Лабораторная работа
Решение нелинейных уравнений
Задание
N =07
М=2
Дано уравнение: 
1. Найти все решения уравнения графически.
2. Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до
e= 0,001:
2.1. *методом половинного деления;
2.2. *методом Ньютона - Рафсона;
2.3. методом секущих;
2.4. конечно-разностным методом Ньютона;
2.5. *методом простой итерации;
2.6. *методом хорд и касательных
2.7. комбинированным методом Ньютона.
3. Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.
4. Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.
нелинейный уравнение графический ньютон итерация
1. Решение уравнения графически:
2. Метод половинного деления
Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.
Начальное приближение: 
Критерий остановки:  <2 ;  .
Таблица результатов
| Метод половинного деления |
| k |
ak
|
bk
|
xk
|
f(ak
) |
f(bk
) |
f(xk
) |
|bk
-ak
| |
f(xk
)*f(ak
) |
f(xk
)*f(bk
) |
|bk
-ak
|<2ε |
| 0 |
0 |
1,5 |
0,75 |
-2,070 |
4,305 |
-0,148 |
1,5 |
0,306360 |
-1,000000 |
- |
| 1 |
0,75 |
1,5 |
1,125 |
-0,148 |
4,305 |
1,604 |
0,75 |
-0,237392 |
6,905220 |
- |
| 2 |
0,75 |
1,125 |
0,938 |
-0,148 |
1,604 |
0,631 |
0,375 |
-0,093388 |
1,012120 |
- |
| 3 |
0,75 |
0,938 |
0,844 |
-0,148 |
0,631 |
0,219 |
0,188 |
-0,032412 |
0,138190 |
- |
| 4 |
0,75 |
0,844 |
0,797 |
-0,148 |
0,219 |
0,03 |
0,094 |
-0,004440 |
0,006570 |
- |
| 5 |
0,75 |
0,797 |
0,774 |
-0,148 |
0,03 |
-0,058 |
0,047 |
0,008584 |
-0,001740 |
- |
| 6 |
0,774 |
0,797 |
0,786 |
-0,058 |
0,03 |
-0,012 |
0,023 |
0,000696 |
-0,000360 |
- |
| 7 |
0,786 |
0,797 |
0,792 |
-0,012 |
0,03 |
0,011 |
0,011 |
-0,000132 |
0,000330 |
- |
| 8 |
0,786 |
0,792 |
0,789 |
-0,012 |
0,011 |
-0,001 |
0,006 |
0,000012 |
-0,000010 |
- |
| 9 |
0,789 |
0,792 |
0,791 |
-0,001 |
0,011 |
0,007 |
0,003 |
-0,000007 |
0,000080 |
- |
| 10 |
0,789 |
0,791 |
0,790 |
-0,001 |
0,007 |
0,003 |
0,002 |
-0,000003 |
0,000020 |
- |
| 11 |
0,789 |
0,790 |
0,790 |
-0,001 |
0,003 |
0,003 |
0,001 |
+ |
3. Метод Ньютона – Рафсона
Расчетная формула:  , где 
Начальное приближение: .
Критерий остановки: |f(xk+1
)-f(xk
)|<ε; .
Таблица результатов:
| Метод Ньютона – Рафсона |
| k |
xk
|
f(xk
) |
f'(xk
) |
|f(xk+1
)-f(xk
)|<ε |
| 0 |
0,75 |
-0,1481 |
3,688 |
- |
| 1 |
0,79 |
0,003 |
3,872 |
- |
| 2 |
0,789 |
-0,0008 |
3,868 |
+ |
4. Метод Ньютона – Рассела
Расчетная формула: 
Начальное приближение: : x = 0,75
Критерий остановки: |f(xk+1
)-f(xk
)|<ε, .
