Содержание
Введение
1. Нелокальная граничная задача Ι рода
2. Нелокальная граничная задача II рода
Литература
уравнение спектральный нелокальный дифференциальный
Введение
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].
Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.
Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения
 (0.1)
он поставил следующую задачу: пусть  область, ограниченная при  гладкой кривой  с концами в точках  и  оси  а при  характеристиками  уравнения (0.1). Требуется найти функцию  ( отрезок оси  ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в  и принимающую заданные значения на  Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения  в  гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.
М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение
 (0.2)
Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.
Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .
В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.
Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:
Рассмотрим вырождающееся уравнение
 (0.3)
где  в прямоугольной области 
 заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области  функцию  , удовлетворяющую условиям:
 ; (0.4)
 ; (0.5)
 (0.6)
 (0.7)
где  и   заданные достаточно гладкие функции, причём 
Для того же уравнения исследована и следующая задача:
Задача 2. Найти в области функцию  , удовлетворяющую условиям:
 (0.8)
 ; (0.9)
 (0.10)
 (0.11)
где и – заданные достаточно гладкие функции, причём
 ,   , 
Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.
1. Нелокальная граничная задача Ι рода
Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа
(1)
где в прямоугольной области  заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
; (2)
; (3)
(4)
 (5)
где и заданные достаточно гладкие функции, причём
Пусть  решение задачи (2)  Рассмотрим функции
 (6)
 (7)
 (8)
Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение
 (9)
с граничными условиями
 , (10)
 (11)
Общее решение уравнения (9) имеет вид
где  и  функции Бесселя первого и второго рода соответственно, модифицированные функции Бесселя,  и  произвольные постоянные, 
Подберём постоянные  и  так, чтобы выполнялись равенства
 (13)
Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя
и модифицированных функций Бесселя
в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при  и любых  и  , а второе равенство выполнено при
Подставим полученные выражения для постоянных и в (12), тогда функции  примут вид
Отметим, что для функций (14) выполнено равенство
Отсюда и из равенств (13) вытекает, что  является продолжением решения  на промежуток  и,наоборот, является продолжением решения  на промежуток  . Следовательно, функции (14) принадлежат классу  и удовлетворяет уравнению (9) всюду на  . Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения и  :
 (15)
Если определитель системы (15):
 (16)
то данная система имеет единственное решение
 (17)
 . (18)
С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций
 (19)
Где
 (20)
 (21)
 (22)
 (23)
Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции  , получим однородное дифференциальное уравнение
 (24)
с граничными условиями
 (25)
Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид
 (26)
Аналогично для функции  получаем неоднородное уравнение
 (27)
с граничными условиями
 (28)
 (29)
Общее решение уравнения (27) имеет вид
Равенства  будут выполняться при следующих значениях постоянных
 , 
при любых  и  Подставим выражения для постоянных  и  в (30), тогда функции  примут вид
 (31)
Для нахождения  и  на основании (28) и (29) получим систем
 (32)
Если выполнено условие (16), то и определяются по формулам:
 (33)
 , (34)
Найденные значения и по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции  будут однозначно построены в явном виде:
 (35)
Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2) так как если   на  , то  ,  для  на  Тогда из (6) имеем:
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве  следует, что функция  почти всюду на при любом  .
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение задачи (2)то оно единственно только тогда, когда  при всех 
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е.  Тогда однородная задача (2) (где  имеет нетривиальное решение
Выражение для  на основании следующих формул
приводим к виду
Поскольку при любом  и 
где и  положительные постоянные, то функция
где  в силу теоремы Хилби  имеет счётное множество положительных нулей.
Следовательно,  при некоторых  может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям  Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема  Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование  и  таких, что при любом и больших справедлива оценка
Представим (16) в следующем виде
 (36)
где
Как известно  функция  строго убывает, функция  строго возрастающая по , поэтому величина
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем  при больших . Поэтому рассмотрим только выражение
Используя асимптотическую формулу функции  при 
Получаем
Где
Отсюда видно, что если, например, где  то при 
Тем самым справедлива следующая
Лемма 1. Существует и постоянная  такие, что при всех  и больших справедлива оценка
(37)
Рассмотрим следующие отношения:
 , 
Лемма 2. При любом  для достаточно больших n справедливы оценки:
 ;
 ;
где  ,  здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.
