Курсовая работа: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Название: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Курсова робота з математики «Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння» Введення У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики. Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень. 1. Гіпергеометричне рівняння 1.1 Визначення гіпергеометричного ряду Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду де z – комплексна змінна, , , - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ позначає величину ==1 Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи zk маємо = , коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1. Сума ряду F( , , ,z) = , <1 (1.1) називається гіпергеометричною функцією. Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом. Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося інтегральним поданням (1.2) k=0,1,2,.. Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо F( , , ,z) = = = причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності. Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1 = = F( , R( ),R( ), ) На підставі відомого біноминального розкладання =(1-tz)-a (1.3) 0 t 1, <1 тому для F( , , ,z) виходить подання F( , , ,z)= (1.4) R( )>R( ) >0 і <1 Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ). Для z приналежні області , (R – довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки (М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a , безперервної в замкнутій області , , 0 t 1) що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0 інтеграл сходиться Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою F( , , ,z)= (1.5) R( )>R( ) >0; У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань. Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6) F( , , ,z) = + справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде + - = = { - - }= = ( Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F( , , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді суми F( , , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7) де р – ціле позитивне число ( , , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням. Гіпергеометрична функція F( , , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі. Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті. 1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1). 1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії F( , , ,z)= F( , , ,z), (2.1) 2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо F( , , ,z)= = = = = F( +1, +1, +1,z) Таким чином, F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2) 3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей F( , , ,z)= F( +m, +m, +m,z) (2.3) m=1,2,... Покладемо надалі для скорочення запису F( , , ,z)= F, F( 1, , ,z)= F( 1), F( , 1, ,z)= F( 1), F( , , 1,z)= F( 1). Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F. 4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно. ( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, ( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0, (1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0. Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4) ( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)= =( - - ) + (1-z) -( - ) = = {( - - ) + -( - ) - }zk = = {( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1) ( -k-1)k} zk =0, тому що z = = = ( +1)...( +k-1) =( +1)...( +k-1)( +k) =( -1) ( +1)...( +k-2) = ( +1)…(+k-2) =( +1)…(+k-2)(+k-1) =(-1)(+1).......( +k-3) Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом: ( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)= = { ( - -1) +-( - 1) = = { - -1 + + k-( +k-1)}zk =0, (1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)= = { - - +( - ) }zk = { ( + k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1) +( - ) k}zk =0, З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності: ( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7) ( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8) (1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9) ( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)= = {( - - ) + - -( - ) } zk = = {( - - )( +k-1)+ ( + k -1)( +k)- ( +k-1)k -( - )( - 1)}zk =0, ( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)= = {( - -1) +-( - 1) } zk = = { - -1+ ( + k )- ( +k-1)}zk =0, (1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)= = { --+( - ) } zk = { ( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)- ( +k-1)( -1)+k ( - )}zk =0. Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо ( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10) ( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11) і так далі ( - )F- F ( +1)+ F( +1)= = {( - ) + + } zk = = { - - ( +k)+ ( +k)} zk =0. ( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)= = {( - ) -( - ) +( - ) -( - ) } zk = = {( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)- ( - )( +k-1)( -1)}zk =0. Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа. Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є F( , , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12) F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13) F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z)(2.14) F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15) До даного класу ставляться також рівність (1.6) Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій. 1.3 Гіпергеометричне рівняння Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння z(1-z) +[ -( + +1)] - u=0 (2.16) регулярним в околиці крапки z=0. Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках. Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , . Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду u=zs zk (2.17) де s – належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1 u= zk+s = (k+s)zk+s-1 = (k+s)(k+s-1)zk+s-2 Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо z(1-z) ( zk+s +[ -( + +1)z] ( zk+s - zk+s =0, z(1-z) ( zk+s-1 (k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( zk+s-1 (k+s))- zk+s = = ( zk+s-1 (k+s)(k+s-1))- ( zk+s (k+s)(k+s-1))+ ( zk+s-1 (k+s))- - zk+s ( + +1)(k+s))- zk+s = = zk+s-1 (k+s)(k+s-1+ )- zk+s (s+k+ )(s+k+ )=0, звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь s(s-1-)=0, (s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0, k=1,2,..., перше з яких дає s=0 або s=1- Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0 Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення = k=1,2,…, звідки, якщо прийняти =1, треба = k=0,1,2,…, де для скорочення запису уведене позначення = ( +1)…(+k-1), =1,k=1,2,…, У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде u= = F( , , ,z)= zk , <1 (2.18) Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,… = k=1,2,…, звідки, якщо взяти =1 знаходимо = k=0,1,2,..., Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення u= = = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19) <1, Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі u=A F( , , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20) де А и В довільні постійні <1, 2. Подання різних функцій через гіпергеометричну Гіпергеометрична функція F( , , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад, F( , 0, ,z)= zk = =1, тому що =0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0. F( , -2, ,z)= zk = z0 + z+ z2 = =1-2 z+ z2 , тому що =1, =-2, =(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0 і так далі. Перетворення F( , , ,z)=(1-z F( - , - , ,z) - =0 = показує, що гіпергеометрична функція при - =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема, F( , , ,z)= (1-z , (3.1) Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо (1-z)v = F(-v, 1, 1,z) (1-z = F( , 1, 1,z (3.2) (1-z)n = F(-n, , ,z) n=0,1,2,... Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням ln(1-z)= - =-z<1 звідки треба ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) (3.3) Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій: arctg z=zF( ,1, ,-z2 ) (3.4) arcsin z=zF( , , ,z2 ) arctg z= (-1)k =z =z = =z =z =z =zF( ,1, ,-z2 ), тому що =1*2*…*k=k! arcsinz=z+ =z[1+ ]= =z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]= =z[1+ ]=z[1+ =zF( , , ,z2 )... 3. Вироджена гіпергеометрична функція Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z). Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд де z – комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину ==1 сходиться при будь-яких кінцевих z. Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те = 0, коли k . Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума розглянутого ряду F( , ,z)= , 0,-1,-2,…,< (4.1) З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного змінного z. Якщо покласти f( , ,z)= F( , ,z)= , (4.2) те f( , ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C. Думаючи , маємо для досить більших k = Звідси треба, що при заданому z функція F( , ,z) представляє цілуюфункцію й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,… Функція F( , ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер. Зв'язок функції F( , ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням F( , ,z)=lim F( , , , ) (4.3) З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4) F( , ,z)= F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5) і рекурентні співвідношення ( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6) F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7) ( -1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8) ( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9) ( - )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10) ( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11) єднальну функцію F F( , ,z) із двома будь-якими суміжними функціями F( 1) F( 1, ,z) і F(1) F( , 1,z) Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій. ( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)= = {( - -1) + -( -1) }zk = = { - -1+ ( +k)- ( +k-1)} zk = = { - -1+ +k- -k+1)} zk =0 F- F( -1)-zF( +1)= = { - - } zk = = { ( +k-1)- ( -1)-k } zk = = { + k- - - -k } zk =0. Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F( , ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності: F( , ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12) F( , ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13) 4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння z +( -z) - u=0 (5.1) де 0,-1,-2,… u=F( , ,z)= zk = zk-1 = zk-2 Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= = F( , ,z), маємо l( ) = zk-2 +( -z) zk-1 - zk = =[ - ]+[k + -k- ] 0. Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що , і виконаємо підстановку . Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду z +( -z) - =0 с новими значеннями параметрів =1+ , =2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1). Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення ( ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді u= F( , ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2) 0, 1, 2,… Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду G , ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z)(5.3) 0, 1, 2,… Формула (5.3) визначає функцію G , ,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4) G , ,z)= [ - ]= = ( ) Ми маємо = = n=0,1,2,… = = = = , тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо G( , ,z)= G , ,z)= (-1)n+1 [ ] (5.5) n=0,1,2,… Виконавши обчислення, знаходимо: = [ ], = [ ]+ + , звідки для G( ,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6) G( ,n+1,z)= [ ]+ + , n=0,1,2,…,0,-1,-2,…, Тут - логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0. Якщо =-m (m=0,1,2,…),те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження G(-m,n+1,z)= F(-m,n+1,z), (5.7) m=0,1,2,... , n=0,1,2,... З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню G( , ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8) На підставі цієї формули можна визначити функцію G( , ,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності G( ,1-n,z)= G( , ,z)= zn G( +n,n+1,z) (5.9) n=1,2,…, Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G( , ,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (- ,0) і ціла функція й . Покажемо, що функція G( , ,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1). При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження. Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень. З (5.1) треба W{F,G}=C ez . Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо C= W{ F( , ,z),G( , ,z)}= - ez (5.10) 0, -1, -2,…, Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі u = AF( , ,z)+BG( , ,z) (5.11) , 0, -1, -2,…, Функція G( , ,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання: G( , ,z)= - G( +1, +1,z) G( , ,z)= (-1)m G( +m, +m,z) (5.12) m=1,2,... рекурентні співвідношення: G- G( +1)-G( -1)=0, (5.13) ( - )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14) ( -1+z)G - G( -1)+( - +1)G( -1)=0, (5.15) ( +z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16) G( -1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17) ( - -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18) G G( , ,z), G( 1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z) і так далі. Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F. 5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F( , ,z). Ми маємо, наприклад, 1) F( , ,z)= = тому що F(1,2,z)= = , тому що 3) F(-2,1,z)= Висновок Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок: Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій. За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції. У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Література 1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000 2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004 3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003 4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000 5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999 6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005 7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000 8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004 9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000 |