|
Содержание:
Введение
1. Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов
1.1 Синтез периодических сигналов
1.2 Анализ периодических сигналов
2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов
2.1 Численные методы расчетов временных характеристик
2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик
Выводы
Литература
Введение:
Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие .
Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:
 где f(t)-функция, раскладываемая в ряд,  , а  - частота следования импульсов.
Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями:
  (1)
где  =1,2,3…M
соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4)
Здесь А - постоянная составляющая , An
и Bn -
амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник,
n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду:
  (2)
Здесь  -постоянная составляющая,  -амплитуда n-ой гармоники, -фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов.
1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов
1.1.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:
Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn
– амплитуда, - частота,
начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной области U
(t)
Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.
1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:
Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn
=f(w)
и фазочастотных =f(w) характеристик.
Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала.
2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов
Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу
Дан сигнал:
Дана таблица параметров данного сигнала
| U, mv
|
M
|
t0,mks
|
T,mks
|
r
|
| 2.8
|
10
|
459
|
1499
|
2
|
U(t) – функция времени, описывающая сигнал;
M – число учитываемых гармоник;
U- амплитуда;
T - текущее время;
t0
– время задержки сигнала;
T – период частоты повторения первой гармоники;
r – постоянный коэффициент
2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.
Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД
<T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов)
Интервал времени Тс равен Tmax
и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98
| M=10
|
K=5
|
t0=459
|
U0=2,8
|
T=1499
|
Исходя из полученных данных, строим таблицу
| t
|
u(1)
|
u(2)
|
u(3)
|
u(4)
|
u(5)
|
u(6)
|
u(7)
|
u(8)
|
u(9)
|
u(10)
|
SUM
|
| 0
|
0,965808
|
0,812595
|
0,549919
|
0,250406
|
-0,00868
|
-0,17017
|
-0,21345
|
-0,15715
|
-0,0481
|
0,058467
|
2,039651
|
| 29,98
|
0,62897
|
0,586654
|
0,507145
|
0,399954
|
0,277617
|
0,15392
|
0,041996
|
-0,04743
|
-0,10736
|
-0,13529
|
2,306171
|
| 59,96
|
0,282224
|
0,278401
|
0,270848
|
0,259749
|
0,245373
|
0,228066
|
0,208243
|
0,186371
|
0,162963
|
0,138557
|
2,260794
|
| 89,94
|
-0,06897
|
-0,06891
|
-0,0688
|
-0,06863
|
-0,06841
|
-0,06814
|
-0,0678
|
-0,06742
|
-0,06698
|
-0,06649
|
-0,68055
|
| 119,92
|
-0,41908
|
-0,40656
|
-0,3822
|
-0,3473
|
-0,3037
|
-0,25369
|
-0,19984
|
-0,14483
|
-0,09131
|
-0,04174
|
-2,59023
|
| 149,9
|
-0,76258
|
-0,68716
|
-0,54975
|
-0,37435
|
-0,19052
|
-0,02729
|
