| МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Контрольная работа №2
По дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»
Вариант 1
2003г
Южно-Сахалинск.
1) Записать составные высказывания в виде формул
. употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний: «Для того, чтобы x
было нечётным, достаточно, чтобы х
было простым»;
Решение: Обозначим А = «х - не чётное число»
В = «х - простое число»
А
Þ
В (импликация «для А достаточно В»).
2) При каких значениях переменных x
, y
, z
формула
 ложна?
Решение: Составим таблицу истинности:
| x
|
y
|
z
|
Øx
|
Øy
|
ydz
|
x É(ydx)
|
Øy ÉØx
|
(xÉ(ydz)) É(Øy ÉØx)
|
(xÉ(ydz)) É(Øy ÉØx) ÉØy
|
| 0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
| 0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
| 1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
| 1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
| 1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
| 1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Т.о. данная формула ложна при: 1)
х = 0; y = 1; z = 0; 2)
x = 0; y = 1; z = 1;
3)
x = 1; y = 1; z = 1;. где 1 - «истина», 0 - «ложь».
3) Является ли тавтологией формула  ?
Решение: Тавтологий является формула, которая истинна независима от значений входящих в нее переменных. Составим таблицу истинности -
| p
|
|
r
|
t
|
Øq
|
Ør
|
Øt
|
pÉq
|
ØrÉØq
|
tÉØr
|
(pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr)
|
pÉØt
|
((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt)
|
| 0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
| 0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
| 0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
| 0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
| 1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
| 1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
| 1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
| 1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
| 1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
| 1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
| 1
|
1
|
1 1
|
0 1
|
0 0
|
0 0
|
1 0
|
1 1
|
1 1
|
1 1
|
1 1
|
1 0
|
1 0
|
| 1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о. данная формула не является тавтологией.
4) Доказать выполнимость формулы. Ø(p
ÉØp
)
Решение: Составим таблицу истинности:
| p
|
Øp
|
p
ÉØp
|
Ø(p
ÉØp
)
|
| 1
|
0
|
0
|
1
|
| 0
|
1
|
1
|
0
|
Формула выполняется, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает истинное значение.
т.е. формула истинна при истинном значении p
и ложна при ложном значении p
, следовательно она выполнима.
5)Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел D
(x
,y
) º “y
делится на x
”; E
(x
) º “x
- чётное число”. Переведите на обычный язык формулу. $x(E(x)ÚD(6,x)). Решение: «некоторые числа являются чётными или делятся на 6).
6) Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел D
(x
, y
) º “y
делится на x
”; G(x, y, z) º “z - наибольший общий делитель x
и y
”. Запишите утверждение на языке логики предикатов: «если x
делится на y
и y
делится на z
, то x
делится на z
».
Решение: "x
"y
"z
((D
(y
, x
)&
D
(z
, y
))ÞD
(z
, x
))
7) Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (Ð, =) запишите на языке логики предикатов следующее высказывание о действительных числах: «система уравнений  не имеет решения»
Решение:  - ложно.
8) Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (Ð, =) запишите при помощи логический символов высказывание и определите, истинное или ложное: «для любых действительных чисел x
и y
, если
x
< y
и y
¹ 0, то x
/y
< 1»
Решение: - истинное высказывание, т.к. 
Прочитай и до делай всмысле вставь нижнии исправленные задания в верх
Рецензия
на контрольную работу
по дисциплине Математическая логика и теория алгоритмов
студента ТМЦ ДО
Заболотского М.А.
город Южно-Сахалинск
Отметка о зачёте: незачет
Рецензент Р.В. Мещеряков
04 января 2004 года
Замечания
По контрольной работе 1.
1. не верно
5. расписать более подробно
9. не верно, не полно.
Там где отмечено "не верно" требуется ознакомление с теорией соответствующих разделов пособия. В следующий раз необходимо высылать только не зачтенные решения вместе с новыми решениями
1Неверное
Найдите множество X, удовлетворяющее следующему условию:
Решение:
 , т.к.
 -относительным дополнением множества A до пустого множества является само множество A
 -относительным дополнением множества А к самому себе является f
т.е. 
1 Исправленное
Найдите множество X, удовлетворяющее следующему условию:
Решение:
Рассмотрим на диаграмме Венна
|