Учебное пособие: Комплексные числа
Название: Комплексные числа Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах Определение комплексного числа Комплексные равенства Геометрическое изображение комплексных чисел Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа Арифметические действия над комплексными числами Показательная форма комплексного числа Формулы Эйлера § 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел Определение алгебраического уравнения -й степени Основные свойства многочленов Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел Вопросы для самопроверки Глоссарий § 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формахОпределение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )Комплексным числомz называется выражение следующего вида:
Где x, y Î; i — это мнимая единица , определяемая равенством i 2 = –1. Основные термины: x = Re z — действительная часть комплексного числа z ; y = Im z — мнимая часть комплексного числа z ;
Примеры 1)z
= 1 + i
Þ Re z
= 1, Im z
= 1, 2)z
= –1 + 3)z
= 5 + 0i
= 5 Þ Re z
= 5, Im z
= 0, Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число; 4)z
= 0 + 3i
= 3i
Þ Re z
= 0, Im z
= 3, Þ если Rez = 0, то z = iy — чисто мнимое число . Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )1) 2) Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей. 1) 2) Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? )Комплексное число z изображается точкой (x , y ) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.
Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )Модулем комплексного числа
Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z , или полярный радиус точки (x , y ). Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x , y )). Обозначение Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
причем, при определении угла Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа? )Так как геометрически очевидно, что
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z ; запись z = r (cosj + i sinj ) называется тригонометрической формой комплексного числа z . Примеры Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме. 1)z = 1 + i Þ
Þ 2)
Þ 3)
4)
5)
6) то есть для z = 0 будет
Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами. )Сложение (вычитание) комплексных чиселz 1 ±z 2 = (x 1 + iy 1) ± (x 2 + iy 2) = (x 1 ±x 2) + i (y 1 ±y 2),(5) то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части. Примеры 1)(1 + i ) + (2 – 3i ) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ; 2)(1 + 2i ) – (2 – 5i ) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i . Основные свойства сложения1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1; 2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3); 3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2); 4)z + (–z ) = 0; 5) Умножение комплексных чисел в алгебраической формеz 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6) = (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2), то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой Примеры 1)(1 + i )∙(2 – 3i ) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ; 2)(1 + 4i )∙(1 – 4i ) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17; 3)(2 + i )2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i . Умножение комплексных чисел тригонометрической форме z 1∙z 2 = r 1(cosj 1 + i sinj 1)×r 2(cosj 2 + i sinj 2) = = r 1r 2(cosj 1cosj 2 + i cosj 1sinj 2 + i sinj 1cosj 2 + i 2 sinj 1sinj 2) = = r 1r 2((cosj 1cosj 2 – sinj 1sinj 2) + i (cosj 1sinj 2 + sinj 1cosj 2)) Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Пример Основные свойства умножения1)z 1×z 2 = z 2×z 1 — коммутативность; 2)z 1×z 2×z 3 = (z 1×z 2)×z 3 = z 1×(z 2×z 3) — ассоциативность; 3)z 1×(z 2 + z 3) = z 1×z 2 + z 1×z 3 — дистрибутивность относительно сложения; 4)z ×0 = 0; z ×1 = z ; 5) Деление комплексных чиселДеление — это обратная умножению операция, поэтому если z
×z
2 = z
1 и z
2 ¹ 0, то При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:
Примеры 1) 2) Возведение комплексного числа в натуральную степеньВозведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:
В результате получается формула Муавра : то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Пример Вычислить (1 + i )10. Решение: Замечания 1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов 2. Значение при этом значения всех возможных углов очевидно, что Извлечение корня натуральной степени из комплексного числаКорнем степени n из комплексного числа
z
, где
Примеры
Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной. Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:
где
Все значения Примеры 1)
Þ
Ответ: 2)
Показательная форма комплексного числаПоказательной формой комплексного числа
где Примеры 1) 2) 3) Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:
Примеры Пусть
Тогда
Числа Формулы Эйлера Используем определение так как Из этих равенств следуют формулы Эйлера по которым тригонометрические функции § 2. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чиселЦелой функциейили алгебраическим многочленом (полиномом ) аргумента x называется функция вида
Здесь n – степень многочлена ( натуральное число или 0), x – переменная (действительная или комплексная), a 0, a 1, …, an –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),причем, a 0¹ 0 Примеры
Определение алгебраического уравнения
Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x: Pn
(x
) = 0, Число х
0 такое, что Pn
(x
0) º 0, называется нулем функции
Pn
(x
) или корнем уравнения
Примеры 1) его корень 2) его корни 3) числа Замечание В литературе часто нули функции Основные свойства многочленов (Перечислите основные свойства многочленов ) Свойство 1 (о тождественном равенстве многочленов ) Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , то есть
Доказательство w Тождество (3) справедливо при "xÎ Þ оно справедливо при Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x :
Это тождество тоже верно при "x , в том числе при x = 0 Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1. Взаимно уничтожим в (3') слагаемые аn – 1 и a n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим
Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0. Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x . Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v Пример
Свойство 2 ( о делении многочлена на разность (x – х0) ) При делении многочлена Pn (x ) на разность (x – х 0) получается остаток, равный Pn (x 0), то есть гдеQn – 1(x ) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1). Доказательство w Запишем формулу деления с остатком: Pn (x ) = (x – х 0)∙Qn – 1(x ) + A , гдеQn – 1(x ) — многочлен степени (n – 1), A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик». Это равенство верно при "x , в том числе при x = х 0 Þ Pn (x 0) = (x 0 – x 0)×Qn – 1(x 0) + A Þ A = Pn (х 0), ч.т.д. v Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка Если число х 0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х 0) без остатка, то есть
Примеры 1) Þ 2) Þ 3) Þ Деление многочленов на двучлены «в столбик»:
Свойство 3 (о существовании нуля многочлена ) Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства. Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ). После n -кратного применения этих теорем получим, что
гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ). Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители Любой многочлен степени
гдех1, х2, … хn — это нули многочлена. При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) . Примеры 1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль; 2)P 4(x ) = (x – i )4 Þx = i — нуль кратности 4. Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения) Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Примеры 1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени Þx
1,2 = 2 ± 2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени Þx
1,2,3 = 3)P 3(x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 Þx 1 = 1, т.к. P 3(1) = 0. Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):
Исходное уравнение P 3(x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 Û(x – 1)(x 2 + 2x + 1) = 0 Û(x – 1)(x + 1)2 = 0 Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень. Свойство 5 ( о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами ) Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x
0 = a
+ bi
является корнем уравнения Pn
(x
) = 0, то число Доказательство w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения: если
если Так как
Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:
1) 2) Свойство 6 ( о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители ) Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами. Доказательство w Пусть x
0 = a
+ bi
— нуль многочлена Pn
(x
). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то Вычислим произведение двучленов комплексный число многочлен уравнение Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами. Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v Примеры 1)P 3(x ) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1); 2)P 4(x ) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4). Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )1. Алгебраические уравнения первой степени:
Пример
Ответ: 2. Квадратные уравнения:
Примеры 1) Ответ: 2) Ответ: 3) Ответ: 3. Двучленные уравнения степени
Пример
Ответ: 4. Решить кубическое уравнение Решение. Уравнение третьей степени Подбором находим первый корень уравнения По следствию из теоремы Безу
Представляя теперь многочлен
Другие корни находим как корни квадратного уравнения:
Ответ: 5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым. Решение. Число Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x
1, x
1, x
2,
Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0. Ответ: 1. Сформулируйте определение комплексного числа 2. Что называется комплексным числом ? 3. Какое название или смысл имеет формула? 4. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 5. ⌂ 6. Что такое мнимая единица ? 7. Что такое действительная часть комплексного числа z? 8. Что такое мнимая часть комплексного числа z ? 9. Что такое комплексно сопряженное число? 10. Что такое противоположное число ? 11. Что такое комплексный ноль? 12. Что такое чисто мнимое число ? 13. Сформулируйте смысл комплексного равенства. 14. В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? 15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа? 16. Что называется модулем комплексного числа ? 17. Что такое аргумент комплексного числа? 18. Какое название или смысл имеет формула? 19. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 20. ⌂
21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа? 22. Какое название или смысл имеет формула? 23. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 24. ⌂
25. Что называется алгебраической формой комплексного числа? 26. Что называется тригонометрической формой комплексного числа ? 27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами. 28. Какое название или смысл имеет формула? 29. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 30. ⌂ . 31. Какое название или смысл имеет формула? 32. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 33. ⌂ 34. Какое название или смысл имеет формула? 35. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 36. ⌂
37. Что такое формула Муавра? 38. Какое название или смысл имеет формула? 39. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 40. ⌂
41. Что называется корнем степени n из комплексного числа? 42. Какое название или смысл имеет формула? 43. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 44. ⌂
45. Что называется показательной формой комплексного числа? 46. Какое название или смысл имеет формула? 47. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 48. ⌂
49. Что такое формулы Эйлера? 50. Какое название или смысл имеет формула? 51. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 52. ⌂
53. Что называется целой функцией? 54. Что называется алгебраическим многочленом ? 55. Что называется полиномом? 56. Что такое степень многочлена ? 57. Что такое коэффициенты многочлена? 58. Что называется алгебраическим уравнением n-й степени ? 59. Что называется нулем функции? 60. Что называется корнем уравнения ? 61. Перечислите основные свойства многочленов. 62. Сформулируйте свойство о тождественном равенстве многочленов . 63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0). 64. Сформулируйте теорему теорема Безу . 65. Какое название или смысл имеет формула? 66. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 67. ⌂ 68. Сформулируйте свойство о существовании нуля многочлена . 69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная. 70. Какое название или смысл имеет формула? 71. Поясните смысл обозначений в этой формуле: 72. ⌂
73. Что называется k-кратным нулем многочлена? 74. Что называется простым нулем многочлена ? 75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения. 76. Сформулируйте свойство о комплексных корнях алгебраического уравнения 77. с действительными коэффициентами . 78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. 79. Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел Глоссарий k-кратным нулем многочлена называется... (стр. 18) алгебраическим многочленом называется... (стр. 14) алгебраическим уравнением n-й степени называется... (стр. 14) алгебраической формой комплексного числа называется... (стр. 5) аргумент комплексного числа это... (стр. 4) действительная часть комплексного числа z это... (стр. 2) комплексно сопряженное число это... (стр. 2) комплексный ноль это... (стр. 2) комплексным числом называется... (стр. 2) корнем степени n из комплексного числа называется... (стр. 10) корнем уравнения называется... (стр. 14) коэффициенты многочлена это... (стр. 14) мнимая единица это... (стр. 2) мнимая часть комплексного числа z это... (стр. 2) модулем комплексного числа называется... (стр. 4) нулем функции называется... (стр. 14) показательной формой комплексного числа называется... (стр. 11) полиномом называется... (стр. 14) простым нулем многочлена называется... (стр. 18) противоположное число это... (стр. 2) степень многочлена это... (стр. 14) тригонометрической формой комплексного числа называется... (стр. 5) формула Муавра это... (стр. 9) формулы Эйлера это... (стр. 13) целой функцией называется... (стр. 14) чисто мнимое число это... (стр. 2) |