = 10 · e ^{j 53,13} .

Представимо вектори лінійних напруг на комплексній площині, сполучивши вектор напруги Ủ_вс із дійсною віссю комплексної площини (рис. 5.1.1), і запишемо їх у комплексному виді.

.

Рис.5.1 .1. Векторна діаграма напруг

Визначимо фазні струми за законом Ома.

Визначимо лінійні струми за допомогою першого закону Кірхгофа.

= 3,038 + j25,22 + 12,6 + j1,52 = 15,638 + j26,74 = 31 · e ^{j 59,7} .

=13,92 - j5,22 - 3,038 - j25,22=10,882 – j30,44=32,33 · e ^{-j 70,33} .

= -12,6 – j1,52 - 13,92 + j5,22 = - 26,52 + j3,7 = 26,78 · e ^{j 172} .

Визначимо активні потужності у фазах.

Р_ав = I_ав ² · R_ав = 25,4² · 4 = 2580,64 Вт.

Р_вс = I_вс ² · R_вс = 14,86² · 8 = 1766,66 Вт.

Р_са = I_са ² · R_са = 12,7² · 6 = 967,74 Вт.

Визначимо активну потужність усього кола.

Р_ав + Р_вс + Р_са = 2580,64 + 1766,66 + 967,74 = 5315,04 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 5.1.2) виберемо масштаби.

М_U : 3 В в 1 мм. М_I : 0,5 А в 1 мм.

Рис.5.1.2. Векторна діаграма напруг і струмів

Задача 5.2

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.2). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.2

Дано:

U_л =254 В;

R_a = 3 Ом;

R_в = 4 Ом;

R_с = 6 Ом;

X_а = 4 Ом;

X_в = 3 Ом;

X_с = 8 Ом.

Рішення:

Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_а = R_а - jX_а = 3 – j4 = 5·e ^–j53,13 .

Z_в = R_в + jX_в = 4 + j3 = 5 · e ^j36,9 . Z_с = R_c + jX_с = 6 + j8=10·e ^j53,13 .

Рис.5.2.1. Векторна діаграма напруг

Представимо вектори фазних напруг на комплексній площині (рис. 5.2.1), сполучивши вектор напруги з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги

U_ф = U_л /1,73 = 254/1,73 = 147 В.

= 147;

= 147· e ^{- j 120} ;

= 147 · e ^{j 120} .

Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).

Визначимо струм у нульовому проводі за допомогою першого закону Кірхгофа.

=17,64 + j23,52 - 27,04 – j11,53 +5,77 + j13,52 =

= - 3,63 + j25,51 = 25,77 · e ^{j 98,1} .

Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.

Р_а = I_а ² · R_а = 29,4² ·3 = 2593 Вт. Р_в = I_в ² · R_в = 29,4² ·4 = 3457 Вт.

Р_с = I_с ² · R_с = 14,7² ·6 = 1297 Вт.

Р = Р_а + Р_в + Р_с = 2593 + 3457 + 1297 = 7347 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 5.2.2) виберемо масштаби. М_U : 3 В в 1 мм. М_I : 0,5 А в 1 мм.

Рис. 5.2.2. Векторна діаграма напруг і струмів

Задача 5.3

По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.3). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.

Рис.5.3. Розрахункова схема

Дано:

U_л =220 В;

R_в = 3 Ом;

X_а = 15 Ом;

X_с = 10 Ом.

Рішення:

Визначимо повні опори в комплексному виді. Показник оператора в градусах.

Z_а = jX_а = j15 = 15 · e ^j90 . Z_в = R_в = 3. Z_с = - jX_с = - j10 = 10 · e ^{- j90} .

Рис.5.3.1. Векторні діаграми напруг генератора (а) і навантаження (б)

Представимо вектори фазних напруг генератора на комплексній площині (рис. 5.3.1 а), сполучивши вектор напруги генератора Ủ_А з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги

U_ф = U_л /1,73 = 220/1,73 = 127 В.

127; 127· e ^{- j 120} = - 63,5 - j110; 127 · e ^{j 120} = - 63,5 + j110.

Визначимо зсув нейтралі.

Визначимо фазні напруги навантаження (див. рис. 5.3.1 б).

= 127 + 111,23 + j144,17=238,23 + j144,17=278,46 ∙ е ^{j 31,18} .

=- 63,5 - j110 + 111,23 + j144,17=47,73 + j34,17=58,7 ∙ е ^{j 35,6} .

=- 63,5+j110 +111,23+j144,17=47,73 + j254,17=258,6 ∙ е ^j79,4 .

Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).

По першому закону Кірхгофа сума струмів у комплексному виді повинна дорівнювати нулеві.

=9,61 – j15,88 + 15,96 + j11,32 - 25,42 + j4,76=0,15 + j0,2 ≈ 0.

Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.

Р_а = I_а ² · R_а = 18,564² ·0 = 0. Р_в = I_в ² · R_в = 19,57² ·3 = 1149 Вт.

Р_с = I_с ² · R_с = 25,86² ·0 = 0.

Р = Р_а + Р_в + Р_с = 0 + 1149 + 0 = 1149 Вт.

Для побудови векторної діаграми виберемо масштаби. М_U : 4 В в 1 мм. М_I : 0,5 А в 1 мм.

Рис.5.3.2. Векторні діаграми напруг та струмів

Задача 6

До лінії трифазного струму (рис. 6.1) промислової частоти з напругою 380/220В за допомогою рубильників приєднуються споживачі:

а) лампи накалювання загальною потужністю Ра, Рв і Рc на напругу 220В;

в) індуктивні котушки з повним опором Z_ав =Z_вс =Z_са =19(Ом) при фазному куті зрушення Δφ у кожній фазі на напругу 380 В.

Вважаючи рубильники К_i включеними зобразити спрощену схему, а також:

1) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними трикутником, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаної трикутником;

2) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними зіркою, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаною зіркою;

3) накреслити окремо сполучену векторну топографічну діаграму. Сполучену діаграму вичертити крупно на окремому листі;

4) визначити показання амперметрів у схемі і струм нульового проводу, користуючись графічним методом (по сполученій діаграмі).

Рис. 6.1. Схема в загальному виді

Дано: включені рубильники

К₁ , К₂ , К₃ , К₄ , К₅ , К₆ ;

Δφ = 30^о ,

Р_А = 4400 Вт,

Р_В = 2200 Вт,

Р_С = 4400 Вт,

f = 50 Гц.

Рішення:

Розрахункова схема представлена на рис. 6.2.

Задачу вирішуємо розрахунково-графічним методом.

Рис.6.2. Розрахункова схема

1. Модулі фазних струмів трикутника:

I_ав = I_вс = I_са = U_л /Z_ав = 380/19 = 20 А.

Лінійні струми в комплексній формі по першому закону Кірхгофа:

Будуємо векторну діаграму (рис. 6.3), прийнявши масштаби: напруг – 44 В в 1 см; струмів – 5 А в 1 см.

Рис.6.3. Векторна діаграма напруг та струмів

Так як навантаження симетрично, то лінійні струми навантаження, з'єднаної трикутником, однакові і відповідно до масштабу:

I_A∆ = I_B∆ = I_C∆ = 5 (A/см) · 6,93 см = 36,65 А.

2. Модулі фазних (рівні лінійними при з'єднанні зіркою) струми зірки:

I_AY = I_CY = Р_А /U_ф = 4400/220 = 20 А.

I_ВY = Р_В /U_ф = 2200/220 = 10 А.

Будуємо векторну діаграму в тих же масштабах (рис. 6.4).

Рис.6.4. Векторна діаграма

Струм нульового проводу: .

З діаграми відповідно до масштабу: I₀ = 5(A/см)·2(см) = 10 А.

3. Будуємо сполучену векторну діаграму струмів і напруг у тих же масштабах струмів (рис. 6.5), за допомогою якої визначаємо лінійні струми всього кола (показання амперметрів і струм нульового проводу).

Відповідно до першого закону Кірхгофа в комплексній формі:

; ;

З діаграми відповідно до масштабу:

I_A = 5 (A/см)∙ 10,5 (см) = 8,6 А;

I_B = 5 (А/см) ∙ 8,6 (см) = 43 А; I_C = 5 (А/см) ∙ 10,5 (см) = 52,5 А;

I₀ = 5 (А/см) ∙ 2 (см) = 10 А.

Рис.6.5. Сумісна векторна діаграма

Література

1. МорозовА.Г. Электротехника, электроника и импульсная техника: Учеб. пособие для инженерно-экономических специальностей вузов. - М.: Высш.шк.1987.-448с.

2. Электротехника. Учеб. пособие для вузов под ред. Пантюшина В.С.-М.: Высш. шк. 1985.-373с.

3. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.- М.: Энергоатомиздат,1985.-552с.

4. Пантюшин И.С. Сборник задач по электротехнике.-М.: Высш. шк. 1973.-253с.