0,092569
|
0,156662
|
0,164662
|
0,127265
|
-2,0505
|
| 179,88
|
-1,09407
|
-0,87135
|
-0,50752
|
-0,1302
|
0,141263
|
0,24343
|
0,188368
|
0,04829
|
-0,08485
|
-0,1436
|
-2,21024
|
| 209,86
|
-1,40832
|
-0,93328
|
-0,27163
|
0,208272
|
0,310962
|
0,118853
|
-0,11591
|
-0,18642
|
-0,07389
|
0,081852
|
-2,26951
|
| 239,84
|
-1,70039
|
-0,86427
|
0,067917
|
0,395863
|
0,123862
|
-0,19872
|
-0,174
|
0,066585
|
0,163896
|
0,024397
|
-2,09487
|
| 269,82
|
-1,96566
|
-0,674
|
0,381545
|
0,296665
|
-0,20536
|
-0,1936
|
0,137477
|
0,145388
|
-0,10145
|
-0,11738
|
-2,29638
|
| 299,8
|
-2,19997
|
-0,38916
|
0,549579
|
-0,01746
|
-0,29895
|
0,125904
|
0,156966
|
-0,15618
|
-0,05536
|
0,146543
|
-2,13808
|
| 329,78
|
-2,39962
|
-0,04971
|
0,507898
|
-0,31893
|
-0,04953
|
0,240959
|
-0,15693
|
-0,04915
|
0,160677
|
-0,09603
|
-2,21036
|
| 359,76
|
-2,56146
|
0,296704
|
0,272408
|
-0,38935
|
0,256724
|
-0,03527
|
-0,13752
|
0,186463
|
-0,11654
|
-0,0067
|
-2,23455
|
| 389,74
|
-2,68295
|
0,601491
|
-0,06703
|
-0,1777
|
0,268408
|
-0,25422
|
0,173972
|
-0,06575
|
-0,036
|
0,105786
|
-2,13401
|
| 419,72
|
-2,76217
|
0,821886
|
-0,38089
|
0,162689
|
-0,02788
|
-0,06035
|
0,115958
|
-0,14595
|
0,155054
|
-0,14735
|
-2,26901
|
| 449,7
|
-2,79788
|
0,926965
|
-0,54941
|
0,385215
|
-0,29218
|
0,231523
|
-0,18834
|
0,155685
|
-0,12988
|
0,108799
|
-2,14949
|
| 479,68
|
-2,7895
|
0,901985
|
-0,50827
|
0,328667
|
-0,22123
|
0,147439
|
-0,09262
|
0,05001
|
-0,01611
|
-0,01109
|
-2,21071
|
| 509,66
|
-2,73717
|
0,75045
|
-0,27319
|
0,034011
|
0,10356
|
-0,17607
|
0,19982
|
-0,1865
|
0,14711
|
-0,09265
|
-2,23063
|
| 539,64
|
-2,64173
|
0,493623
|
0,066146
|
-0,28528
|
0,309524
|
-0,21366
|
0,067854
|
0,064915
|
-0,14127
|
0,146013
|
-2,13387
|
| 569,62
|
-2,50466
|
0,167537
|
0,380238
|
-0,3979
|
0,160339
|
0,095698
|
-0,20823
|
0,1465
|
0,004029
|
-0,11999
|
-2,27643
|
| 599,6
|
-2,32813
|
-0,18206
|
0,549234
|
-0,22225
|
-0,17282
|
0,24966
|
-0,04205
|
-0,15519
|
0,136964
|
0,028721
|
-2,13792
|
| 629,58
|
-2,11493
|
-0,5061
|
0,508647
|
0,11441
|
-0,30768
|
-0,00179
|
0,21344
|
-0,05087
|
-0,15056
|
0,078161
|
-2,21727
|
| 659,56
|
-1,8684
|
-0,75914
|
0,273965
|
0,368187
|
-0,08951
|
-0,25033
|
0,015597
|
0,186538
|
0,024105
|
-0,14254
|
-2,24154
|
| 689,54
|
-1,59244
|
-0,90567
|
-0,06526
|
0,355225
|
0,231368
|
-0,09237
|
-0,21537
|
-0,06408
|
0,124769
|
0,129424
|
-2,0944
|
| 719,52
|
-1,29139
|
-0,92513
|
-0,37958
|
0,084915
|
0,286774
|
0,21559
|
0,011093
|
-0,14705
|
-0,15759
|
-0,04593
|
-2,34829
|
| 749,5
|
-0,96999
|
-0,81478
|
-0,54906
|
-0,24691
|
0,013135
|
0,173461
|
0,213998
|
0,154694
|
0,04382
|
-0,06253
|
-2,04417
|
| 779,48
|
-0,63332
|
-0,59012
|
-0,50902
|
-0,39986
|
-0,27558
|
-0,15034
|
-0,03761
|
0,051727
|
0,110706
|
0,136999
|
-2,29641
|
| 809,46
|
-0,28666
|
-0,28265
|
-0,27474
|
-0,26312
|
-0,24809
|
-0,23001
|
-0,20934
|
-0,18657
|
-0,16226
|
-0,13698
|
-2,28042
|
| 839,44
|
0,064511
|
0,064465
|
0,064374
|
0,064237
|
0,064055
|
0,063828
|
0,063556
|
0,06324
|
0,06288
|
0,062476
|
0,637623
|
| 869,42
|
0,414666
|
0,40254
|
0,378926
