|
Введение
1. Понятие поверхностного интеграла
2. Свойства поверхностного интеграла
3. Поток векторного поля через поверхность
Заключение
Список литературы
Данная работа посвящена дискретной теории поля.
Цель данной работы рассмотреть дискретную теорию поля.
Задачи:
- Определить понятие поверхностного интеграла.
- Рассмотреть основные свойства поверхностных интегралов.
- Рассмотреть примеры вычисления поверхностных интегралов.
- Рассмотреть поток векторного поля через поверхность, как механический смысл поверхностного интеграла.
Методологической и теоретической основой при написании работы послужила учебная литература и труды отечественных и зарубежных авторов.
1.
Понятие поверхностного интеграла
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1
, S2
,…, Sn
(при этом площадь каждой части тоже обозначим Sn
). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) (Рис. 1).
Выберем в каждой части Si
точку Mi
(xi
, yi
, zi
) и составим интегральную сумму
 .
Если существует конечный предел при  этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi
, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
 .
Разобьем поверхность Sна части S1
, S2
,…, Sn
, выберем в каждой части Si
точку Mi
(xi
, yi
, zi
), и умножим f(Mi
) на площадь Di
проекции части Si
на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы
 ,
не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxzи Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
 и  .
Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
Рассмотрим свойства поверхностных интегралов первого рода:
1.  , где S – площадь поверхности.
2.  , k=const
3. 
4. Если поверхность разделена на части S1
и S2
, то
5. Если  , то 
6. 
7. Теорема о среднем.
Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что
S – площадь поверхности.
Какова бы ни была функция f(x, у, z), определенная в точках поверхности (S) и ограниченная:
 ,
имеет место равенство
в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование другого).
Таким образом, для сведения поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, z их выражениями через параметры, а элемент площади dS— его выражением в криволинейных координатах.
Рассмотрим несколько примеров вычисления поверхностных интегралов.
Пример 1. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы
Решение.
Преобразуем уравнение поверхности к виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл  распространенный на поверхность (S) эллипсоида:
 .
Решение.
Если воспользоваться представлением эллипсоида:
 ,  ,   ,
то элемент поверхности представиться в виде
 .
С другой стороны, подынтегральная функция
 .
По соображениям симметрии вычисление приводится к первому октану, так что
Поток векторного поля через поверхность.
По определению
 .
Каждое слагаемое суммы
 (*)
может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием  ,и высотой  . Если вектор Fесть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающей через площадку ;
за единицу времени в направлении вектора  (Рис. 3).
Выражение  дает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность  в положительном направлении, если под вектором Fподразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .
Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность разбить на части  ,  , ...,  , то
Выразим единичный вектор я через его проекции на оси координат:
 .
Подставляя в интеграл выражения векторов Fи n через их проекции, получим:
Произведение  есть проекция площадки  на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливо и для произведений:
где  ,  , 
проекции площадки на соответствующие координатные плоскости.
На основании этого интеграл записывают также в другой форме:
Пример.
Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).
Решение.
Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:
Вычислим соответствующий поверхностный интеграл:
В данной работе была рассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностного интеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается
 .
Поверхностный интеграл второго рода общего вида:
Далее рассматриваются свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первого типа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисления поверхностных интегралов.
Рассмотрен механический смысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть поток векторного поля F через поверхность . Приведен пример вычисления потока векторного поля через часть плоскости.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: "Наука", 1976. – 544 с.
2. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006. – 410 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: "Наука", 1969. – 656 с.
4. http://matclub.ru/lec3/lec42.htm
5. http://ftoe.ru/list8/du43.htm
|