Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Описание конечных групп с плотной системой  -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-32
____________ Лякишева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения  ;
 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 --- пустое множество;
 --- множество всех  , для которых выполняется условие  ;
 --- множество всех простых чисел;
 --- некоторое множество простых чисел, т.е.  ;
 --- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности,  ;
примарное число --- любое число вида  ;
 --- множество всех целых положительных чисел.
 --- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .
Запись  означает, что  предшествует  в упорядочении ,  .
Пусть  --- группа. Тогда:
 --- порядок группы ;
 --- порядок элемента  группы ;
 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
 --- множество всех простых делителей порядка группы ;
 --- множество всех различных простых делителей натурального числа  ;
--группа --- группа , для которой  ;
--группа --- группа , для которой  ;
 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
 --- коммутант группы ;
 --- --холловская подгруппа группы ;
 --- силовская --подгруппа группы ;
 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е.  --холловская подгруппа группы ;
 --- группа всех автоморфизмов группы ;
 ---  является подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
 --- является нормальной подгруппой группы ;
 --- подгруппа характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма  ;
 --- индекс подгруппы в группе ;
 ;
 --- централизатор подгруппы в группе ;
 --- нормализатор подгруппы в группе ;
 --- центр группы ;
 --- циклическая группа порядка ;
Если  и  --- подгруппы группы , то:
 --- прямое произведение подгрупп и ;
 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .
Группа называется:
примарной, если  ;
бипримарной, если  .
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
Группу называют --нильпотентной, если  .
Группу порядка  называют --дисперсивной, если выполняется  и для любого  имеет нормальную подгруппу порядка  . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет  , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь  называется  -цепью (с индексами  ); если при этом  является максимальной подгруппой в  для любого  , то указанная цепь называется максимальной -цепью.
Ряд подгрупп  называется:
субнормальным, если  для любого ;
нормальным, если  для любого .
Нормальный ряд называется главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех  .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
 --- класс всех нильпотентных групп;
 --- класс всех разрешимых групп;
 --- класс всех --групп;
 --- класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:
 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых  . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из  следует, что и  . Класс групп  называется наследственным или -замкнутым, если из того, что  , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы называется:
-нормальной, если  ;
-абнормальной, если  .
Максимальная -цепь  называется -субнормальной, если для любого  подгруппа  -нормальна в  . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.
Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что  . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.
Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп  удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп  из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что  . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп
такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого  . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп
Пусть --- произвольная  -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп,  --- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что не -дисперсивна, где  таково, что  равносильно  . Так как --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме , лемма верна. Пусть теперь -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме . Лемма доказана.
Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая  -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда --- группа одного из следующих типов:
1)  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой  ,  ;
2) , где ,  содержит такую абелеву подгруппу  , нормальную в , что  --- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа  сверхразрешима, где  --- любая максимальная подгруппа из  ;
3)  ,  , --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа из  , является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
4) ,  , где --- минимальная нормальная подгруппа группы ,  , подгруппа  ,  является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
5)  ,  , --- минимальная нормальная подгруппа из ,  --- абелева группа,  и  --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где --- произвольная максимальная подгруппа из ;
6) ,  , где  ,  --- минимальные нормальные подгруппы группы , ,  --- минимальная несверхразрешимая группа;
7) ,  ), где --- минимальная нормальная подгруппа группы ,  сверхразрешима, подгруппа  , где --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;
8)  ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы  ,  ,  ,  со следующими свойствами: , --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы и принадлежат , где --- максимальная подгруппа из  ,  --- максимальная подгруппа из ;
9) ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы  ,  , ,  со следующими свойствами: сверхразрешима, --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.
Доказательство. По лемме, группа разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.
1. Рассмотрим вначале случай , где  и  --- различные простые числа. По лемме в группе любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.
1.1. Пусть в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа  . По лемме,  является минимальной несверхразрешимой группой и  --- абелева группа. Так как  , то либо  , либо  . Если предположить, что , то  и  . Поэтому  немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме ,  . Противоречие. Значит, ,  и  . Из того, что группа дисперсивна по Оре, и , следует, что  . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из  . По условию, в существует -субнормальная подгруппа  такая, что  . Ясно, что  и, значит, сверхразрешима. Следовательно,  -субнормальна в и в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа  сверхразрешима. Итак, в данном случае --- группа типа 2) из данной теоремы.
1.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .
Пусть вначале максимальна в . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу  . Если -субнормальна в , то, по теореме ,  . Предположим, что не -субнормальна в . Тогда содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из  . Так как  , то  . Если  , то, согласно лемме, --- минимальная не -группа. Пусть  . Тогда  и  . Применяя теорему Машке, получаем, что  и  . Если  , то  . Противоречие. По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Если  --- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы, -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа  . Значит, --- группа типа 2) из данной теоремы, а --- группа типа 3) из данной теоремы.
Пусть теперь немаксимальна в . Тогда, по лемме, содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда группа представима в виде  , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид  , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме , принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что  . Тогда, по теореме Машке , . Ввиду следующего равенства  получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Если же  , то группа имеет вид  и  . Так как максимальна в , то  . Рассмотрим подгруппу  . Если , то -субнормальна в . Учитывая, что дисперсивна по Оре, по теореме , получаем, что  . Противоречие. Каждая собственная подгруппа из будет немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Если максимальна в , то --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что не максимальна в , то она содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Получили, что и  . Это значит, что  . Противоречие с тем, что --- максимальная подгруппа в .
2. Рассмотрим случай , где , и  --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.
2.1. Предположим, что в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что  . Так как  , то  и ,  . Применяя лемму и учитывая, что  , получаем  . Из того, что разрешима, следует, что либо , либо нормальна в . По теореме, в существует подгруппа  . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Предположим, что  . Тогда будет немаксимальна в и, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что  . Ясно, что  . Поэтому  , а это значит, что -субнормальна в . Тогда, по теореме ,  . Это значит, что  . Ясно также, что  и максимальна в . Тогда  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой --- абелева группа. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу  . Предположим, что  . Так как либо  , либо  , то пусть для определенности . Из того, что  , следует, что  и  . Имеем и --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому  . Значит, подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Пусть --- произвольная подгруппа из , отличная от . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что  . Ясно, что . Поэтому . Отсюда следует, что -субнормальна в . Предположим, что  . Согласно лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 5). Пусть  . Тогда  , где --- -группа. Если , то, ввиду леммы , --- минимальная несверхразрешимая группа. Если  , то, применяя теорему , получаем, что --- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что . Тогда  . Подгруппа самонормализуема в , так как в  и  , подгруппа является максимальной. Значит, --- группа Фробениуса с ядром и дополнительным множителем . По теореме ,  . Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда . По теореме Машке , и . Отсюда получаем, что  и  . Противоречие. Значит, . Если , то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак, --- группа типа 5) из данной теоремы.
Пусть теперь --- минимальная несверхразрешимая группа и  . Так как , то  , и  . Предположим, что  . По теореме , в существует подгруппа , содержащая  . Так как  , то  и содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Предположим, что  . Применяя лемму, получаем, что  , а значит,  . Подгруппа немаксимальна в , так как , и . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что  . Отсюда следует, что -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Итак,  --- минимальная несверхразрешимая группа. Так как  , то  . Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в нет -абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, , и  . Ясно, что  и  . Ввиду того, что группа дисперсивна по Оре, получаем, что --- наибольший простой делитель  и  , а значит, . Из  следует, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует такая -субнормальная подгруппа такая, что  . Ясно, что . Поэтому сверхразрешима. Отсюда следует, что -субнормальна в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа  сверхразрешима. Следовательно, --- группа типа 2) из данной теоремы.
2.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме --- -группа. По лемме либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .
Пусть максимальна в . Так как , то  . Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае группа типа 7) из данной теоремы.
Предположим теперь, что не максимальна в . Тогда  , где --- -группа. Предположим, что  . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке, . Ввиду следующего равенства  получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь  . В этом случае  . Так как , то . Согласно лемме , подгруппы и будут -субнормальны в . Очевидно, что ,  . Поэтому  и . Рассмотрим подгруппу  . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если  , то --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что  . Тогда  , где --- -группа и . Так как  , то  --- элементарная абелева группа. Значит,  и  --- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, --- группа типа 6) из данной теоремы.
