Контрольная работа: Составление и решение уравнений линейной регрессии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Эконометрика

Липецк 2009

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Решение

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = a + b * x .

Данные, используемые для расчета параметров a иb линейной модели, представлены в табл. 1:

Таблица 1

;

Уравнение линейной регрессии имеет вид: у= 11,78+0,76х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

2. Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1. Дисперсию остатков оценим по формуле:

– стандартная ошибка оценки.Построим график остатков (рис. 1)

Рисунок 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле , т. к. =0,74, d₁ =1,08, d₂ =1,36, т.е. d<d₁ , значитряд остатковсодержит автокорреляцию.

Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:

1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

3) Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии .

4) Вычислим отношение , т. к. F_набл =0,98, F_{кр(α,к1,к2)} = F_{кр(0,05,5,5)} =5,05 (из таблицы критерия Фишера), F_набл <F_кр, то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.

4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента Расчетные значения t‑критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а₁ приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).

Рисунок 2

Табличное значение t‑критерия Стьюдента 2,30. t_расч =6,92, так как t_расч >t_табл , то коэффициент а₁ значим.

5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).

Значение F– критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), F_расч =47,83. Табличное значение F– критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. F_расч >F_табл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у= 11,78+0,76х. Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Х_прогн =Х_max *0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: У_прогн =11,78+0,76*17,6=25,17

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

,

таким образом, прогнозное значение будет находиться между:

Y_{прогн(80 % max )} += 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,

Y_{прогн(80 % max )} – =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.

7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рисунок 3

8. Уравнение гиперболической функции: y = a + b / x . Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х . В результате получим линейное уравнение y = a + b Х. Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3

Таблица 3

,

получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х .

Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*х ^b . Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg a +blgx . Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga . Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:

Таблица 4

Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=10^0,9103 *х^0,3938 .

Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х^0,3938 .

Уравнение показательной кривой: ỹ=а*b^x . Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg a +x*lgb . Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga. Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх . Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5

Таблица 5

Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х . Перейдем к исходным переменным х и у , выполнив потенцирование уравнения:

ỹ =10^1,11 (10 ^0,0161 )^х , ỹ =12,99*1,038^х – уравнение показательной кривой.

Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.

Рисунок 4

9. Коэффициент детерминации:

Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).

Таблица 6

Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R² =0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Задача 2а и 2б

Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.

Задача 2а

Решение.

Запишем систему одновременных уравнений:

у1= b ₁₂ у2+ b ₁₃ у3+ a ₁₂ х2+ a ₁₃ х3

у2= b ₂₃ у3+ a ₂₁ х1+ a ₂₂ х2+ a ₂₄ x4

у3 = b ₃₂ у2+ a ₃₁ х1+ a ₃₂ х2+ a ₃₃ х3

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х4 (табл. 7)

Таблица 7

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х3 (табл. 8)

Таблица 8

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х4 (табл. 9)

Таблица 9

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.

Задача 2б

Решение

Запишем систему уравнений:

у1= b ₁₃ у3+ a ₁₁ х1+ a ₁₃ х3+ a ₁₄ х4

у2= b ₂₁ у1+ b ₂₃ у3+ a ₂₂ х2+ a ₂₄ х4

у3= b ₃₁ у1+ a ₃₁ х1+ a ₃₃ х3+ a ₃₄ х4

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 10)

Таблица 10

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х3 (табл. 11)

Таблица 11

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 12)

Таблица 12

Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e 1

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e 2

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.

Таблица 13. Фактические данные для построения модели

Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

у1= d 11 x 1+ d 12 x 2+ u 1

y 2= d 21 x 1+ d 22 x 2+ u 2 , где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-у_ср и х=х-х_ср . Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d .

Таблица 14

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₁ х₁ =d₁₁ Σx ₁ ² + d ₁₂ Σx ₁ x ₂ ;

Σy ₁ x ₂ = d ₁₁ Σx ₁ x ₂ + d ₁₂ Σx ₂ ² .

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

174,333= 47,333d₁₁ +28,333 d ₁₂

471,333=28,333 d ₁₁ +191,333 d ₁₂ .

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ =2,423, d₁₂ =2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у₁ =2,423х₁ +2,105х₂ + u ₁ .

Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₂ х₁ =d₂₁ Σx ₁ ² + d ₂₂ Σx ₁ x ₂

Σy ₂ x ₂ = d ₂₁ Σx ₁ x ₂ + d ₂₂ Σx ₂ ²

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

131,267=47,333d₂₁ +28,333 d ₂₂

360,767=28,333 d ₂₁ +191,333 d ₂₂ .

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ =1,805, d₂₂ =1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у₂ =1,805х₁ +1,618х₂ + u ₂

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х₂ из второго уравнения приведенной модели:

х₂ =(у₂ -1,805х₁ )/1,618 .

Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₁ =2,423х₁ +2,105 (у₂ -1,805х₁ )/1,618 =2,423х₁ +1,3у₂ -1,115х₁ =1,3у₂ +1,308х₁

Таким образом, b ₁₂ =1,3 а₁₁ =1,308 .

Найдем х₁ из первого уравнения у₁ =2,423х₁ +2,105х₂ приведенной формы:

х₁ =(у₁ -2,105х₂ )/2,423

Подставив это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₂ =1,805 (у₁ -2,105х₂ )/2,423+1,618х₂ =0,745 у₁ -0,868х₂ +1,618х₂ =0,745у₁ +0,75х₂

Таким образом, b ₂₁ = 0,745 а₂₂ =0,75

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

А₀₁ =у_1,ср -b₁₂ у_2,ср -а₁₁ х_1,ср =58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04

А₀₂ =у_2,ср -b₂₁ у_1,ср -а₂₂ х_2,ср =29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83

Окончательный вид структурной модели:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e 1 = 14,04+1,3у₂ +1,308х₁ +e 1 ;

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e 2 = -5,83+0,745у₁ +0,75х₂ + e 2 .