Реферат: Знаходження похідної функції
Название: Знаходження похідної функції Раздел: Рефераты по педагогике Тип: реферат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2. 1) == 2)
Рівняння шуканої дотичної у – у0 =. Оскільки х0 = 1, у = х2 , то і Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1. 2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII. II . Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює , тобто . Якщо покласти , де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0. Якщо у формулі покласти, то одержимо Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х5 , у = х20 тощо? Розглянемо функцію у= хn , де n – . Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді: 1) 2) (Скориставшись формулою 3) Звідси Розглянемо функцію у = хn -1 , де . Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді 1) 2)
3) =
Отже, , де . Таким чином виконується рівність: . Виконання вправ 1. Знайдіть похідну функції: а) у = х6 ; б) у = х8 ; в) у = х2 ; г) . Відповідь: а) 6х5 ; б) 8х7 ; в) 7х6 ; г) 6х5 . 2. Знайдіть похідні функцій: а) у = х-10 ; б) у = х2 ; в) ; г). Відповідь: а) -10х-11 ; б) -3х-4 ; в) -6х-7 ; г) -6х-7 . ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді: 1) 2) 3) . Отже Аналогічно можна довести, що Знайдемо похідну функції . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді: . . Отже, Аналогічно можна довести, що Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника. VI . Підведення підсумків уроку Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних. Таблиця Таблиця похідних V . Домашнє завдання Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4). ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних. І. Перевірка домашнього завдання
1. Усне розв’язування вправ. 1) Знайдіть похідні функцій а) у – х10 ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а) 10х9 ; б) -9х-10 ; в) -4х-5 ;ё г) 3х2 . 2) Знайдіть похідні функцій: а) в точці ; б) в точці ; в) в точці ; г) в точці . Відповідь: а) 0; б) ; в) 4; г) -1. 2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ. ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних. Доведення Розглянемо функцію у = f(x) + g(x). Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту . Тоді , . Отже, . Наслідки а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних. Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси. б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто . Приклад. Знайдіть похідну функцій
а) ; б) ; в) . Розв’язання а) ; б) . в) .
Відповідь: а) ; б) в) =. Виконання вправ 1. Знайдіть похідні функцій: а) у = х3 + х – х4 ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а); б); в) ; г) . 2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0 : а) ; б) ; в) . Відповідь: а) 1; б) ; в) -1. 3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0: а); б) ; в) . Відповідь: а) ; б) ; в) . ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції Доведення . Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді 1) Оскільки , , то . 2) . Отже, .
Наслідки а) Постійний множник можна винести за знак похідної: . Дійсно,. б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
.
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ; в) . Розв’язування а) ; б) ; в)
.
Виконання вправ. 1. Знайдіть похідну функцій: а) ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а) 6х-5; б) ; в) ; г) . 2. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) . 3. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) . Відповідь: а) ; б) . IV . Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і . Доведення Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше. Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати: . Отже, . Приклад: Знайдіть похідні функцій а) ; б) . Розв’язання
а) . б) .
Виконання вправ 1. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а ) ; б) ; в) ; г) . 2. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .
V . Домашнє завдання Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8). ТЕМА УРОКУ : Похідна складеної функції Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
2. Самостійна робота. Варіант 1. 1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0 : а) , х0 =-1. (2 бали) б) . (2 бали) 2. Знайдіть похідну функцій: а) . (2 бали) б) . (2 бали) в) . 42 бали) Варіант 2. 1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0 : а) , х0 =-1. (2 бали) б) . (2 бали) 2. Знайдіть похідну функцій: а) . (2 бали) б) . (2 бали) в) . 42 бали) Відповідь: В-1. 1. а) ; б) -1 2. а) ; б) ; в) В-2. 1. а) ; б) 1 2. а) ; б) ; в) .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад. Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою . Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=. Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть . Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u). Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій , де - внутрішня функція, - зовнішня функція. Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо Розв’язання
Виконання вправ. 1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція : а) б) в) г) Відповіді: а) б) ; в) г) . 2. Дано функції: . Побудуйте функції: а) ; в) ; в) ; г) ; в) ; є) . Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) ; д) є) У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники: – похідна функції у по аргументі х; – похідна функції у по аргументі u; – похідна функції u по аргументі х; Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу. Доведення Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0 , а функція має похідну в точці u0 =, тобто існують границі , і . Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і . Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ). або .
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3 -1)5 . Розв’язання у = (3х3 -1)5 – складена функція , де u =3х3 -1, тоді , . При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3 -1: .
Приклад 2. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) . Розв’язання
а) ; б) ; в) ; г) .
Виконання вправ. 1. знайдіть похідні функцій: а) у = (3х+2)50 ; б) (6-7х)10 ; в) ; г) . Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) . 2. Знайдіть похідні функцій: а) ; б) ; в) ; г) . Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) . ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання
IV . Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22). ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
І. Перевірка домашнього завдання 1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6) ; 10) ; 11) ; 22) . 2. Виконання усних вправ. Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця
ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340 (рис.29), а при а = 2, =470 . у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340 до 470 . Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0 Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450 . У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0 дорівнює =1. Отже, . Знайдемо тепер формулу похідної функції . Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді: 1) 2) 3) . Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції: Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції: . Отже, Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи. Приклад 1. Знайдіть похідну функцій: а) у = 5х ; б) у = е3-2х ; в) ; г) . Розв’язання
а) ; б) ; в) ; г) .
Виконання вправ. № 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х). ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х. Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або . Звідси . Отже, Знайдемо похідну функції . Так як , то . Отже, Приклад 1. Знайдіть похідну функцій: а) ; б) ; в) ; г) . а) ; б) ; в) ; г) =. Виконання вправ. № 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х). IV . Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де
Ми довели, що для . Розглянемо функцію , де . Знайдемо похідну цієї функції: . Отже, для всіх .
ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій. І. Перевірка домашнього завдання
1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей. № 2. 3) -е-х ; 5) ; 7) ; 9) ; 11) 13) ; 15) ; 17) . № 8. 1) 100х99 ; 3) ; 5) ; 7) -20х19 ; 9) ; 11) . 2. Усне розв’язування вправ. Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника. 2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника. 3) Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо . . .
Відповідь: 4. 4) Тіло рухається за законом . Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах). Розв’язання
; .
Відповідь: .
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х. ТЕМА УРОКУ : Тематична контрольна робота № 1 Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1 1. Знайдіть похідну функції: а) . (2 бали ) б) . (2 бали ) в) . (2 бали ) г) . (2 бали ) 2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали ) 3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали) Варіант 2 1. Знайдіть похідну функції: а) . (2 бали ) б) . (2 бали ) в) . (2 бали ) г) . (2 бали ) 2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали ) 3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали) Варіант 3 1. Знайдіть похідну функції: а) . (2 бали ) б) . (2 бали ) в) . (2 бали ) г) . (2 бали ) 2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали ) 3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали) Варіант 4 1. Знайдіть похідну функції: а) . (2 бали ) б) . (2 бали ) в) . (2 бали ) г) . (2 бали ) 2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали ) 3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали) Відповідь: В-1. 1. а) ; б) ; в) ,; г) . 2. , . 3. 10 В-2 1. а) ; б) ; в) ,; г) . 2. , . 3. 9 В-3. 1. а) ; б) ; в) ,; г) . 2. , . 3. 35 В-4. 1. а) ; б) ; в) ,; г) . 2. , . 3. 20 |