Теорія ліній передачі
1 Електродинаміка напрямних систем. Процеси у провідниках
Процес розповсюдження електромагнітних хвиль поділяється на незалежні процеси: передачу, випромінювання, поглинання. Ці процеси аналізуються за допомогою електродинамічної теорії. Рівняння Максвелла узагальнюють основні закони електродинамічної теорії. Рiвняння Максвелла мають двi форми: інтегральну та диференцiальну. В iнтегральнiй формi цi рiвняння мають такий вигляд:
 ;  ; (1)
де  – струм провідності,  – струм зміщення. Диференційна форма цих же рівнянь.
 ;  ; (2)
 ,  , (3)
З першого рівняння випливає, що діелектрична проникливість середовища є комплексною величиною. Співвідношення дійсної та уявної складових частин, які визначають властивості середовища:
– якщо   , середовище є провідником;
– якщо  , середовище є діелектриком.
Запас енергії електромагнітного поля визначається
 . (4)
Використовуючи рівняння Максвелла можна одержати вираз для зміни енергії поля в замкненому об’ємі
 , (5)
Цей вираз відомий як теорема Умова-Пойнтінга. Перший додаток правої частини (5) є потоком енергії в одиницю часу крізь замкнену поверхню S об’єму V в оточуючий простір, другий додаток визначає енергію всередині об’єму, що перетворилась у тепло.
В залежності від довжини хвилі та середовища розповсюдження електромагнітної енергії розрізняють п’ять режимів передачі:
– статичний;
– стаціонарний;
– квазістаціонарний;
– електродинамічний;
– хвильовий та квазіоптичний.
Статичний режим відповідає процесам електростатики та магнітостатики, відсутні струми провідності та струми зміщення. Уздовж проводів протікає постійний струм, що створює магнітне поле, електричне поле в цьому разі не виникає, тобто  .
Квазістаціонарний режим охоплює діапазон високих частот (до 109 Гц), з’являються струми зміщення, але вони дуже малі, ними можна знехтувати. Ці струми призводять до втрат у діелектрику.
Електродинамічний режим охоплює діапазон надвисоких частот (≈30 ГГц), в цьому разі необхідно враховувати і струми провідності, і струми зміщення. В цьому режимі здійснюється передача хвилеводами.
Квазіоптичний режим охоплює оптичний діапазон електромагнітних хвиль (~1014 Гц). Струми провідності в цьому режимі відсутні, є тільки струми зміщення, як це має місце у світловодах?
В залежності від режиму передачі напрямної системи змінюється права частина першого та другого рівнянь Максвелла (1).
В кожному режимі передачі використовуються ті чи інші закони: Кулона, Ома, Кірхгофа, телеграфні рівняння, закони оптики, але рівняння Максвелла є універсальним для будь-якого режиму.
Режим передачі напрямними системами визначає структуру електромагнітного поля в ній – від найпростішої в статичному та стаціонарному режимах до складної у хвилеводах і світловодах.
Характер розповсюдженя електромагнітних хвиль у НС визначається структурою поля в ній. Ця структура визначає можливість використання того чи іншого спектра частот, що й обумовлює властивості НС. Структура поля визначається класами та типами хвиль. Клас хвилі визначає наявнiсть поздовжніх складових поля, а тип хвилi визначається структурою поля в поперечному перетинi НС.
Під час протікання струму вздовж провідника, в ньому виникають вихорові струми, що витискають струм на поверхню провідника (рис. 1 ).
Рисунок 1 – Явище поверхневого ефекту
Це явище називають поверхневим ефектом (скін-ефектом). Воно збільшує електричний опір при підвищенні частоти, характеризуються глибиною проникнення поля в метал
 . (6)
З поверхневим ефектом пов’язані ефект близкості та ефект дії оточуючих мас, якi посилюють поверхневий ефект, збільшуючи електричний опiр.
2 Параметри передачі симетричного кола. Рівняння однорідної лінії
Якість передачі лініями та колами їх електричні властивості повністю визначаються параметрами цих кіл, які поділяються на первинні та вторинні.
