Пошукова робота на тему:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.
П
лан
- Похідні вищих порядків
- Диференціали вищих порядків.
- Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.
6.9. Похідні вищих порядків
Нехай функція
задана на деякому проміжку
і нехай всередині цього проміжку вона має похідну
. Тоді може трапитися випадок, що
, будучи функцією від
, в деякій точці
, а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції
в точці
.
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто
.
Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції
похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку
, а потім від похідної
знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти
, треба функцію продиференціювати два рази.
Приклад
. Знайти
від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо
:
.
Для знаходження
цей результат диференціюємо ще раз. Маємо
.
Зауваження
. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом
.
то
, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
.
Тоді прискорення
визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто
, але
, тому
.
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.
Нехай у кожній внутрішній точці проміжку
існує похідна другого порядку
. Отже,
є функція
. Припустимо, що
в деякій внутрішній точці
має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням
.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.
Приклад
. Знайти
від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо
:
.
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо
.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
.
Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна
- го порядку
і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку
, то можна дати означення похідної
- го порядку від функції
в точці
.
Означення
. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної
- го порядку називається похідною
- го порядку, або
- ю похідною, позначається одним із символів:
.
Отже, згідно з означенням похідної
- го порядку маємо таку рівність:
,
а звідси й випливає правило знаходження похідної
- го порядку: щоб знайти похідну
- го порядку, треба функцію
продиференціювати послідовно
раз.
Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так:
. Похідні п’ятого, шостого і т. д.
- го порядку:
.
6.10. Диференціали вищих порядків
Розглянемо на деякому проміжку
функцію
, яка на цьому проміжку має похідні до
- го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку
існує диференціал
.
У подальшому диференціал
називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції
.
Диференціал першого порядку є функція від
і отже, якщо функція
є, в свою чергу диференційованою на проміжку
, то вона (або, те саме,
) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції
, і позначають
.
Отже, за означенням
. Підставимо в цю рівність
. Матимемо
.
Оскільки
є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
. (6.68)
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції
уже означений диференціал
- го порядку
- й диференціал
то диференціалом
- го порядку, або
- м диференціалом від функції
називається диференціал першого порядку від диференціала
- го порядку. Диференціал
- го порядку визначається символом
.
Отже, згідно з означенням
.
Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала
- го порядку:
(6.69)
Приклад
. Знайти другий диференціал від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні
і
:
,
Тоді
.
При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції
є, в свою чергу, деякою функцією від
.
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Нехай маємо складну функцію
, де функції
і
мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді
має диференціал
,
де
- похідна за аргументом
, а
.
Знайдемо
. Згідно з означенням
.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то
Остаточно дістанемо таку рівність:
. (6.70)
Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок
, який у випадку
не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично
то її друга похідна обчислюється за формулою
(6.71)
|