Таблица результатов:
| Метод Ньютона – Рассела |
| k |
xk
|
h |
xk
+h |
f(xk
) |
f(xk
+h) |
|f(xk+1
)-f(xk
)|<ε |
| 0 |
0,75 |
1 |
1,75 |
-0,1481 |
6,789 |
- |
| 1 |
0,771 |
1 |
1,771 |
-0,0697 |
7,027 |
- |
| 2 |
0,781 |
1 |
1,781 |
-0,0316 |
7,141 |
- |
| 3 |
0,785 |
1 |
1,785 |
-0,0163 |
7,187 |
- |
| 4 |
0,787 |
1 |
1,787 |
-0,0086 |
7,211 |
- |
| 5 |
0,788 |
1 |
1,788 |
-0,0047 |
7,222 |
- |
| 6 |
0,789 |
1 |
1,789 |
-0,0008 |
7,234 |
- |
| 7 |
0,789 |
1 |
1,789 |
-0,0008 |
7,234 |
+ |
5. Метод простой итерации
Расчетная формула:. x = (x ), где (x)=x - kf(x), k=0.11
Начальное приближение: x= 0,75
Критерий остановки: |xk+1
-xk
|≤ε; .
Таблица результатов
| Метод простой итерации |
| k |
xk
|
φ(xk
) |
|xk+1
-xk
|≤ε |
| 0 |
0,5 |
0,604 |
- |
| 1 |
0,604 |
0,675 |
- |
| 2 |
0,675 |
0,720 |
- |
| 3 |
0,720 |
0,748 |
- |
| 4 |
0,748 |
0,765 |
- |
| 5 |
0,765 |
0,775 |
- |
| 6 |
0,775 |
0,781 |
- |
| 7 |
0,781 |
0,784 |
- |
| 8 |
0,784 |
0,786 |
- |
| 9 |
0,786 |
0,787 |
- |
| 10 |
0,787 |
0,788 |
- |
| 11 |
0,788 |
0,789 |
- |
| 12 |
0,789 |
0,789 |
+ |
6. Метод хорд и касательных
Расчетная формула:  ,
 ,где  .
Начальное приближение:  ,
Критерий остановки:  ; .
Таблица результатов:
| Метод хорд и касательных |
| k |
ak
|
bk
|
f(ak
) |
f(bk
) |
f'(ak
) |
f'(bk
) |
f''(ak
) |
f''(bk
) |
f(ak
) *f''(ak
) |
f(bk
) *f''(bk
) |
|bk
-ak
|<2ε |
| 0 |
0 |
1,5 |
-2,070 |
4,305 |
2 |
8,75 |
0 |
9 |
0 |
38,745 |
- |
| 1 |
0,487 |
1,022 |
-0,980 |
1,041 |
2,712 |
5,133 |
2,922 |
6,132 |
-2,86 |
6,383 |
- |
| 2 |
0,746 |
0,852 |
-0,163 |
0,252 |
3,67 |
4,178 |
4,476 |
5,112 |
-0,73 |
1,288 |
- |
| 3 |
0,788 |
0,803 |
-0,005 |
0,054 |
3,863 |
3,934 |
4,728 |
4,818 |
-0,02 |
0,26 |
- |
| 4 |
0,789 |
0,792 |
-0,001 |
0,011 |
3,868 |
3,882 |
4,734 |
4,752 |
-0,01 |
0,052 |
- |
| 5 |
0,789 |
0,79 |
-0,001 |
0,003 |
3,868 |
3,872 |
4,734 |
4,74 |
-0,01 |
0,014 |
+ |
Вывод
| Название метода |
Вычислительная сложность |
Сложность
реализации
|
Глобальная
сходимость
|
Скорость
сходимости
|
| h |
Произв. |
| Метод Ньютона-Рафсона |
- |
+ |
+++ |
- |
квадратичная |
| Метод половинного деления |
- |
- |
+ |
+ |
линейная |
| Метод простой итерации |
- |
- |
+ |
- |
линейная |
| Конечно-разностный метод |
+ |
- |
++ |
- |
сверхлинейная (при хорошем выборе h) |
| Метод секущих |
- |
+ |
++ |
- |
сверхлинейная |
| Метод хорд и касательных |
- |
+ |
+++ |
квадратичная |
| Метод хорд |
- |
+ |
+++ |
- |
Сначала лин., потом сверхлин. |
|