Задача № 1

Имеются следующие данные 25 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции:

Таблица 1.1

С целью изучения зависимости между объемом произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности предприятий подсчитайте:

1) число предприятий;

2) объем произведенной продукции – всего и в среднем на одно предприятие;

3) валовую прибыль – всего и в среднем на одно предприятие.

Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте краткие выводы.

Решение:

1. Произведем группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

1) Определим размах вариации: R = Xmax- Xmin = 800-305 = 495

2) Длина интервала:

Группировку произведем в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Выводы:

Разбив на 5 групп по объему произведенной продукции банки получили, что:

1. Самая многочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самая малочисленная – 1, в неё входит 4 банка.

2. По объему произведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовой прибыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименее эффективна.

Данные показывают, что при увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

Задача № 2

Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:

Таблица 2.1

Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.

Решение:

Для января статистические данные представлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:

= ,

где х - затраты времени на единицу продукции, час.

f - изготовлено продукции, шт.

= час.

Для февраля статистические данные представлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

= ,

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.

=

На заводе №1 в январе затраты времени на единицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затраты времени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.

В среднем по двум заводам затраты времени снизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективности производства на заводах.

Задача № 3

В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

Таблица 3.1

На основании этих данных вычислите:

1. Средний стаж рабочих цеха.

2. Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

3. Коэффициент вариации.

4. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

5. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.

В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Расчет среднего квадратического отклонения

Стаж рабочих, лет	Число рабочих, чел. f	х	xf		()2	()2 f
До 5	5	2,5	12,5	-13,25	175,563	877,813
5-10	10	7,5	75	-8,25	68,0625	680,625
10-15	35	12,5	437,5	-3,25	10,5625	369,688
15-20	25	17,5	437,5	1,75	3,0625	76,5625
20-25	15	22,5	337,5	6,75	45,5625	683,438
св. 25	10	27,5	275	11,75	138,063	1380,63
Итого:	100	-	1575	-	-	4068,75

1. Определим средний стаж рабочих цеха:

= = = 15,75 лет.

2. Определим среднее квадратическое отклонение:

σ = = 6,379 лет.

Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.

3. Определим коэффициент вариации

V = %

4. Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

Δх = t

При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3

σ2= 40,688 - дисперсия признака;

n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка.

Δх = t

Доверительные интервалы для средней будут равны:

– Δх + Δх .

=15,75 лет.4,574 года. или 15,75-4,5715,75+4,57

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.

5. Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:

Δw = t.

При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3;

n = 100 - численность рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка;

Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

25+35 =0,6 или 60%,

100

т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.

Δw = t или 13,9%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

p = w Δw .

p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.

Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.

Задача № 4

Численность населения России характеризуется следующими данными:

Таблица 4.1

Для анализа численности населения России за 2002-2007 гг. определите:

1. Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году.

Полученные показатели представьте в таблице.

2. Среднегодовую численность населения России.

3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.

Постройте график динамики численности населения России.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представим в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста

Годы	На начало года, тыс. чел уi	Абс. приросты, млн.тонн		Темпы роста		Темпы прироста, %
		цепные	базисные (к 2002г)	цепные	базисные (к 2002г)	цепные	базисные (к 2002г)
		yц = уi – yi - 1	yб = уi – y2002	k =	k =	Δkц = kц % – 100	Δkб = k % – 100
1997	148041	265	-265	1,002	0,998	0,2%	-0,2%
2002	148306	-	-	-	-	-	-
2003	147976	-330	-330	0,998	0,998	-0,2%	-0,2%
2004	147502	-474	-804	0,997	0,995	-0,3%	-0,5%
2005	147105	-397	-1201	0,997	0,992	-0,3%	-0,8%
2006	146388	-717	-1918	0,995	0,987	-0,5%	-1,3%
2007	145500	-888	-2806	0,994	0,981	-0,6%	-1,9%

2. Определим среднегодовую численность населения России за 2002-2007 гг.:

За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населения исчислим по формуле средней арифметической простой:

====

147129,5тыс.чел.

где у – уровни ряда

n – число уровней ряда.

3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг.

Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

==,

где n – число цепных темпов роста;

за 2002-2007 гг.: ===0,996 или 99,6%.

Среднегодовой темп роста численности населения России за 2002-2007 гг. равен 99,6 %.

Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляется следующим образом:

Δ = % – 100%=99,6–100=0,4%.

Таким образом, численность населения России за период 2002-2007 гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.

Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 году повысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплоть до 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.

Задача № 5

Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):

Таблица 5.1

Определите среднегодовую стоимость имущества:

1) за I квартал;

2) за II квартал;

3) за полугодие в целом.

Решение:

Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

За I квартал: = = 66 млн. руб.

За II квартал: = = 72,667 млн. руб.