|
0,345061
|
0,302703
|
0,25402
|
0,20146
|
0,147599
|
0,094986
|
0,045993
|
2,587955
|
| 899,4
|
0,758288
|
0,684135
|
0,548883
|
0,3759
|
0,194028
|
0,031719
|
-0,08852
|
-0,15419
|
-0,1645
|
-0,12945
|
2,056285
|
| 929,38
|
1,089963
|
0,869742
|
0,509391
|
0,134413
|
-0,13728
|
-0,24209
|
-0,19049
|
-0,05258
|
0,080998
|
0,142529
|
2,204598
|
| 959,36
|
1,404466
|
0,933319
|
0,275519
|
-0,20445
|
-0,31107
|
-0,12278
|
0,11213
|
0,186595
|
0,077844
|
-0,07811
|
2,273469
|
| 989,34
|
1,696843
|
0,865945
|
-0,06349
|
-0,3952
|
-0,12794
|
0,195908
|
0,176594
|
-0,0624
|
-0,16428
|
-0,02878
|
2,093202
|
| 1019,32
|
1,962486
|
0,677074
|
-0,37827
|
-0,29964
|
0,201987
|
0,196467
|
-0,13401
|
-0,14814
|
0,097904
|
0,120023
|
2,295876
|
| 1049,3
|
2,197212
|
0,393204
|
-0,54871
|
0,013
|
0,300154
|
-0,12201
|
-0,15999
|
0,153688
|
0,059538
|
-0,146
|
2,140091
|
| 1079,28
|
2,39732
|
0,054166
|
-0,50976
|
0,31622
|
0,053923
|
-0,24236
|
0,153841
|
0,053438
|
-0,1616
|
0,0926
|
2,20779
|
| 1109,26
|
2,55966
|
-0,29247
|
-0,2763
|
0,390349
|
-0,25418
|
0,030848
|
0,14092
|
-0,18662
|
0,113344
|
0,011153
|
2,236711
|
| 1139,24
|
2,681674
|
-0,59807
|
0,062602
|
0,181684
|
-0,27063
|
0,253962
|
-0,17131
|
0,061559
|
0,04034
|
-0,10884
|
2,132964
|
| 1169,22
|
2,761439
|
-0,81976
|
0,377611
|
-0,1586
|
0,023437
|
0,064677
|
-0,11969
|
0,148684
|
-0,1565
|
0,147351
|
2,268639
|
| 1199,2
|
2,797698
|
-0,92643
|
0,548527
|
-0,38399
|
0,290617
|
-0,22963
|
0,186138
|
-0,15318
|
0,127089
|
-0,10574
|
2,151087
|
| 1229,18
|
2,78988
|
-0,90312
|
0,510129
|
-0,33119
|
0,224342
|
-0,15105
|
0,096623
|
-0,05429
|
0,020539
|
0,006639
|
2,2085
|
| 1259,16
|
2,738109
|
-0,75309
|
0,277071
|
-0,03845
|
-0,09934
|
0,172818
|
-0,19811
|
0,186636
|
-0,14906
|
0,096074
|
2,232645
|
| 1289,14
|
2,6432
|
-0,4974
|
-0,06172
|
0,282141
|
-0,30904
|
0,216055
|
-0,07207
|
-0,06072
|
0,138931
|
-0,14655
|
2,132831
|
| 1319,12
|
2,506649
|
-0,17192
|
-0,37695
|
0,398333
|
-0,16414
|
-0,09155
|
0,207044
|
-0,14922
|
0,00043
|
0,117343
|
2,276008
|
| 1349,1
|
2,330606
|
0,177679
|
-0,54835
|
0,225947
|
0,169094
|
-0,25049
|
0,046413
|
0,152669
|
-0,13939
|
-0,02433
|
2,139844
|
| 1379,08
|
2,117845
|
0,502351
|
-0,5105
|
-0,11013
|
0,308313
|
-0,00267
|
-0,2128
|
0,055145
|
0,148694
|
-0,0819
|
2,214352
|
| 1409,06
|
1,871719
|
0,75654
|
-0,27785
|
-0,36642
|
0,093773
|
0,249488
|
-0,02004
|
-0,18665
|
-0,01969
|
0,143611
|
2,244486
|
| 1439,04
|
1,596104
|
0,904582
|
0,060829
|
-0,35725
|
-0,22836
|
0,09651
|
0,21528
|
0,059872
|
-0,12763
|
-0,12723
|
2,092694
|
| 1469,02
|
1,295343
|
0,925705
|
0,376292
|
-0,08927
|
-0,28847
|
-0,21319
|
-0,00664
|
0,149756
|
0,156231
|
0,041675
|
2,347436
|
| 1499
|
0,974174
|
0,816945
|
0,548165
|
0,24339
|
-0,01759
|
-0,1767
|
-0,21446
|
-0,15215
|
-0,03951
|
0,066542
|
2,048811
|
После расчета строим временную диаграмму сигнала
2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда Аn
и Bn
определяются по формулам (1) . Для того чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t1
) , где tI
=i*TД
(ТД
– интервал дискретизации).