Доказательство. С учётом (36) функция  примет вид
Оценим функцию  при  и больших  :
 .
На основании поведений функций  в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим
 (38)
где  здесь и далее произвольные постоянные.
При 0 и n>>1 в силу асимптотических формул имеем
 (39)
Сравнивая (38) и (39) при любом  получим
Далее вычислим производную
Оценим эту функцию при и больших :
 (41)
При  и больших фиксированных имеем
 (42)
Из оценок (41) и (42) следует, что при всех 
Вторую производную функции  вычислим следующим образом:
Используя формулы ([1], стр. 90)
Получаем
Зная оценку (40) для из последнего равенства при всех имеем
Функция  с учётом (36) примет вид:
 .
Оценим её, используя лемму 1 при 0 и больших n:
 (43)
При  и больших фиксированных :
 (44)
Из оценок (43) и (44) имеем:
 (45)
Вычислим производную  :
 .
Оценим функцию  при  и :
 (46)
При и имеем:
 (47)
Сравнивая (46) и (47) при всех , получим
Теперь вычислим вторую производную функции
Используя формулы
Получим
Отсюда на основании оценки (45) будем иметь
 (48)
Аналогично получаем оценку для функции  и  :
Лемма 3. При любом  для достаточно больших справедливы оценки:
Доказательство. Используя   и функцию  , определяемую формулой (19), представим в следующем виде:
 (49)
Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций   и  Аналогичные оценки справедливы и для функций   и  Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть   то справедливы оценки:
 (50)
При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на  условию Гёльдера с показателем 
Теорема 2. Пусть   и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом
 (51)
где функции  ,  определены соответственно по формулам (26), (35), (19).
Доказательство. Поскольку системы функций
образуют базис Рисса, то если  , тогда функцию  можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в  при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом  из  мажорируется сходящимся рядом
поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция непрерывна на как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в мажорируются также сходящимся числовым рядом
Поэтому сумма ряда (51) принадлежит пространству  и удовлетворяет уравнению (1) в  . Следствие 1. Построенное решение задачи (2)-(5) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа  уравнения (1) как особая линия устраняется.
2. Нелокальная граничная задача II рода
Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области  и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.
Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
 (52)
 ; (53)
 (54)
 (55)
где  и  – заданные достаточно гладкие функции, причём  ,   , 
Пусть  решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами
Рассмотрим функции
 , (56)  (57)
 (58)
Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение
 (59)
с граничными условиями
 (60)
 (61)
Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде
 (62)
C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции  однородное дифференциальное уравнение
 (63)
с граничными условиями
 (64)
Решение задачи (63) и (64) имеет вид
 (65)
Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции 
 (66)
с граничными условиями
 , (67)
 . (68)
Решение этой задачи определяется по формуле
 (69)
Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если  на  то  ,  ,  для  на  Тогда из (56)-(58) имеем:
 ,  ,
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве  следует, что функция  почти всюду на  при любом  .
Теорема 3. Если существует решение задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е.  . Тогда однородная задача (52)-(55) (где  ) имеет нетривиальное решение
Теорема 4. Если    ,  и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда
где функции  , определены соответственно по формулам (65), (62), (69).
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие 2. Построенное решение задачи (52)-(55) принадлежит классу  и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.
Литература
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1966. Т.
2. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс.  М.: ИЛ, 
3. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.
4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /
А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.– 448 с.
5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.
6. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.
7. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.
8. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. – С.172 с.
9. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. – М.: МГУ, 1988. – 150 с.
10. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. – С. 176 – 184 с.
11. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой – полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. – 1996. – Т. 32, №4. – С. 565 – 567 с.
12. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова – Уфа.: Гилем, 2006. – 150 с.
13. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа – М.С. Салахитдинов. – Ташкент: Фан, 1974. – 156 с.
14. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.
15. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. – 1956. – Т. 20. – №2. – с. 196 –202 с.
|