Реферат: Математические методы и модели в экономике 2

Содержание

Задача 1. 3

Задача 2. 4

Задача 4. 6

Задача 5. 9

Задача 6. 11

Задача 7. 14

Задача 9. 15

Задача 11. 19

Задача 13. 22

Список используемой литературы.. 25

Задача 1

Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1 вида, 3 детали 2 вида, и 2 детали 3 вида. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

Решение

Обозначим через х_ij число единиц из i-й партии (1,2) фанеры, которые намечено раскроить j -м способом (1,2,3) , так что из i-й партии при j-м способе раскроя будет получено а_ijk х_ij деталей к -го вида. Всего из всей i-й партии деталей к -го вида будет получено , а из всех mпартий их будет получено:

Из первой партии фанеры:

Деталей первого вида: 400(0х₁₁ +6х₁₂ +9х₁₃ )

Деталей второго вида: 400(4х₁₁ +3х₁₂ +4х₁₃ )

Деталей третьего вида: 400(10х₁₁ +16х₁₂ +0х₁₃ )

Из второй партии фанеры:

Деталей первого вида: 250(6х₂₁ +5х₂₂ )

Деталей второго вида: 250(5х₂₁ +4х₂₂ )

Деталей третьего вида: 250(8х₂₁ +0х₂₂ )

Всего из двух партий фанеры:

Деталей первого вида: 400(6х₁₂ +9х₁₃ )+ 250(6х₂₁ +5х₂₂ )

Деталей второго вида: 400(4х₁₁ +3х₁₂ +4х₁₃ )+ 250(5х₂₁ +4х₂₂ )

Деталей третьего вида: 400(10х₁₁ +16х₁₂ )+ 2000х₂₁

Число полных комплектов, которое можно выпустить по данному плану, будет равно:

Введем дополнительную переменную х – отходы при используемом способе раскроя. В результате, получим задачу линейного программирования:

z = x →min,

при ограничениях:

х₁₁ +х₁₂ +х₁₃ =400

х₂₁ +х₂₂ +х₂₃ =250

, где х, х_ij – целые числа.

Задача 2

Решить графическим методом.

Решить графическим методом

Z= 3 х₁ -4х₂ → max при условиях:

-х₁ +х₂ ≤1

-х₁ +2х₂ ≥-2

х₁ +х₂ ≥-1

-3х₁ +2х₂ ≤6;

2х₁ – х₂ ≤2

х₁ ≥0; х₂ ≥0

Решение

Запишем ограничения в виде равенств и построим соответствующие им линии уровня в системе координат. Строим область допустимых значений решения, удовлетворяющую начальным условиям. Семи заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, образующие пятиугольник АВСDE. Неравенства х₁ ≥-4; х₁ +5х₂ ≥4 могут быть исключены, так как они определяют граничные прямые, не имеющие с АВСDE общих точек.

Строим на плоскости вектор целевой функции . Через начало координат перпендикулярно проводим линию уровня целевой функции Z=0. Линия уровня перемещается в направлении параллельно самой себе, пока не встретится с вершиной области допустимых значений АВСО т. В. Значение Z в точке В является минимальным.

При дальнейшем перемещении линия уровня пройдет через другую вершину ОДР, выходя из области решений – точку С. Значение Z в точке С является максимальным. Значение целевой функции Z_{m ах} в т. С. Найдем её координаты:

2х₁ – х₂ =2

х₂ =0

С(0; 1)

Z_{m ах} =3*1-4*0=3

Ответ: Z_{m ах} =3.

Задача 4

Удельные затраты С_ij на перевозку 1 т груза вида i транспортом j (руб.) представлены матрицей

С_ij =

Мощности поставщиков А₁ =30 тыс.т; А₂ =10 тыс.т; А₃ =40 тыс.т; А₄ =70 тыс.т. Спрос потребителей: В₁ =30 тыс.т; В₂ =10 тыс.т; В₃ =20 тыс.т; В₄ =10 тыс.т.

Определить объемы перевозок груза транспортом j (руб.), чтобы суммарные издержки были бы минимальными, построить матрицу объемов перевозок.

Решение

1. Определяем тип задачи. Так как . Задача является открытой. Введем фиктивного потребителя с объемом потребления В_ф .

2. Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением В_ф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза С_{i ф} =0.

3. Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза , т. е. min С_{i ф.}

Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: х_{i ф} =А_ii -

Опорный план

4. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как

4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки.

5. Оптимизируем план, используя метод потенциалов.

С_ij =U_i + V_j , где U_i – потенциал строки; V_j – потенциал столбца.

Пусть V₄ =0. пересчитаем все остальные U_i и V_j и зафиксируем их в опорном плане. U₄ =1,2; V_ф =0; V₄ =0-1,2=-1,2; V_ф =0-1,2=-1,2; U₃ =0-(-1,2)=1,2; V₃ =1,2-1,2=0; U₁ =1,5-0=1,5; V₁ =1,2-1,5=-0,3; V₂ =0; U₂ =1-0=1.