На рис 2 наведена еквівалентна схема двопроводового кола.
Рисунок 2 – Еквiвалентна схема двопроводового кола
До первинних параметрів належать: електричний опір проводів R, Ом/км; індуктивність проводів L, Гн/км; міжпроводова ємність С, Ф/км; провідність ізоляції G, См/км. Ці параметри є погонними, тобто розраховуються, вимірюються та нормуються для лінії довжиною 1км. Індуктивність складається з двох частин − внутрішньої та зовнішної. Внутрішня зумовлена поверхневим ефектом та залежить від частоти. Зовнiшня – визначається конструкцією НС та вiд частоти не залежить.
Вторинні параметри передачі пов'язані з первинними:
− загасання,  дБ/км;
− постiйна фази,  рад/км;
− хвильовий опір, Zхв Ом ;
− швидкість розповсюдження енергії, Vр км/с.
Постійна фази та загасання разом складають постiйну розповсюдження
 , . (7)
Загасання характеризує зменшення амплітуди струму та напруги уздовж лінії, постійна фази змінює фазу. Хвильовий опір − це опір, що зустрічає електромагнітна хвиля під час розповсюдження вздовж однорідної лінії, узгодженої на кінцях, в якій немає відбиттів. Хвилевий опір визначається як відношення напружності електричного поля до напружності магнітного поля в будь-якій точці лінії, тобто Zхв = Е(х)/Н(х).
Лінія передачі − це лінія з розподіленими парметрами, тому струм і напруга в такій лінії пов'язані співвідношеннями:
 . (8)
Вирази (8) дозволяють одержати рівняння як неоднорідної, так і однорідної лінії та встановити взаємоз'язок між первинними і вторинними параметрами передачі. Ці рівняння встановлюють залежність струму, напруги та потужності від довжини лінії. Для однорідної лінії ці залежності такі:
 , (9)
де U0, I0, P0 – напруга, струм та потужнiсть на початку лінії вiдповiдно.
Хвильовий опір − це опір, що зустрічає електромагнітна хвиля під час розповсюдження вздовж однорідної лінії, узгодженої на кінцях, в якій немає відбиттів.
Нижче наведені вирази, що пов'язують первинні та вторинні параметри передачі:
 (10)
Загасання зручно визначити логарифмічною одиницею – непером ( Нп), або децибелом ( дБ). 1Нп = 8,686 дБ. Загасання та постійна фази також є погонними параметрами.
Ці логарифмічні одиниці випливають з закону зміни амплітуди струму, напруги та потужності уздовж лінії (9)
 ;  . (11)
Логарифмуючи та домножуючи на 10 (11) одержуємо
 ; (12)
 . (13)
Відносні логарифмічні одиниці доцільно використовувати при розрахунках ліній. В цьому разі потужність у відносних одиницях визначається як
 .
Введення цих одиниць дозволяє піднесення в ступінь замінити множенням, а множення та ділення – додаванням та відніманням.
3 Передача енергії симетричним колом з урахуванням втрат. Розрахунок параметрів передачі симетричних кіл
Потужність потоку поглинання для циліндричного провідника визначається рівнянням Пойнтінга
 , (14)
де  – активний опір провідників,  – внутрішня індуктивність,
 – подовжня складова електричного поля,  – спряжене значення тангенціальної складової магнітного поля,  – радіус провідника (2).
Отже, визначивши з рівнянь Максвела складові поля та  , можна знайти опір та внутрішню індуктивність провідника як реальну та уявну складові правої частини (14)
 (15)
Повний виклад для визначення та нижче наведені розрахункові формули для визначення опору , Ом/км та внутрішньої індуктивності , Гн/км .
Рисунок 3 – Поле симетричної пари
 , (16)
 , (17)
де  – діаметр провідника, мм;  – відстань між провідниками, мм;  – коефіцієнт вихрьових струмів.
Значення функцій  ,  ,  та  наведені в додатку А.
