Реферат: Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2
Название: Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2 Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Файл : FERMA-n3 - new © Н. М. Козий, 200 9 Украина, АС № 2 8607 Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ Ф ЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: А n + В n = С n (1) где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах. Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом: А n = С n -В n (2) Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом: A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2 ) (3) Обозначим: C – B = K (4) Отсюда: C=B+K; B=C-K (5) Из уравнений (3), (4) и (5) имеем: A3 = K[C2 + C∙(C-K) + (C-K)2 ] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3 (6) Отсюда:3K·C2 -3K2 ∙C – ( A3 – K3 ) = 0 (7) Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С .Решая его, получим: C = Число C будет целым только при условии, если:
Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4 A3
= K3
∙ A = K Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом. Из анализа формулы (10) также следует, что если A – целое число, то должно быть: A3 = K3 ∙ Y3 , (12) где: Y3
= Отсюда: A = K∙ Y
=
K Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму: Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15) По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии: SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16) где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14). Тогда: SN
= 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13): Y3 = 1 + 6∙SN (18) Из уравнения (18) следует, что все числа Y3 нечетные. Из уравнений (17) и (18) получим: Y3
= 1 + 6∙
т.е. получили уравнение (13). Из уравнения (19) следует: Y = Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде: Y3
= 1 + 6∙
Из уравнения (21) следует: SN
= Полагаем, что Y - целое число . Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y , определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы SN : Y = 3, SN = 4,333…; Y = 5, SN = 20,666…; Y = 7 , SN 1 = 57; Y = 9, SN = 121,333…; Y = 11, SN = 221,666…; Y = 13 , SN 2 = 366; Y = 15, SN =562,333…; Y = 17, SN = 818,666…; Y = 19, SN 3 = 1143; Y = 21, SN =1543,333…; Y = 23, SN = 2027,666…; Y = 25, SN 4 = 2604. Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y , для которых сумма SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19)не существует целого числаN , т. е.: N
= Есть также такие значения числа Y , для которых сумма SN – целое число. Эти числа имеют особенность - они равны: Y = 7 =1 + 6∙1 ; Y = 13 =1 + 6∙ 2; Y = 19 =1 + 6∙ 3; Y = 25 =1 + 6∙ 4. Отсюда следует, что для чисел: Y = 1 + 6∙ m, где: m =1, 2, 3,… , сумма SN – целое число. Тогда в соответствии с формулой (17) имеем: N= Подставляя ранее полученные значения целых чиселSN , получим: N= N= Отсюда следует, что и при целых числах SN числоN - дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN 1 , SN2 , SN3 , SN4 на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.: SN1 =57 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + p ; SN2 = 366 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + r; SN3 = 1143 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + s ; SN4 = 2604 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + t. Следовательно, в соответствии сформулами (19), (20) и (23) если N - целое число, тоY - дробное число. И, наоборот, если Y - целое число,то N - дробное число. Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 числоY всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число. При N = 1 из уравнения (14) следует A = K , а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3. Автор Козий Николай Михайлович , инженер-механик E-mail: nik_krm@mail.ru |