Реферат: зно математика 2007 с ответами

Название: зно математика 2007 с ответами
Раздел: ЗНО
Тип: реферат

МАТЕМАТИКА

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ

Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

· відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

· рівень навчальних досягнень учнів;

· ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних

закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

Частина 1

ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ

    Розташуйте у порядку спадання числа ; ; .
А Б В Г Д
; ; ; ; ;; ; ; ;;

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.

    Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.
А Б В Г Д
1150 1050 950 850 750

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.

    З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
А Б В Г Д

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.

    Розв’яжіть нерівність
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.

    Знайдіть область визначення функції .
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.

    Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
А Б В Г Д
41 45 54 68 81

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.

    Обчисліть .
А Б В Г Д
1 2

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.

    Розв’яжіть рівняння tg=
А Б В Г Д
+ інша відповідь

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к і b .
Оберіть правильне твердження.

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.

    Укажіть парну функцію.
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.

    Обчисліть
А Б В Г Д

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості логарифма.

    Розв’яжіть нерівність .
А Б В Г Д
(0; 10) (0,1; 10) (−10; 0)

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.

    Розв’яжіть рівняння
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

    Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння .
А Б В Г Д
жодного один два три більше трьох

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.

    Знайдіть первісну функції , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.

16. На рисунку зображений графік функції та дотичні до нього в точках та . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .

А Б В Г Д
1

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.

    Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В .

А Б В Г Д
30о 40о 50о 60о 70о

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.

    Точка М – середина сторони квадрата АВС D . Площа зафарбованої частини дорівнює 7 . Знайдіть площу всього квадрата.

А Б В Г Д
14 21 28 35 42

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.

    Знайдіть координати точки М , відносно якої симетричні точки і .
А Б В Г Д
інша відповідь

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.

    Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см .
А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.

Частина 2

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ

    Обчисліть

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.

    Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.

    Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

    На перегоні, довжина якого дорівнює , поїзд рухався зі швидкістю на

10 менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.

    Обчисліть

Правильна відповідь : 0,5

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.

    Розв’яжіть рівняння . У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка. Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.

Розв’язання.

Знайдемо область визначення:

Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

звідси:

Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.

    Розв’яжіть систему рівнянь

Запишіть у відповідь добуток , якщо пара є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

    Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

    Обчисліть

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

    Знайдіть найбільше ціле значення параметра а , при якому система рівнянь має два розв’язки.

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

    Знайдіть найбільше значення функції на проміжку .

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

    Знайдіть найменше ціле значення параметра а , при якому рівняння має корені.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

    Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

добуток .

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

    Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3 . Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35 . Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD ( S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC , проведеною з вершини D , та середньою лінією трикутника ASC , що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь : .

Розв’язання (авторський варіант)

Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а , тоді бічне ребро SA = 2a .

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC . У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC . Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC , то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N , тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC . Позначимо .

Діагональ АС квадрата АВС D дорівнює , тому середня лінія MN = .

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L . Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .

З прямокутного трикутника .

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = .

З прямокутного трикутника .

Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD . Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

.

Відповідь. .

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND ( DM= DN) учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

· Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обґрунтування того, що учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал .

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал .

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

37. Побудуйте графік функції .

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність Отже, .

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння , звідки .

Якщо , то .

Якщо , то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Схема оцінювання

1. За правильно знайдене учень одержує 1 бал .

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує 1 бал .

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує ще 1 бал .

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали .

38. Розв’яжіть нерівність .

Правильна відповідь: при ;

при ;

при .

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а : .

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність .

.

  1. Якщо , то розв’язком першої нерівності даної системи буде . Тоді розв’язком нерівності буде при <<1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1.
  2. Якщо то розв’язком нерівності буде , а нерівність не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність .

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, .

1. Якщо , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .

3. Якщо , то одержимо нерівність , звідси .

Отже, загальна відповідь: при ;

при ;

при .

Схема оцінювання

  1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал .
  2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал .
  3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал .
  4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .

· Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

  1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал .
  2. За правильно знайдені нулі функції ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали .

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал .

    За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали .

Якщо учень розглянув один з випадків або , то він одержує лише 1 бал .

    За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .

· Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: , а= 1, , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

  1. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує1 бал.
  2. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
  3. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
  4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .