Реферат: Математические методы планирования экспериментов
Название: Математические методы планирования экспериментов Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: реферат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
СОДЕРЖАНИЕ планирование эксперимент модель ВВЕДЕНИЕ 1 Общие сведения о планировании эксперимента 2 Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков 2.1 Общие положения о планировании второго порядка 2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка 2.3 Рототабельные планы второго порядка ЗАКЛЮЧЕНИЕ Список использованных источников ВВЕДЕНИЕРазвитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. 1. Общие сведения о планировании экспериментаИнициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др. Часто, приступая к изучению какого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса. Можно только указать параметры определяющие условия протекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленная проблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику «наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления» [3], то такую систему можно представить в виде черного ящика. Черный ящик – объект исследования, имеющий (k + p) входов и m выходов. Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1):
Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством. Рисунок 2 – Поверхность отклика Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение:
где
Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с На практике по результатам эксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов
которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении
В регрессионной модели члены второй степени Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным. Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов [3]. 2. Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядковИспользование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения:
Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:
Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов: · выбор основных факторов и их уравнений; · планирование и проведение собственного эксперимента; · определение коэффициентов уравнения регрессии; · статистический анализ результатов эксперимента [1]. 2.1 Общие положения о планировании второго порядкаОписание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6). В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика
Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы Рисунок 3 – Планы второго порядка при б – рототабельный Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при 1) добавить (2 – k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства 2) провести При kфакторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:
При этом величина звездного плеча Композиционный план для Таблица 1 – Композиционный план второго порядка
Аналогичным образом строятся планы и для большего числа факторов [1]. 2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядкаВ общем виде план, представленный в таблице 1, неортогонален так как
Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов):
при этом
Тогда уравнение регрессии будет записано как
Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо Таблица 2 – Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка
В частности, ортогональный план второго порядка для Представленный на рисунке 3, а и в таблице 3 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер. Таблица 3 – Ортогональный центральный композиционный план второго порядка
В этой таблице
В силу ортогональности матрицы планирования ее коэффициенты равны:
Уравнения регрессии Здесь i - номер столбца в матрице планирования; j - номер строки; суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий. Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:
Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (14)), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план, представленный в таблице 3, являющийся ортогональным и обеспечивающий независимость определения коэффициентов b, не является рототабельным. В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получаем уравнение регрессии в виде:
Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента
При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующему соотношению:
В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:
Значимость коэффициентов проверяется по критерию согласия Стьюдента Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера Уравнение значимо, если составлено таким образом F - отношение меньше теоретического:
2.3 Рототабельные планы второго порядкаКак было установлено, план второго порядка, представленный в таблице 3, не обладает свойством рототабельности. Рототабельным называют планирование, для которого дисперсия отклика (выходного параметра)
Или в общем случае
где k – число факторов; p – дробность реплики (для ПФЭ p = 0, для полуреплики p =1, для четвертьреплики p = 2 и т.д.). Число точек в центре плана Таблица 4 - Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов
Рассмотрим идею выбора значения звездного плеча Размещение точек этого плана показано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние Таблица 5 – Рототабельный план второго порядка
Учитывая специфический характер рототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:
где
Здесь Матрица рототабельного планирования, оказывается неортогональной, так как:
Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново. При использовании рототабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующим образом. Находят остаточную сумму квадратов:
с числом степеней свободы
По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимости:
с числом степеней свободы Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность
Проверяют значимость по критерию согласия Фишера:
Уравнение значимо, если Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1]. ЗАКЛЮЧЕНИЕИспользование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет: 1. Минимизировать общее число опытов; 2. Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования; 3. Использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора; 4. Одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство; 5. Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа; 6. Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента; 7. Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины; 8. Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В данном реферате было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первого порядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка и построение планов второго порядка [2]. Список использованных источников1. Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного экспиремента: конспект лекции Н.А. Спирина – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004.- 257 с. 2. Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.: Колос, 2001. 3. Планирование эксперимента – Режим доступа: URL: http://opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm |