Реферат: Элементы теории представлений
Название: Элементы теории представлений Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат |
Элементы теории представлений 1. Основы теории представлений.Различные представления волновой функции (различные представления состояний) 2. Обозначения Дирака 3. Преобразование операторов от одного представления к другому Введение Для создания новой физической теории необходимо cформулировать систему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическому смыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов с математическим формализмом. Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегрального исчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представлениях физиков о математических основах их науки. Закономерности микромира коренным образом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мы являемся. Одно из основных понятий квантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смысл этого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятия состояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессе изучения. Информацию о состоянии системы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовой системы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измерения характеризуются теми же физическими величинами, которые используются в классической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механике часто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механике физические величины имеют иную математическую природу, чем в классической, потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные "взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классической точки зрения". [1, c31]. В квантовой механике изучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий. Ведь наш язык – это "слепок с обыденного опыта человека, он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент".[1] При изучении явлений, происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходит другой язык – математика. "Математика есть орудие, специально приспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этом отношении ее могущество беспредельно". [1, c13]. "Тем не менее, – считает П. Дирак, – математика есть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к их математической форме". (Там же). Выбор математических методов, адекватных физической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий между понятиями и методами математики и физики способствует формированию современного физического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектов возможно только при их реализации физическими объектами. Для описания квантовых свойств материи может быть использован различный математический аппарат. В 1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году, но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, что обе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механики создана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчас чаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны, могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическим результатам. 1. Основы теории представлений. Различные представления волновой функции (различные представления состояния) Состояния квантово-механической системы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности. Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными. Например, декартовы координаты системы
значения ее импульса и т. п. Буквы, обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс Если волновая функция зависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатным представлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси Волновую функцию
Коэффициенты разложения определяются из выражения (Здесь, как и раньше, Если спектр собственных значений оператора непрерывный, то аналогично имеем Пример 1. Записать скалярное произведение двух функций Компоненты
Подставляем разложение (Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:
Меняя местами знаки суммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственных функций оператора
Чтобы получить такое выражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку
на матрицу-столбец (ΙΙΙ): Матрица (V) транспонирована по отношению к матрице (ΙV) и ее элементы комплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называется сопряженной с 2. Обозначения Дирака Проведена аналогия между собственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатных осей. Продолжим ее обсуждение. Вектор Аналогия между соотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на оси координат в многомерном пространстве. Выражение является разложением Переход от одного представления к другому геометрически означает переход от системы координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора к системе координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта не обязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве. Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитуд вероятности и т. п. Каждая из этих совокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и является одной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в
и т. п. Здесь Данная аналогия привела П. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложил обозначать символом
Внутри скобки
Название «бра» и «кэт» соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка). Волновая функция (амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатов измерений, проводимых над системой. Скобочное выражение Уравнение собственных значений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде: Здесь собственный вектор состояний
Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма. Пусть Представим Подставляем это разложение в: В силу произвольности вектора Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака. Пример. Записать в обозначениях Дирака среднее значение физической величины представленной оператором Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности: Здесь В последнем преобразовании использовано условие полноты Таким образом, в обозначениях Дирака квантовый представление волновой состояние 3. Преобразование операторов от одного представления к другому Пусть оператор Разложим функции
Совокупность амплитуд Умножим левую и правую части этого равенства на
Вводя обозначение получаем Если спектр оператора Таким образом, с помощью набора величин Величины Итак, операторы квантовой механики могут быть представлены в матричной форме. Поскольку в квантовой механике применяются только эрмитовы операторы, удовлетворяющие условию, т о. Такие матрицы называют самосопряженными или эрмитовыми. Таким образом, каждой физической величине соответствует не один, а множество операторов. Вид оператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных. Зная оператор физической величины в одном представлении, можно найти его в других представлениях. Например, если известен вид оператора в Пример. Найти матричные элементы оператора в его собственном представлении. В этом случае С помощью этого уравнения преобразуем выражение для матричного элемента (3.3.4): Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, получаем: Итак, чтобы найти собственные значения оператора, заданного в форме матрицы, нужно привести эту матрицу к диагональному виду. Пример. Записать среднее значение физической величины, представляемой оператором Пусть в выражении волновая функция и оператор заданы в координатном представлении. Перейдем к Совокупность где Вопросы для самопроверки 1. Что называют индексом состояния? индексом представления? 2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении? 3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении? 4. Определите понятие матричного элемента оператора. 5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении? 6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между 7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией? 8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в 9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению? 10. Записать в матричной форме (в Упражнения 3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении. Решение.
Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси
В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:
В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением
Где - собственная функция оператора
Подставляем это выражение в левую часть равенства (I):
Множитель
Получаем:
Пользуясь этим соотношением, преобразуем правую часть равенства (III):
При интегрировании по
так как
Так как
правую часть соотношения (V) можно переписать в виде Используя свойство Учитывая сделанные преобразования, переписываем равенство (V): Сравнивая это выражении с соотношением (I) получаем Способ 2. В матричной форме оператор координаты в импульсном представлении является бесконечной непрерывной матрицей с матричными элементами: Здесь Подставляя значение функции в формулу для матричного элемента, получаем Соотношение показывает как оператор в матричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второе слагаемое преобразовываем, используя свойство Поэтому Следовательно, координате 4. Задания, для контрольной проверки знаний I. Проверить, коммутируют ли приведенные ниже операторы? 1. 2. 3. 4. 5. II . Найти операторы, сопряженные с приведенными ниже. Определить какие операторы являются эрмитовыми. 1. 2. 3. 4. 5. III . Доказать: 1. если операторы 2. если операторы 3. если операторы 4. если операторы 5. если оператор IV . 1. Найти собственные функции и собственные значения оператора
если
где 2. Найтисобственные функции и собственные значения оператора (Оператор задан в сферических координатах). 3. Найтисобственные функции и собственные значения оператора (Оператор задан в сферических координатах). 4. Найти собственные функции и собственные значения оператора
если 5. Найти собственные функции и собственные значения оператора V
. 1. Вычислить среднее значение
2. Вычислить среднее значение кинетической энергии линейного гармонического осциллятора, если состояние его описывается функцией
3. Волновая функция состояния частицы имеет вид
где 4. В некоторый момент времени частица находится в состоянии
где 5. Найти среднее значение физической величины, представляемой оператором
если состояние частицы описывается функцией VI . Определить возможные значения физической величины, представляемой оператором и их вероятности для системы, находящейся в состоянии: 1. 2. 3. 4. 5. (Оператор задан в сферических координатах) Литература 1. Дирак П. Принципы квантовой механики.– М: Наука, 1979. 2. Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник.– Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998. 3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983. 4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. 6. Юхновський І.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995. 7. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2. 8. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-во иностр. лит., 1959. 10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1. 11. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991. 12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981. 13. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970. 14. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, М.:1982. [1] Бор.М. Атомная физика. – М.: Мир, 1965, с 119 |