6. Определяем характеристики свободных клеток: Е_ij = С_ij -(U_i + V_j )≥0.

Е₁₂ =1,6-0-1,5=0,1; Е₁₃ =1,7-0-1,5=0,2; Е_1ф =1,2-1,5=-0,3; Е₂₁ =1,4+0,3-1=0,7; Е₂₃ =1,2-1=0,2; Е₂₄ =1,5-1=0,5; Е_2ф =0+1,2-1=0,2; Е₃₁ =1,6+0,3-1,2=0,7; Е₃₂ =1,4-0-1,2=0,2; Е₃₄ =1,4-0-1,2=0,2; Е₄₁ =1,5+0,3-1,2=0,5; Е₄₃ =1,4-0-1,2=0,2.

7. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения.

х_1ф = min{0; 60}=60

0 -	+	0
10 +	60 -	10	60

Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения.

Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным.

Задача решена.

Определим значение целевой функции:

F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)

Задача 5

Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.

Представлена грузоподъемность транспорта Р₁ =10т; Р₂ =5т; Р₃ =10т; Р₄ =15т.

АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n₁ =20; n₂ =30; n₃ =30; n₄ =20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В₁ = 120 тыс.р.; В₂ = 50 тыс.р.; В₃ = 80 тыс.р.; В₄ = 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:

Т=

Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.

С=

Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.

Решение

1. Определяем мощность А_i =dtSn_i

d– количество рабочих дней (d=25) в месяце;

t – количество часов в смене (t=8);

S– количество смен (S=2) в сутки

n_i – количество машин i-го типа.

А₁ =25*8*2*20=8000 маш.ч.; А₂ =25*8*2*30=12000 маш.ч.; А₃ =12000 маш.ч.; А₄ =8000 маш.ч.

2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λ_ij =P_i /t_ij .

λ=

3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: k_ij = λ_ij / С_ij .

K=

4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по maxk_{ij .} Это клетки Х₃₁ и Х_43.

Расчетная матрица

5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с С_{i ф} =0 и λ_{i ф} =1. произведем расчет фиктивных поставок.

6. Проверяем план на вырожденность:

5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.

Оптимизируем опорный план.

Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению:

С_ij = U_i +V_j λ_ij , откуда U_i = С_ij -V_j λ_ij ; V_j = (С_ij -U_i )/λ_ij

Зададимся потенциалом фиктивной троки: U_ф =0.

Тогда: V₃ =V₂ = V₁ = V₄ =0; U₄ =4-5∙0=4; U₃ =2-0=2; U₂ =4-0=4; U₁ =3-0=3

Определяем характеристики свободных клеток по формуле:

Е_ij = С_ij -(U_i + λ_ij V_j );

Е₁₂ =4-3-0>0; Е₁₃ =5-3-0>0; Е₁₄ =6-3-0>0; Е₂₁ =5-4-0>0; Е₂₂ =6-4>0; Е₂₃ =7-4>0; Е₃₂ =3-2>0; Е₃₃ =4-2>0; Е₃₄ =3-2>0; Е₄₁ =5-2>0; Е₄₂ =4-2>0; Е₄₄ =2-2=0.

Так как все Е_ij ≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е₄₄ =0)

Целевая функция затрат на перевозку:

F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)

Задача 6

Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А₁ , А₂ , А_3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В_1, В_2, В₃ ).

Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.

Решение

Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

А=

Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.

Z=

Аналогично для второго игрока (спрос)

Приведем данные уравнения к форме без переменной V:

(*)

Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х₁ ,х₂ ,…,х_m ) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:

Решаем задачу симплексным методом.

Базисное решение Б₁ (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2.

Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х₁ =0,5; х₂ =0; х₃ =0,5; х₄ =0; х₅ =0; х₆ =0,5; х₇ =0,5.

Задача 7

На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x₁ ² руб., а затраты, обусловленные изготовлением х₂ изделий на II предприятии, составляют 48х₂ + 8х² ₂ (руб.).

Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение

f=4x₁ ² +48х₂ + 8х² ₂ →min

х₁ +х₂ =300

Составим функцию Лагранжа: F=f+λg

х₁ +х₂ =300

; х₂ =300-х₁

16(300-х₁ )-8х₁ +48=0

Тогда (деталей)

х₂ =300-202=88 (деталей)

Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей.

Задача 9

Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ² (р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ² (р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.

Решение

Рассчитаем переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ.

Произведем пошаговую оценку альтернативных вариантов затрат для возможных различных состояний τ на каждом шаге t, т.е.

Начало оценивается с последнего t=5 шага.

Шаг 1; t=5.

Все состояния на последнем интервале приравниваются к 0:

F₈₅ =0; F₇₅ =0; F₆₅ =0; F₅₅ =0; F₄₅ =0; F₃₅ =0; F₂₅ =0; F₁₅ =0.

Шаг 2; t=4.

Шаг 3; t=3.

Шаг 4; t=2.

Шаг 5; t=1.

Шаг 6; t=0.

Функции затрат F₀₀ , F₁₀ , F₂₀ , F₃₀ – затраты на единицу оборудования соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования:

t=1; Q₁ = 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25

t=2; Q₂ = (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=3; Q₃ = (10+8+5)*11,4+12*4,4=315

t=4; Q₄ = (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=5; Q₅ =(10+8+5)* 9,6+12*4,4=237,6

Проверка: сумма затрат для оборудования каждого возраста должна равняться сумме затрат на них по годам планирования. Затраты на каждый возраст:

=41*10+36*12+41,2*8+41,45*5=1378,85

Сумма затрат по годам:

Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₃ =314,25+238+315+238+237,6=1375,85

Задача 11

Дана схема движения транспорта с n=5 пунктами и расстояниями между ними. Построить кольцевой маршрут объезда всех пунктов наименьшей длины.

Решение

Стоим приведенную матрицу с целью получения в каждой строке и столбце не меньше 1 кратчайшего маршрута (0 приведенного значения). Коэффициенты приведения

по строкам: К₁ =7+4+7+6+9=33

по столбцам (у приведенной матрицы): К₂ =3+1=4

К_пр =33+4=37 (сумма самых коротких маршрутов).

∞	6	5	3	0
3	∞	2	4	0
3	3	∞	4	0
0	0	8	∞	2
0	4	0	0	∞

Для нулевых значений определяем коэффициенты значимости:

К₄₁ =0; К₅₁ =0; К₄₂ =3; К₅₃ =2; К₂₅ =2; К₁₅ = К₃₅ =3; К₅₄ =3.

Выбираем а_ij =0 с максимальным К_ij , например, К₁₅ =3.

В матрице назначения присваиваем Х₁₅ =1. В полученную матрицу в клетку (5,1) вводим запрет.

Приведем матрицу.

2	3	4	1
2	∞	0	2	1
3	0	∞	1	0
4	0	8	∞	0
5	4	0	0	∞

Подсчитаем новое значение К_пр : 37+2+3=42.

Определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К₃₂ =К₄₂ = К₅₃ =К₄₁ =К₃₁ =0; К₂₃ = К₅₄ =1.

Выбираем а_ij =0 с максимальным К_ij , например, К₂₃ =1.

В матрице назначения присваиваем Х₂₃ =1. В полученную матрицу в клетку (3,2) вводим запрет.

2	4	1
3	∞	1	0
4	0	∞	0
5	4	0	∞

Так как матрица уже приведена, определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К₄₂ =4; К₄₁ =0; К₃₁ =1; К₅₄ =5.

Присваиваем в матрице назначения Х₅₄ =1. В полученную матрицу в клетку (4,1) вводим запрет.

В полученной матрице осталось два маршрута, которые и вносим в кольцевой маршрут: Х₃₁ =1; Х₄₂ =1.

Введем все маршруты в матрицу назначения.

Длина полученного маршрута:

Условие оптимальности F=К_пр. =42 выполняется, то полученный кольцевой маршрут является оптимальным.

Задача 13

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. Пункт состоит из n=3 каналов; на осмотр каждой машины затрачивается При осмотре группа выявляет дефект с вероятностью р=0,7; на осмотр поступает в среднем . Обслуживание одной заявки приносит среднюю прибыль С₁ =3 руб./час, создание 1 канала требует среднего расхода С₂ =18000 тыс.р., эксплуатация 1 канал в единицу времени требует среднего расхода С₃ =8 руб./час. Определить характеристики работы пункта. Установить, при каких соотношениях С₁ ,С₂ , С₃ система будет рентабельна, и если система не рентабельна при заданных С₁ ,С₂ , С₃ , то при каких она будет рентабельна? Через какое время эксплуатации система будет приносить прибыль?

Решение

Характеристики работы системы:

1. Среднее число занятых каналов

2. Вероятность выявления скрытого дефекта

Р_абс. =(1-Р₀ )Р=

3. Абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

4. Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

5. Вероятность того, что канал занят:

П_з.к. =

6. Среднее время простоя канала:

7. Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром

8. Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)

9. Средняя прибыль за сутки (t=24 часа)

10 Средняя стоимость в сутки:

11. Прибыль, которую система начнет приносить через время, определяется условием:

Условие рентабельности:

У нас .

Преобразуем это выражение с учетом того, что ; получим условие оптимальности:

Система будет рентабельна, если:

Из найдем время, через которое система начинает приносить прибыль:

(дней) или (лет)

Список используемой литературы

1. Данко П.Е. и др. Высшая математика в примерах и задачах. Ч2: Учебник для втузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

2. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208 с.

3. Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании МТС. – М.: Высшая школа, 1990. – 352 с.

Министерство образования Российской Федерации

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО МЕТОДАМ И МАДЕЛЯМ В ЭКОНОМИКЕ

Выполнил: студент 3-го курса з/о

Специальность:________________

№ зач. книжки_________________

Ф.И.О._______________________

2010г.