Вираз (16) складається з трьох складових: опору постійному струму  , опору внаслідок поверхневого ефекту  , та третьої складової, що відображує ефект близкості. Коефіцієнти  і  враховують тип скручування елементарних груп в кабелі. Для всiх скручувань  в залежності від діаметра кабелю, для парного скручування  , для зіркового − , для подвійного парного − .
Зовнішня індуктивність( ), ємність( ) та провідність ізоляції ( ) визначаються такими виразами:
 ; ; , (18)
де  − відносна ефективна діелектрична проникливість,  − тангенс кута діелектричних втрат ізоляції проводів.
Під час розрахунку провідності ізоляції  , крім провідності, обумовленої діелектричними втратами, слід враховувати також провідність, зумовлену протіканням струму через діелектрик  . При розрахунках слід враховувати, що  , тому  . Зовнішня індуктивність значно більше внутрішньої.
Хвильовий опiр та загасання визначаються також геометричними параметрами симетричної пари
 , Ом; (19)
 . (20)
4 Коаксіальна пара
Коаксіальна пара – основа коаксіального кабелю, це направляюча система є закритою, тобто електромагнітне поле не розповсюджується за межі зовнішнього провідника. Внаслідок поверхневого ефекту, робочий струм зосереджується на внутрішній стінці зовнішнього провідника, а струми завад загасають у зовнішньому провіднику (рис 4)
Рисунок 4 – Поле коаксіальої пари
Методика визначення первинних параметрів така ж сама , як і для симетричного кола. Коаксіальні кабелі використовуються на високих частотах (понад 100 кГц). Для цих частот первинні параметри предачі розраховуються за формулами:
− електричний опір для кола з мідними провідниками
 ; (21)
− електричний опір для кола з алюмінієвими провідниками
 ; (22)
− внутрішня індуктивність для кола з мідними провідниками
 ; (23)
− внутрішня індуктивність для кола з алюмінієвими провідниками
 . (24)
Зовнішня індуктивність  та ємність кола визначаються
 ;
 . (25)
Провідність ізоляціі дорівнює  , в коаксіальній парі  .
Вторинні параметри передачі пов’язані з первинними. Хвилевий опір  та загасання на високих частотах доцільно розраховувати за формулами
 ; (26)
для мідних проводів
 , (27)
де  ;  .
В коаксіальній парі iснує оптимальне співвідношення діаметрів провідників. Якщо , то коаксіальна пара має мінімальні втрати в металі (рис. 5). Якщо , то кабель має максимальну пробивну напругу. Якщо , кабелем передається максимальна потужність.
Рисунок 5 − Залежність втрат в коаксіальному колі з мідними провідниками від спiввiдношення дiаметрiв
5 Властивості неоднорідних ліній
Під час виготовлення кабелів внаслідок недосконалості технології виникають різні дефекти, що змінюють структуру електромагнітного поля, а отже і хвильовий опір лiнiї. Лінія стає неоднорідною, в ній виникають відбиття. Однорідність лінії визначається сталістю її хвильового опору вздовж лінії. Схеми однорідної та неоднорідної лінії наведені на рис. 6.
Рисунок 6 − Схема однорідної(а) та неоднорідної(б) ліній
Ступінь неоднорідності лінії визначається коефіцієнтом відбиття в місці розташування неоднорідності
 . (28)
В неоднорідній лінії з’являються відбиті хвилі, що викривляють характеристику власного вхідного опору лінії. Лінія в цьому випадку характеризується не хвилевим опором, а вхідним. Неузгодженість опорів на кінцях лінії призводить до появи кінцевих відбиттів з коефіцієнтом відбиття
лінія енергія передача
 , (29)
де  – вхідний опір лінії,  – власний хвилевий опір лінії.
Дальність зв’язку в неоднорідній лінії визначається не її власним загасанням, а робочим
 , (30)
де  – кілометричне загасання кабелю, дБ/км;  – довжина лінії, км;  – загасання внаслідок відбиття на стиках будівельних довжин кабелю та на кінцях лінії. Внаслідок відбиттів в лінії виникають зворотний та попутний потоки, що приводить до погіршення якості зв’язку.
|