Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение поля Q
, a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы
 где   для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т.е.  Определим дзета-функцию Дедекинда  :
 
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов 
где S - исключительное множество в k, 
- группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S,
- подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из
, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S,
- подгруппа в подгруппе главных идеалов в
, состоящая из таких главных идеалов 
, для которых 
и 
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где  - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
 где 
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех , имеет место следующее легко проверяемое тождество
отсюда, если положить , следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
и докажем, что функция тождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке  , где  . В силу функционального уравнения  представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому  , также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций  . Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Пусть k=Q
, K=Q
(
), где - первообразный корень из 1 степени m, 
. Тогда
 (1)
где  - дзета-функция Римана,  - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение
Воспользуемся функциональным уравнением для :
 ,
где  сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
 ,
 ,
используя свойство сумм Гаусса, получим
 ,
 .
Пусть для любого вещественного характера  , тогда
 ,
 .
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
 ,
 ,
 ,
 .
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где в - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q
, K=Q
(
).
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q
, K=Q
(
), где - первообразный корень из 1 степени m.
1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330
|