Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть  - непустое множество, то есть  .
Определение. Бинарной операцией на множестве  называется отображение прямого произведения  .
Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .
Пример.
Пусть  - произвольные высказывания
 :  - бинарная операция на множестве высказываний.
Пусть - произвольные множества
 :  - бинарная операция на множестве множеств.
Пусть 
 :  - бинарная операция на множестве действительных чисел.
 :  - не является бинарной операцией на множестве  , так как  .
Если  - произвольная бинарная операция на множестве  и паре  ставится в соответствие элемент  (то есть  ), то вместо записи  пишут  , то есть имеем   . Элемент называется композицией элементов  .
Определение. Пусть  . Отображение  называется  - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число  называется рангом нульместной операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это отображение множества во множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
 - унарная операция
 - не является унарной операцией
На множестве высказываний операция  :  - унарная операция
На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества  называется частичной - местной операцией на множестве , если область определения отображения не совпадает с  .
Виды бинарных операций
Пусть  - бинарные операции на множестве .
Операция  - коммутативна на множестве    .
Операция - ассоциативна на множестве   .
Операция  - дистрибутивна слева относительно операции    .
Операция дистрибутивна справа относительно операции  .
Пример.
Операция  на множестве - коммутативна, ассоциативна.
Операция  на множестве - коммутативна, ассоциативна.
На множестве множеств операции  и  дистрибутивны относительно друг друга.
На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие алгебры.
Определение. Алгебра  , где ,  - множество операций на .
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
 - алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
 - алгебра натуральных чисел относительно операций и .
Определение. Алгебра  называется подалгеброй алгебры , если множество  ;  - ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка  , где , - множество операций на ;  - множество отношений на .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|