Реферат: Поле комплексных чисел

Название: Поле комплексных чисел
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество . Определим на бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию и определим элементы .

Для :

;

;

.

Обозначим: .

Теорема 1. Алгебра является полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра есть абелева группа.

Для

.

Для

.

Для

.

Для

(.

Проверим, что операция - ассоциативна, то есть

.

Действительно,

.

Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для

.

Действительно,

,

.

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра есть кольцо.

Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для .

Действительно,

.

Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть

.

Действительно,

.

Так как , то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,

.

Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.

Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:

для .

Теорема 2. Каждое комплексное число может быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют такие, что . Имеем

.

Теорема 3. Число обладает свойством: .

Доказательство. .

Из равенства следует, что .

Определение. Пусть , где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .

Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если , то ;

если , то .

Определение. Если , то комплексное число называют чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Для

.

Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.

Доказательство. .

2) Для

.

Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.

Доказательство. .

3) Для

.

Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.

Доказательство.

.

4) Для

.

Доказательство.

.

5) Для

.

Доказательство. .

6) Для , если , то

.

Доказательство.

.

п.3. Операция сопряжения.

Определение. Пусть комплексное число записано в алгебраической форме . Числом сопряжённым с называется число .

Свойства операции сопряжения

Для , где , , .

1).

Доказательство.

.

2) .

Доказательство. .

3) .

Доказательство.

.

.

4) Если a¹ 0, то .

Доказательство. .

5) .

Доказательство. .

6) .

Доказательство. .

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.

п.4. Модуль комплексного числа.

Пусть записано в алгебраической форме .

Определение. Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число .

Свойства модуля.

Для , где , , .

1) .

Доказательство.

.

2) .

3) .

Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.

4) .

Доказательство. .

Отсюда следует нужное утверждение.

5) Если , то .

Доказательство. .

6) Неравенство треугольника: .

Доказательство. Докажем сначала неравенство

.

Имеем

(2) ,

так как

.

Из (2) следует, что

.

Из последнего неравенства следует неравенство (1).

Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для . Докажем неравенство треугольника для . Имеем

.

7) .

Доказательство. . Отсюда следует нужное неравенство.

8) .

Доказательство. Справедливы неравенства

, .

Одно из подчёркнутых чисел совпадает с .

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Пусть записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу точку плоскости с координатами . Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.

Числа и расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.

Геометрический смысл модуля

Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа равно . Поэтому геометрический смысл - расстояние от до начала координат.

y

bi a

i

-1+i 1+i

- 1 0 1 a

x

- 1-i 1-i

- i

Рис.1.

- bi `a

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; ; .


y | z | =1 y | z |£1 y | z |³1

i i i

- 1 1 - 1 1 - 1 1

0 0 0

- i - i - i

Рис.2.

Пусть записано в алгебраической форме . Имеем

.

Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.

y

b a


d |b-d|

b|a-c|

Рис.3.

0 c a x

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; .

y y

| z-1| =2 0

x

- i

- 1 0 1 3 x |z+i |> 1

- 2i

Рис.4.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел векторами плоскости

Поставим в соответствие числу связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.

y

a+b

b

a

0 Рис.5

x

Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.

п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Определение. Аргументом комплексного числа называется число , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , определяется с точность до углов, кратных . Главным значением аргумента комплексного числа называется то значение , которое принадлежит промежутку , оно обозначается и .

Пусть записано в алгебраической форме . Тогда из геометрической интерпретации следует, что:

;

, если ;

, если ;

, если .

Заметим, что выражается только в радианах, не определён.

Теорема 4. Каждое комплексное число может быть записано в виде

.

Доказательство. Изобразим вектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

y

b a

Рис.6.

0 a x

Угол, образованный вектором и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно, . Поэтому.

Определение. Если комплексное число записано в виде , то говорят, что записано в тригонометрической форме.

Правила действий с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа записаны в тригонометрической форме

.

1) ,

то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

.

2) Если , то

,

то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим . Так как , то нужное утверждение доказано.

3) Если , то

.

4) Формула Муавра. Для ,

.

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.

5) Обобщённая формула Муавра. Для ,

.

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).

п.7. Показательная форма записи комплексного числа.

Обозначение. Для обозначим

. (1)

Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа в показательной форме принимает вид

. (2)

Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .

Теорема 5. Для справедливы равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7)

п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Из формул Эйлера следует, что для

.

Складывая и вычитая эти равенства находим, что для :

(1) ;

(2) .

Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно, , для , определяются равенствами:

; ;

; .

Если в формулах (1), (2), заменить на , то мы получим формулы для определения значений . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :

; ;

; .

п.9. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть , . Комплексное число называется корнем степени из , если .

Теорема 6. Пусть , - множество всех корней степени из 1. Тогда алгебра - группа, (которая называется группой корней степени из 1).

Доказательство. Пусть .

Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем - корень степени из 1.

Проверим, что - унарная операция. Имеем - корень степени из 1.

Очевидно, что 1 – корень степени из 1.

Доказано, что - алгебра.

То, что алгебра - группа, следует из свойств комплексных чисел.

Теорема 7. Для существует точно различных корней степени из 1, , . (1)

Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени из 1. Действительно, .

Докажем, что любой корень степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к. , то можно записать в показательой форме .

Имеем . Поэтому , , , где . По теореме о делении с остатком, существуют такие , что , где .

Значит, , , т.е. вычисляется по формуле (1).

Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.

Теорема 8. Пусть , , , . Тогда существует точно различных корней степени из , , . (2)

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени из . Действительно, .

Пусть - корень степени из . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число , где определено формулой (2). Имеем

Следовательно - корень степени из 1, т.е. совпадает с одним из чисел . Имеем

Из вышедоказанного следует, что числа попарно различны.

п.10. Мультисекция.

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

- многочлен с числовыми коэффициентами, . Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для . Имеем

(2)

Если - целое, то и .

Если - не целое, то и по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем , для которых . Отсюда следует (1).

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

Следствие 1. Пусть . Тогда

. (3)

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что

,

где . Полагая в последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем

.

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).

п.11. Упорядоченные поля .

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

такая, что:

1) алгебра - поле;

2) - линейный порядок на ;

3) для

;

4) для

.

Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок , согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если - упорядоченное поле, то для из условия , следует, что .

Доказательство. Так как - линейный порядок, то или . Если , то по условию 4) . Если , то и по условию 4), .

Теорема 10. Если - упорядоченное поле, то для из условия следует, что .

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что и . Из условия 3 следует, что .

Теорема 11. Поле комплексных чисел нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел упорядоченно. Так как , то по теореме 10 - противоречие.

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001