Основи теорії сигналів
Спектральний метод аналізу, заснований на поданні сигналу у вигляді суми (або інтегралу) гармонічних складових (гармонік) і подальшому розрахунку проходження кожної з гармонік через коло. Вихідний сигнал знаходиться на основі принципу накладання у вигляді суми відгуків на кожну з гармонік вхідного сигналу. Сукупність гармонік, на які розкладаються сигнали, називається їх спектрами.
Вивчення спектрів розпочинається з періодичних імпульсних відеосигналів.
Імпульсними називаються струми і напруги кінцевої енергії, миттєві значення яких відмінні від нуля впродовж деякого (як правило, досить невеликого) інтервалу часу.
Періодичні послідовності імпульсів (рис. 1) відносяться до періодичних несинусоїдних процесів і знаходять широке використання в радіоелектроніці.
Рисунок 1 – Періодична послідовність імпульсів
Періодичні послідовності імпульсів характеризуються їх формою, тривалістю  ,  періодом повторення  (або частотою   ), висотою (максимальним значенням) – .
Тривалість імпульсів  знаходять на деякому рівні від висоти (у границі на нульовому рівні), або як інтервал часу, в якому міститься визначена потужність імпульсу (зазвичай 90 або більше).
Інколи вводиться також вторинний параметр – щілинність:
  .
Періодична послідовність імпульсів, описується функцією , яка задовольняє умови Діріхле і може бути подана нескінченим рядом (рядом Фур’є) гармонік з частотами, кратними частотам слідування  ,  :
 , (1)
де  – комплексна амплітуда  -ї гармоніки, – постійна складова імпульсів (середнє значення).
Сукупність амплітуд гармонік  називають спектром амплітуд або амплітудно-частотним спектром (АЧС).
Сукупність початкових фаз  називають спектром фаз або фазочастотним спектром (ФЧС).
АЧС і ФЧС зображують у вигляді графіків, в яких за віссю абсцис відкладають частоту ( або  ), а за віссю ординат – амплітуди гармонік у АЧС і початкові фази у ФЧС (рис. 2). Властивістю спектра періодичного коливання є поступове зменшення амплітуд гармонік зі зростанням їх частоти. Це дозволяє оперувати з нескінченними межами сум у (1), а з сумами обмеженими  . Кожній парі ординат графіків АЧС і ФЧС відповідна частота однієї з гармонік, тобто  , , повністю визначають параметри цієї гармоніки. Наприклад, на рис. 3 побудована у функції часу друга гармоніка спектра з частотою  , амплітудою  і зсувом максимуму косинусоїди вправо (відносно  ) на відрізок часу пропорційний  .
Оскільки середня потужність періодичного сигналу є сумою потужностей гармонічних складових сигналу і потужності сталої складової, ширина спектра визначається частотою коливання з амплітудою , яка ще впливає на значення середньої потужності на заданому рівні:
 .
Рисунок 2 – Графіки АЧС (а) і ФЧС (б)
У тих випадках, коли – парна функція часу, в (1) дорівнює нулю або  . Для непарної функції, навпаки, ряд Фур’є складається тільки із синусоїдних коливань, тобто дорівнює  або  .
У двох послідовностях імпульсів і  , які відрізняються тільки початком відліку часу, АЧС однакові, а відрізняються тільки їх ФЧС. Дійсно, якщо  , тоді
 (2)
Таким чином, при зсуві сигналу на  фази його гармоніки змінюється на  .
Як ілюстрації наведемо результати розкладу в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів (рис. 4), яку аналітично можна записати у вигляді:
Рисунок 4 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів
На підставі (2) можна подати у вигляді:
 . (3)
Обвідна амплітуд спектра визначається значеннями функції:
 ,
де  , при  , тобто  ,  і амплітуди гармонік дорівнюють нулю.
Позитивним значенням  відповідають нульові значення фаз гармонік, від’ємним – початкові фази рівні , тому що  , тобто початкові фази гармонік у (3) визначаються як:
Графіки АЧС і ФЧС наведено на рис. 5 Графіки побудовано для щільності  . Такі спектри мають назву дискретних.
При змінюванні тривалості імпульсів або частоти їх повторення змінюються і спектри. Рис. 6 ілюструє зміни у спектрах при збільшенні тривалості імпульсів  і незмінній частоті повторення  . При збільшенні тривалості імпульсів відбувається «стиснення» спектра – гармонічні складові, які мають найбільші амплітуди, зсуваються в область більш низьких частот. Інтервали між спектральними лініями за частотою не змінюються.
Рис. 7 ілюструє зміни у спектрах при збільшенні періоду і незмінній тривалості імпульсу. Збільшення періоду (зменшення частоти слідування) призводить до зменшення інтервалу між спектральними лініями. При цьому зменшується і амплітуда всіх складових спектра, що фізично пояснюється зменшенням потужності у періодичної послідовності імпульсів.
