Курсовая работа: Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad
Название: Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: курсовая работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Курсовая работа На тему: «Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad » Екатеринбург 2010 1. Краткие теоретические сведения Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка: y( n ) = f (x, y, y’ , y’’ … y( n -1) ) Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных. Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др.Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса. Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y( n ) = f (x, y, y’ , y’’ … y( n -1) ) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения. Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0 ) = y0 , причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0 , y0 ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: y (x) – y (x0
) = Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0 . К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты). Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а* ), которая определяется следующим образом: |a* -a| ≤ Д(a* ) Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом: |(a* -a)/ a* | ≤ д(a* ) Таким образом, эти две погрешности связаны между собой: д(a* ) = Д(a* ) / |a* | Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. 2. Дифференциальное уравнениеПолучить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения. Дано: 2x''+5x'=29cost x(0)= -1 x'(0)=0 2.1 Точное решение операторным методомПусть X(s) изображение, а х(t) оригинал. Продифференцируем левую часть уравнения: 2x''+5x'=5*(s2 *X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0)) Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим: x''-3x'+2x= 2*(s2 *X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2 +5s)+s*2+5 Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа Найдем значение изображения: Given Сопоставим изображению оригинал: Найдем значения функции, построим её график: дифференциальный уравнение эйлер операторный 2.2 Приближенное решение с помощью рядовЗапишем функцию в виде ряда: Найдем производные первого и второго порядков от этой функции: Разложим в ряд правую часть уравнения: Полученные ряды подставим в исходное уравнение: Найдем значения коэффициентов Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции: 2.3 Численное решение методом ЭйлераПерепишем условие следующим образом: x'=z z'+ 5z=29cos t z'=29cos t – 5z Задаём начальные данные: Находим значение x и x' Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график. 2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядкаОпределяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции: 2.5 Расчет погрешности приближенного и численных методовТаблица 1 – Значения функции
Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная погрешность
2.6 Совместное графическое решениеРисунок 1 – Совместное графическое решение Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки. 3. Система дифференциальных уравненийРешить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическое совместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешность решения. Дано: dx/dt=3x + y dy/dt=5/2x – y + 2 x(0)=0 y(0)=1 3.1 Точное решение операторным методомПусть X(s) изображение, для оригинала x(t), Y(s) изображение для оригинала y(t). Перейдем от оригинала к изображению: Найдем значения изображений: Найдем значения функции и построим её график: 3.2 Приближенное решение с помощью рядовПреобразуем систему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее только от x: x''-2x'-11/2x-2=0 Алгоритм решения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частью специального вида, но без необходимости раскладывать правую часть. ВыводыНаименьшую погрешность имеет метод Рунге-Кутты четвертого порядка – для функции x(t) относительная погрешность на десятом шаге составляет 0,036%, для функции y(t) 0,0297%. Наибольшая погрешность у метода Эйлера с шагом 0,1 – для функции x(t) 70,8%, для функции y(t) 51,4%. При изменении шага до 0,01 погрешность существенно уменьшается до 6,6% и 5,3% соответственно. Вывод о влиянии шага на погрешность в методе Эйлера совпадает с выводами решения дифференциального уравнения – большую роль в точности этого метода играет шаг. Можно еще раз подтвердить вывод о том, что точность приближенного метода решения сильно зависит от того, на сколько членов будет разложена дифференциальная функция. |