Контрольная работа: Математические методы оптимизации
Название: Математические методы оптимизации Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание 1. Графическое решение задачи распределения ресурсов · Записать стандартную и каноническую формы. · Найти все базисные и допустимые базисные решения. Определить оптимальное базисное решение. · Найти графически оптимальное базисное решение. Фирма выпускает два вида изделий А и В. Каждое изделие проходит обработку на двух технологических линиях. Известна таблица технологических коэффициентов
РЕШЕНИЕ Запишем стандартную и каноническую формы Обозначим:
Тогда затраты линии 1 и линии 2, необходимые для производства плана План Целевой функцией служит выручка от реализации допустимого плана
Для канонической формы эти ограничения нужно преобразовать в равенства. Для этого введём две дополнительные переменные
Тогда получим каноническую форму задачи: -найти переменные
· Найдём все базисные решения. Полученные ограничения образуют систему двух уравнений с четырьмя неизвестными. Среди бесконечного множества решений этой системы базисные решения получаются следующим образом. Две переменных приравняем к 0. Эти переменные назовём свободными. Значения остальных переменных получаем из решения системы. Эти переменные назовём базисными. Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно. 1) Пусть Следовательно, базисное решение имеет вид
Базисное решение означает, что изделия А и изделия В не производятся. Это базисное решение является допустимым. Выручка от реализации этого плана составит
2) Пусть Следовательно, базисное решение имеет вид
Это базисное решение означает, что изделие А не производится, изделие В производится в количестве 60 ед., время изготовления продукции на линии 1 используется полностью, для производства на линии 2 не хватает 1440 минут работы. Это базисное решение не является допустимым. 3) Пусть для базисных переменных
Это базисное решение означает, что изделие А не производится, изделие В производится в количестве 36 единиц, время изготовления продукции линии 1 используется не полностью и его остаток составляет 768 минут, а на линии 2 используется полностью. Это базисное решение является допустимым. Выручка от реализации этого плана составит 4) Пусть для базисных переменных
5) Пусть для базисных переменных 6) Пусть Отсюда следует, что базисное решение имеет вид · Определим оптимальное базисное решение. Из теории линейного программирования следует, что оптимальное решение можно найти среди допустимых базисных решений. Отсюда следует, что для определения оптимального решения нужно вычислить значения целевой функции на всех допустимых базисных решениях. Оптимальным будет базисное решение, на котором значение целевой функции наибольшее. В таблице 1.1 приведены все допустимые базисные решения и соответствующие им значения выручки двойственный задача равновесный спрос полезность товар Таблица 1.1
Максимальное значение выручки достигается на четвёртом базисном решении в этой таблице Следовательно, изделие А производится в количестве Графическое решение задачи Рассмотрим задачу в стандартной форме: найти переменные при ограничениях На горизонтальной оси прямоугольной системы координат будем откладывать план выпуска продукции Рассмотрим первое ограничение угловая точка
угловая точка
угловая точка
угловая точка Теперь графически найдём точку четырёхугольника Из теорем математического анализа следует, что оптимальное решение следует искать только среди точек границы четырёхугольника Таким образом, точка является оптимальным решением. Максимальная выручка будет равна Задание 2. Двойственная задача · Записать двойственную задачу и дать её экономический смысл. · Найти оптимальное решение двойственной задачи. · Определить целесообразность производства продукции С, для которой на изготовление единицы продукции требуется 60 минут и 50 минут времени изготовления на первой и второй линии соответственно. Рыночная цена составляет 120 ден. ед. за единицу продукции. РЕШЕНИЕ Запишем двойственную задачу и дадим её экономический смысл. Правило построения двойственной задачи состоит в следующем. Каждому равенству прямой задачи соответствует двойственная переменная Стрелки показывают, что первому равенству соответствует переменная Для определения целевой функции
Каждой переменной прямой задачи Аналогично, записываются левые части ограничений для переменной перед переменными В результате двойственная задача имеет вид: найти двойственные переменные при ограничениях Переменные Экономический смысл двойственной задачи: двойственная переменная Тогда целевая функция Выражение Определим величины приведённых стоимостей. Если величина Отсюда следует, что при допустимых теневых ценах Можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Некоторая фирма предлагает производителю продукции продать ей все запасы ресурсов по теневым ценам Найдём оптимальное решение двойственной задачи Из первого задания следует, что допустимое базисное решение является оптимальным решением прямой задачи. По оптимальному базисному решению Из этих равенств найдём оптимальные значения двойственных переменных
Оптимальная теневая цена работы 1 минуты оборудования линии 1 равна Стоимость работы технологического оборудования, затраченных на изготовление единицы изделия А равна
а стоимость работы технологического оборудования, затраченных на изготовление единицы изделия В равна
Приведённые стоимости каждого вида изделия будут раны Отсюда следует, что производство изделий А и В рентабельно. Определим целесообразность производства продукции С, для которой на изготовление единицы продукции требуется 60 минут и 50 минут времени изготовления на первой и второй линии соответственно. Рыночная цена составляет 120 ден. ед. за единицу продукции. Для этого вычислим стоимость ресурсов, затраченных на изготовление единицы продукции С:
Приведённая стоимость этого вида продукции будет равна
Отсюда следует, что производство единицы продукции С принесёт прибыль Задание 3. Функция полезности Пусть функция полезности наборов из двух товаров
· Найти набор товаров, который имеет такую же полезность, как набор · Для набора · В наборе РЕШЕНИЕ 1.Функция полезности имеет вид: Кривая безразличия 2. Найдём частные производные функции полезности Предельная полезность первого товара в наборе
Предельная полезность второго товара в наборе Найдём изменение полезности, если количество первого товара увеличивается на 0,1, т.е.
Следовательно, полезность набора Задание 4. Модель Стоуна Функция полезности потребителя имеет вид
1. Найти равновесный спрос и его полезность, если рыночная цена первого товара 2. Найти функции спроса на оба вида товаров. 3. Найти спрос на оба товара при увеличении дохода на 30 денежных единиц и при уменьшении дохода на 60 денежных единиц. РЕШЕНИЕ 1. Функция полезности потребителя имеет вид
Вычислим равновесный спрос при заданных ценах и доходе. Найдём стоимость минимального набора товаров
Оставшаяся сумма денег
На приобретение первого товара выделяется сумма
На приобретение 2-го товара - сумма
Поделив выделенные средства на рыночные цены товаров, получаем количество товара, приобретаемое сверх установленных нормативов Таким образом, оптимальный спрос составит
Полезность равновесного набора будет равна
2. Найдём функции спроса, заменяя в формулах спроса
Эти формулы определяют спрос на продукцию при любых ценах и доходах. 3. Оценим влияние на спрос изменения дохода обоих товаров. Найдём реакцию спроса на изменение дохода на 1 денежную единицу. Частные производные по доходу Дифференцируя полученные выше функции спроса по М, получаем
Вычислим эти частные производные при заданных
Так как значения частных производных положительные, то оба товара являются ценными: с ростом дохода на 1 денежную единицу спрос на оба товара растёт: спрос на первый товар увеличивается на При увеличении дохода потребителя на 30 денежных единиц спрос на первый товар увеличится на
При уменьшении дохода потребителя на 60 денежных единиц спрос на первый товар снизится на
|