Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть  - кольцо с единицей 1. Элемент  из множества  называется обратным в кольце  , если   .  называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо  , элемент 2 необратим в этом кольце, так как  , элемент 5 необратим в кольце целых чисел.  - обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел  , обратимыми являются все элементы кроме  .
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо  , обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция  коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица  .
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа  - галуафилд.  ;  . Определим
операции сложения и умножения:
 И    - бинарные операции,  - унарная
Из этой таблицы видно, что операция  - коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к.  ,  .
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение:     .
Если  , то  .
Доказательство. Пусть , докажем, что  , то есть  , тогда  противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей |  ,   .
Если  ,  .  умножим равенство справа на  , то есть   .
 .
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства  на слева,   .
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции:  ,    , значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
 .
Доказательство.   . Умножим обе части равенства справа на   , где  .
 , где .
Доказательство. Выпишем правую часть    равна левой части.
 , где .
Доказательство. Правая часть    равна левой части.
 , .
Доказательство. Правая часть    левая часть.
 , .
Доказательство. Левая часть   .
 , .
Если  , то  .
Доказательство. Вычислим произведение    то есть  обратный элемент к  .
 , где  .
Доказательство. Левая часть равна   равна правой части.
 - коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля: 
1.  , так как поле.
2. 
3. 
4.  , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции  и   подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система  называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество  замкнуто относительно операции и 
Аксиома минимальности, если  такое, что:
а) 
б)   , тогда  .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|