Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра  , где  - бинарные операции,  - унарная операция,  называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I.  - абелева группа.
1)  
2)  
3) 
4)  
II. 1)  - ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности:  - левый дистрибутивный закон,  - правый дистрибутивный закон.
- называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей  , если существует  
Определение. Кольцо называется коммутативным, если 
Определение. Элементы  называются делителями  , если 
Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо - коммутативно.
Кольцо с единицей , где  .
Кольцо не имеет делителей нуля.
п.2. Примеры колец.
Рассмотрим  . Операции - бинарная операция на множестве  , операция - унарная операция на множестве ,  , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как  и   . Это коммутативное кольцо, так как  . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть  - множество целых чётных чисел,  - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
 - проверим, будет ли на множестве  - кольцо.
    - бинарная операция на множестве  .
  - бинарная операция на множестве .
 - унарная операция на множестве . 
Значит - алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как  , а на  аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.
 .  . Кольцо с единицей  - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть  . Определим операции   ,  ;  , .
- бинарные операции на множестве 
 значит  - унарная операция на множестве .
 ,  , значит  - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство  - равенство функции:  из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от  а) б)  . Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей  . Действительно,   (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как   . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть  ,  ,  ,  (нулевая функция). Вычислим  (равно нулевой функции). Значит  ,  - делители нуля, значит кольцо  - не является областью целостности.
п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
 .
Доказательство. - абелева группа, имеем  
 .
Доказательство. - абелева группа, имеем   .
, если  , если  .
Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .
, если  , если  .
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
если  , если  .
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
 .
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
 .
Доказательство. Докажем, что  . 
 .
Доказательство. Докажем, что  рассмотрим сумму  . Аналогично доказывается, что  .
 . Обозначение:  .
 (правый дистрибутивный закон),  (левый дистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна   равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.
 .
Доказательство. Вычислим сумму   .
п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца и  .
Определение. Гомоморфизмом кольца  в кольце  называется функция  и обладающая свойствами:
Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если  - гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу  .
Теорема. Пусть и - кольца и , обладающих свойствами:
Тогда - гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства является гомоморфизмом групп и , поэтому обладает свойствами: , , значит по определению - гомоморфизм колец.
Определение. Отображение называется изоморфизмом кольца на  , если  обладает свойствами:
- гомоморфизм колец.
- биекция.
Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.
п.5. Подкольца.
Пусть - кольцо,  ,  .
Определение. Множество  - замкнуто относительно операции , если   .
Множество - замкнуто относительно операции , если  . Множество - замкнуто относительно операции , если   .
Теорема. Пусть - кольцо, , , если - замкнуто относительно операции  , то - кольцо, которое называется подкольцом, кольца .
Доказательство. - бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует  , так как - замкнуто относительно операции , то   , значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра  - кольцо.
Теорема. Пусть  - числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система  , где бинарные операции, - унарная операция, ,  ,  называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I.  - кольцо.
Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество  - замкнуто относительно операций и алгебраическая система  является системой натуральных чисел (системой Пеано).
Для  , 
Для  , 
Для , 
Для , 
Для , 
Для , 
Аксиома индукции: пусть  . Если множество удовлетворяет условиям:
а) 
б) ,  , то 
III. Аксиома минимальности.
Если  и обладает свойствами:
а) 
б)   , то  .
Свойства целых чисел.
Теорема 1. О делении с остатком.
  |  , где  . Число  называется делимым,  - делителем,  - частным,  - остатком при делении на .
Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество  . Множество  содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда  . Докажем, что  , предположим противное  . Рассмотрим число  .   противоречие с выбором . Доказано, что  , . Докажем единственность чисел и , пусть .  ,  . Докажем, что  , предположим противное  . Пусть  . Имеем  противоречие, так как между числами  нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то  , а отсюда следует, что  . Доказана единственность чисел и .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|