Якщо спрямувати період до нескінченності, амплітуди зменшаться до нескінченно малих величин, а спектральні лінії наблизяться одна до одної, тобто спектр стане суцільним. Відбудеться перехід від періодичної послідовності до одиночного імпульсу.
Рисунок 6 – Вплив тривалості імпульсів на АЧС
Якщо початок відліку часу не збігається з серединою імпульсів (рис. 8,а), відповідно до формули (3) змінюється тільки ФЧС, як показано на рис. 8,б.
Спектри неперіодичних одиночних сигналів оцінюється, так званою, спектральною густиною  , у відповідності з перетворенням Фур’є:
 .
Модуль спектральної густини має розмірність В/Гц або А/Гц в залежності від розмірності сигналу (В або А).
Відновлення одиночного сигналу за його спектральною густиною виконується за допомогою оберненого перетворення Фур’є:
 .
Рисунок 8 – Вплив початку відліку часу на ФЧС
Спектральна густина одиночного прямокутного імпульсу висотою  і тривалістю описується виразом:
 .
Частотна залежність модуля спектральної густини  (АЧС) і частотна залежність аргументу спектральної густини  (ФЧС) одиночного прямокутного імпульсу наведені на рис. 9.
Для розрахунку відгук кіл спектральним методом використовують комплексний коефіцієнт передачі кола  , який дозволяє визначити вихідні сигнали у випадках:
а) періодичного сигналу –
періодичний послідовність імпульс спектр амплітуда
де  ,  , – комплексна амплітуда, амплітуда і початкова фаза -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно;  ,  ,  – комплексний коефіцієнт передачі, значення АЧХ і ФЧХ кола для частоти -ї гармоніки вхідного сигналу відповідно;
б) неперіодичного сигналу –
 ,
де  – спектральна густина вхідного сигналу.
Розглянуті вище сигнали мають спектри в області низьких частот і такі сигнали називають відеосигналами. На відміну від них, радіосигнали з амплітудною, частотною або фазовою модуляцією мають спектри, сконцентровані поблизу носійної частоти  .
Рисунок 9 – АЧС (а) і ФЧС (б) одиночного прямокутного імпульсу наведеного на рис. 8,а
Якщо у носійного коливання  , амплітуда змінюється за законом відносно деякого середнього рівня  , формується амплітудно-модульоване коливання (АМК), яке можна записати у вигляді:
 ,
де постійний коефіцієнт  вибраний таким, щоб амплітуда коливань була завжди додатною.
Якщо модулююче коливання  містить декілька гармонічних складових, які подані рядом:
 , (4)
тоді модульоване коливання набуває вигляду:
 , (5)
де величини  – парціальні (часткові) коефіцієнти модуляції,  .
Подамо модулюючий сигнал (4) в іншому вигляді, пронормувавши амплітуди гармонік за амплітудою першої гармоніки.
 ,
де  ;  – нормовані амплітуди гармонік.
Тоді у виразі (5) парціальний коефіцієнт модуляції  -ї гармоніки можна подати як:
 .
Спектр АМК (1) після тригонометричних перетворень набуває вигляду
 (6)
Якщо АЧС модулюючого коливання має вигляд, наведений на рис. 2, а), тоді у відповідності до (2) матимемо спектр АМК, представлений на рис. 10.
Рисунок 10 – АЧС амплітудно-модульованого коливання
Таким чином, спектр АМК можна подати як перенесений на носійну частоту спектр модулюючого відеосигналу. Спектр містить носійне коливання і дві бокові смуги частот – «нижню» з частотами  і «верхню» з частотами  . Рівень бокових частот визначається відповідними коефіцієнтами глибини модуляції  , а ширина спектра дорівнює  . Такий спектр відповідає радіосигналу.
Частковим випадком АМК є балансна модуляція або амплітудна маніпуляція, коли радіосигнал отримуємо у вигляді:
 .
При цьому у випадку модулюючого сигналу з дискретним спектром (4) спектр радіосигналу (2) відрізнятиметься відсутністю носійного коливання.
У випадку, коли балансна модуляція здійснюється неперіодичним сигналом, спектральна густина радіосигналу має вид:
 ,
де  – спектральна густина модулюючого відеосигналу.
Наприклад, спектральна густина радіосигналу на разі модулюючого коливання у вигляді одиночного прямокутного радіоімпульсу за умов балансної модуляції описується виразом:
 .
Таким чином, амплітудна маніпуляція одиночним сигналом призводить до переносу спектра модульованого сигналу в область частот  .
Наявність від’ємних частот при спектральному аналізі пояснюється комплексною формою запису ряду Фур’є, або інтеграла Фур’є, в яких дійсна змінна часу коливання  формується за допомогою векторів, що обертаються як у додатному напрямі з частотою  , так і у від’ємному з частотою  .
|