3. Рассмотрим случай , где , , и  --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.
3.1. Предположим, в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как  , то  и  , . Отсюда получаем, что и  . Применяя леммы и получаем, что  . Рассмотрим подгруппу  . Такая группа существует согласно теореме . Так как  , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если  , то  и, согласно лемме,  . Подгруппа  немаксимальна в . Поэтому, по лемме , -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Следовательно,  и, согласно лемме,  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что  и  . Рассмотрим подгруппу  . Подгруппа циклическая согласно теореме. Поэтому  --- абелева группа. Так как , то  . Аналогично получаем, что коммутантом группы  . является . Пусть  . Легко видеть, что сверхразрешима. Ввиду теоремы,  . Так как  и  , то  и  . Отсюда получаем, что  . Значит, и  . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная максимальная подгруппа такая, что . Ясно, что  . Поэтому принадлежит и -субнормальна в . Применяя теорему, получаем  . Так как и --- циклические группы, согласно теоремы, то в два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы  и  , где --- максимальная подгруппа из , --- максимальная подгруппа из . Значит, подгруппы вида  и принадлежат , и --- группа типа 8) из данной теоремы.
3.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .
Предположим, что --- максимальная подгруппа в . В существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в и  . Рассмотрим подгруппу  . Так как и  , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если  , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда  . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что . Тогда  , ввиду леммы. Подгруппа , поэтому, согласно теоремы Машке, и . Рассмотрим подгруппу  . Подгруппа  будет минимальной нормальной подгруппой группы  , в противном случае в существует минимальная нормальная подгруппа  , для которой  и  . Применяя лемму, получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в существует подгруппа  такая, что  --- минимальная несверхразрешимая группа. Значит,  , и --- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы . По доказанному выше,  может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если --- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из -субнормальна в , --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа  --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.
Так как подгруппа максимальна в и , то  и  . Из того, что все силовские подгруппы из циклические, следует, что в всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как  и --- циклическая группа, то максимальная подгруппа из нормальна в . Подгруппа  максимальна в . Рассмотрим теперь подгруппу  . Если , то  . Если предположить, что  , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Если  , то --- минимальная несверхразрешимая группа и  . Противоречие. Пусть  . Тогда максимальна в , причем --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак,  . Пусть . Тогда  и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.
Пусть  , где --- максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу  . Если  , то  и, по доказанному, -субнормальна в . По теореме ,  . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.
Подгруппа , и циклические, поэтому в три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в три класса -нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: , и  . Группа в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.
Пусть теперь не максимальна в . Тогда , где . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и  . Противоречие. Пусть . Тогда  . Ввиду дисперсивности группы . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа. Если  ---  -число, то сверхразрешима. Предположим, что --- степень . Тогда  . содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если  , то --- минимальная несверхразрешимая группа и  . Противоречие. Значит,  . Подгруппа максимальна в , так как в противном случае сверхразрешима. По лемме --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора , получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие.
4. Рассмотрим случай  . Согласно лемме в группе -абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в имеется несверхразрешимая  -абнормальная максимальная подгруппа  , то  и, ввиду разрешимости группы  ,  . Противоречие. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  ---  -группа. По лемме, либо  --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если немаксимальна в , то, по доказанному выше,  . Остается случай, когда --- максимальная подгруппа в . В этом случае  и в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Рассмотрим подгруппу  .  . Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из -субнормальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из  . Если  , то, по лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит,  и максимальна в . По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда  . Противоречие. Теорема доказана.
В случае, когда --- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.
Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда является холловой -абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число , и холлова  -подгруппа группы сверхразрешима, утверждается, что холлова -подгруппа из не максимальна в , что в общем случае не верно.
Заключение
В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная  -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация  -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы  и  такие, что  , не максимальна в , и из  всегда следует, что  не -субнормальна в .
Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с  -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О  -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.
|