Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
 , (1)
где  - некоторая вещественная положительная константа и  - оператор Лапласа.
Эллиптические координаты  , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми:  , .
Полагая  в методе разделения переменных, получаем уравнения:
 ,  ,
где  - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
  , (2)
где обычно переменная  имеет вещественное значение, а  - заданный вещественный ненулевой параметр.
Собственные значения  и граничные условия
 (3)
соответствуют чётным функциям Матье  , а собственные значения  и граничные условия
 (4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом:  ,  ,  ,  .
Собственные значения  , отвечающие функциям , , , , обозначаются через  ,  ,  ,  .
Модифицированное уравнение Матье
 (5)
получается из уравнения Матье (2) подстановкой  . В зависимости от того, будет в (5)  или  , это уравнение имеет либо решение  , либо решение  , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода:  ,  ,  ,  .
Вычисление функций Матье
I
рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
 ,  (6)
удовлетворяющие в нуле условию
 , если  (7)
 , если 
И на бесконечности условию
 ~ ,  (8)
где  - задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),
Параметр  используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
 (9)
 (10)
Здесь  - "масштабирующая" функция, положительная на  , удовлетворяющая условию  при , её выбор находится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для  и  :
 (11)
 (12)
где  и  .
Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках  . На каждом из отрезков  вспомогательные функции  находятся, как решение задач Коши
 (13)
где  .
Поскольку для любых решений и  , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение  , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления  ,  ,
 , , (14)
причём  .
Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка  величины  ,  ,  ;
2. Полагая , по формуле (14) вычисляем ,  ;
3. По формуле (10) вычисляем функции , ;
4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции
 .
В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция
 , где  .
Вычисление функций Матье
III
рода
Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
 , . (15)
Условие на бесконечности
 ~ ,  . (16)
Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:
 ,
и при достаточно больших  линейному соотношению:
 ,  .
 (17)
Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом  .
Рассмотрим алгоритм нахождения функций  . Для их вычисления нужно перенести граничное условие
 ,
где  , справа налево от точки  до точки  .
Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку переносим соотношение
 ,
потребовав выполнение условия  для всех ,  , где  и  удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка
 .
Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:
 ,
где  .
Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:
 .
функция матье дифференциальное уравнение
Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.
|