Представим непрерывную функцию U(t) как дискретную, сделав замену t i * ТД
и di
ТД
, преобразуем выражения An
,Bn
и запишем ряд Фурье в окончательном виде:   ( 5)
где k=T/ТД
– число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации ТД
выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице
| i
|
Wn
|
U(ti
)
|
A0
|
A1
|
A2
|
A3
|
A4
|
A5
|
A6
|
A7
|
A8
|
A9
|
A10
|
| 0
|
0
|
2,03965
|
0,81586
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
| 1
|
4189,46
|
-2,1380
|
-0,0394
|
-0,0374
|
-0,0232
|
0,0230
|
0,03747
|
0,00013
|
-0,0374
|
-0,0233
|
0,0229
|
0,0375
|
0,00025
|
| 2
|
8378,92
|
-2,1379
|
-0,89454
|
-0,52672
|
0,851458
|
-0,8496
|
0,522101
|
0,005699
|
-0,53131
|
0,85318
|
-0,84789
|
0,51746
|
0,011397
|
| 3
|
12568,4
|
2,05628
|
-0,07202
|
0,042223
|
-0,06841
|
0,06862
|
-0,04278
|
0,000688
|
0,04166
|
-0,06819
|
0,06883
|
-0,04333
|
0,001376
|
| 4
|
16757,8
|
2,15108
|
0,788411
|
-0,75044
|
-0,46016
|
0,46827
|
0,747301
|
-0,01005
|
-0,75346
|
-0,45197
|
0,47632
|
0,74403
|
-0,02009
|
| 5
|
20947,3
|
2,04881
|
1,607935
|
-0,00512
|
-0,01024
|
-0,0153
|
-0,02049
|
-0,02561
|
-0,03073
|
-0,03585
|
-0,04097
|
-0,04609
|
-0,05121
|
| i
|
B1
|
B2
|
B3
|
B4
|
B5
|
B6
|
B7
|
B8
|
B9
|
B10
|
| 0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
| 1
|
-0,0122
|
0,03182
|
0,0319
|
-0,0121
|
-0,0394
|
-0,0123
|
0,03175
|
0,03197
|
-0,012
|
-0,0394
|
| 2
|
0,723026
|
-0,27426
|
-0,27968
|
0,726367
|
-0,89452
|
0,719656
|
-0,26883
|
-0,28508
|
0,729678
|
-0,89447
|
| 3
|
0,058349
|
-0,02252
|
-0,02186
|
0,057943
|
-0,07202
|
0,05875
|
-0,02317
|
-0,02121
|
0,057532
|
-0,07201
|
| 4
|
0,241721
|
-0,64019
|
-0,63428
|
0,251263
|
0,788347
|
0,23214
|
-0,646
|
-0,62826
|
0,260763
|
0,788155
|
| 5
|
1,607927
|
1,607903
|
1,607862
|
1,607805
|
1,607732
|
1,607642
|
1,607536
|
1,607413
|
1,607275
|
1,60712
|
| An
|
Bn
|
Cn
|
Fn
|
| -1,27749
|
2,618833
|
2,913808
|
1,116948
|
| 0,28946
|
0,702756
|
0,760035
|
-1,18008
|
| -0,30507
|
0,70394
|
0,767204
|
1,161849
|
| 1,243611
|
2,631307
|
2,910385
|
-1,12929
|
| -0,02914
|
1,390168
|
1,390474
|
1,549838
|
| -1,31124
|
2,605878
|
2,91718
|
1,104605
|
| 0,273895
|
0,701282
|
0,752871
|
-1,19845
|
| -0,32073
|
0,704832
|
0,774375
|
1,143753
|
| 1,209595
|
2,643297
|
2,906912
|
-1,14163
|
| -0,05827
|
1,389429
|
1,390651
|
1,528881
|
Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ 
ВЫВОДЫ
:
Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем
:
1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным) спектром
.
2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом расстоянии друг от друга
, то есть частоты гармоник находятся в простых кратных отношениях.
Использование рядов Фурье
, при расчете спектральных и временных характеристик периодических сигналов
, имеет следующие преимущества
:
1
Простое математическое описание
2
Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание.
3
Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность
4
Техника генерирования гармонических функций достаточна проста.
ЛИТЕРАТУРА:
1. С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988
2. И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986
|