Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2.24)

(2.25)

,

где , ,и непрерывны на [a ,b ].

Разобьемотрезок [a , b ]на n равных частей длины, или шага

.

Точки разбиения

,

называютсяузлами , а их совокупность – сеткой на отрезке [a ,b ]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями :

(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала[ a , b ] .

Для граничных точек положим

. (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i = 1, 2,..., n –1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(2.28)

Кроме того, в силу формул(2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

. (2.29)

Таким образом, получена линейная системаn + 1уравнений сn + 1неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу(2.24), (2.25)обычно называется разностной схемой . Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

. (2.30)

Введя обозначения

получим

, (i =0, 1,..., n -2).(2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :

. (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий . Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

, (2.34)

где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i = 0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

Исключая из этих двух уравнений , найдем

.

Выразим теперь отсюда :

(2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

(2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

(2.37)

Пусть теперьi > 0, то есть i = 1, 2,..., n – 2. Выражая по формуле (2.34), получим:

.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

.

Разрешая полученное уравнение относительно , находим

, или

. (2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:

(2.39)

Так как и уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты и до и включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i = n – 2 и второго краевого условия (2.32) получаем

Разрешая эту систему относительно , будем иметь

. (2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

(2.41)

Для простейших краевых условий

формулы для и упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1)Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2)Как фактически находить это решение?

3)Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

причем р ( x )> 0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответследующая

Теорема

Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

равномерно сходится к точному с погрешностью при

Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

, (2.42)

, (2.43)

i = 1, 2,...,n .

Погрешность формулы (2.42) выражается так:

то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h . Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

(2.44)

Где .

Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

(2.45)

Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам:

(2.46)

Обратный ход начинается с нахождения :

(2.47)

После этого находим по формулам:

, (2.48)

. (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

и ,

и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a , b ] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

, ,

то схема (2.44)будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25)с погрешностью .

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.