За полугодие в целом: = = 69,333 млн. руб.

Задача № 6

Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:

Таблица 6.1

На основании имеющихся данных вычислите:

1. Для колхозного рынка № 1 (по двум видам товаров вместе):

а) общий индекс товарооборота в фактических ценах;

б) общий индекс цен;

в) общий индекс физического объема товарооборота.

Определите в отчетном периоде прирост товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).

Покажите взаимосвязь начисленных индексов.

2. Для двух колхозных рынков вместе (по картофелю):

а) индекс цен переменного состава;

б) индекс цен постоянного состава;

в) индекс влияния изменения структуры объема продажи картофеля на динамику средней цены.

Решение:

1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:

По товару Картофель: i p = = = 1,033 или 103,3%,

i q = = = 1,063 или 106,3%,

По товару Свежая капуста: i p = = = 0,960 или 96%,

i q = = = 1,267 или 126,7%.

Таблица 6.2

Индивидуальные индексы для товаров колхозного рынка №1

Таким образом:

– цены на картофель выросли в отчетном году на 6,3%;

– объем продаж по картофелю увеличился на 3,3%.

– цены на свежую капусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;

– свежей капусты было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.

а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:

I pq = = = = 1,150 или 115,0%.

Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:

Δpq = –= 98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).

Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.

б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:

I p = = = = 1,148 или 114,8%.

Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:

Δpq(p) = –= 98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.

в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:

I q = = = = 1,001 или 100,1%,

Разность между числителем и знаменателем индекса физического объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных ценах:

Δpq(q) = –= 85,6-85,5 = 0,1 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет увеличения количества проданного товара на 0,1% составил 0,1 тыс. руб.

Связь между изменениями объема товарооборота, количеством продажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:

= или = I pq ,

тогда в нашем примере:

1,148*1,001=1,150

Произведение двух индексов () дает нам показатель динамики товарооборота в фактических ценах (Ipq), то есть за счет роста цен на 14,8% (в абсолютной сумме – 12,7 тыс.руб.) и увеличения объема продаж на 0,1% (в абсолютной сумме – 100 руб.), товарооборот увеличился в отчетном году на 15% (в абсолютной сумме – 12,8 тыс.руб.).

2. а) Индекс цен переменного состава определим по следующей формуле:

==:

или =:==1,0648 или 106,48%.

Средняя цена единицы продукции по двум заводам возросла на 6,48%.

б) Индекс постоянного состава определим по агрегатному индексу цен:

I p = = = = 1,0652 или 106,52%.

Это означает, что в среднем по двум заводам цена единицы повысилась на 6,52%.

в) Индекс структурных сдвигов определим по формуле:

I стр = :

илиI стр = :==0,9995 или 99,95%

Средняя цена единицы по двум заводам снизилась на 0,05% за счет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.

Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:

= или 1,0652 = .

Общий вывод: Если бы происшедшие изменения цен продукции не сопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум заводам выросла бы на 6,48%.

Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвало снижение цен на 0,05%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю цену продукции по двум заводам на 6,52%.

группировка средний прирост дисперсия

Задача № 7

По заводу имеются следующие данные о выпуске продукции:

Таблица 7.1

1.Определить общий индекс физического объема продукции.

2.Определить сумму изменения затрат за счет объема произведенной продукции.

Решение:

1. Определим индивидуальные индексы физического объема товарооборота в таблице:

Таблица 7.2

q = = = = 1,011

Физический объем продукции увеличился на 1,1%.

2. Сумма изменения затрат равна 49110,5-48600 = 510,5 тыс.руб.

Таким образом за счет увеличения физического объема продукции на 1,1% сумма затрат увеличилась на 510,5 тыс.руб.

Задача № 8

Для изучения тесноты связи между объемом произведенной продукции (факторный признак – Х) и балансовой прибылью (результативный признак – У) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

Для расчета межгрупповой дисперсии строим расчетную таблицу 8.1.

Таблица 8.1

Расчет среднего квадратического отклонения

Группы банков по объему произведенной продукции	Число банков n	Сумма прибыли на один банк, млн.руб. У		()2	()2n
305-404	4	15,00	-22,520	507,150	2028,602
405-503	5	28,00	-9,520	90,630	453,152
504-602	6	36,67	-0,853	0,728	4,369
603-701	5	45,60	8,080	65,286	326,432
702-800	5	58,00	20,480	419,430	2097,152
Итого:	25	37,52	4909,707

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

= ==196,388

Для расчета общей дисперсии возведем все значения «у » (валовую прибыль) в квадрат.

Таблица 8.2

Рассчитаем общую дисперсию по формуле:

= – = – 37,522 = 206,73

Тогда коэффициент детерминации будет:

η2 == = 0,950.

Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 95% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 5% – прочими факторами.