Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Абзалимов Р.Р.
В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал  заменяется на  , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.
I. Регулярная задача
Рассмотрим следующую краевую задачу:
 , (1.1)
 , (1.2)
 . (1.3)
Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
 , (1.4)
с граничными условиями
 , (1.5)
 , (1.6)
где
 . (1.7)
Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
 ;
 ;
 удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);
удовлетворяет так называемым условиям сопряжения
 (1.8)
В каждом интервале  решения  уравнения (1.4) имеют вид:
 . (1.9)
Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
 , (1.10)
где  ,  выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:
 (1.11)
Из первого краевого условия получаем зависимость  от  , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):
 , (1.12)
где  выписывается явно.
Пусть  - собственные значения и  - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
 ,
и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и  соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:
 . (1.13)
Заметим прежде, что  при  .
Тогда имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства
 , (1.14)
 . (1.15)
Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале  . Представим ее в виде
 , (1.16)
где  вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:
 ,
 .
Применяя метод последовательных приближений, получаем:
 , (1.17)
где  - решения уравнения (1.4).
Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).
Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
 , (1.18)
где  при .
Тогда имеет место следующее равенство:
 (1.19)
при , где  - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а  - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.
Следствие 1.1  ,
 .
Следствие 1.2  , где  - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),  - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).
Следствие 1.3  и совпадают со всеми корнями уравнения  .
Следствие 1.4  образуют полную систему собственных функций.
II. Сингулярная задача. Случай  .
Будем рассматривать задачу
 , (2.1)
 , (2.2)
где монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого  . В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что  ; таким образом, для каждого задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке  . Если бы мы знали все значения собственных функций  , соответствующие собственным числам задачи на полуоси, в точке  , то, решая задачи на конечном промежутке с дополнительным граничным условием  , мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия  (условие Дирихле) и  (условие Неймана). Пусть  - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
 , (2.3)
где  [1]
.
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
 . (2.4)
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного оператора (), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.
Следствие 2.1  , где  - длина промежутка  .
Пример
 .
Известно, что  , где  вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:
 .
III. Сингулярная задача. Случай  .
Будем рассматривать задачу
 , (2.1)
. (2.2)
Имеет место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция  удовлетворяет следующим условиям
 ;
 , при  ;
 сохраняет знак для больших  ;
 , где  , при  ;
 .
Тогда спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на  и  .
Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел  заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал заменяется на , где  - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при  . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая
ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если  - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке с дополнительным краевым условием , то справедливо равенство  для всех .
Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).
Замечание 2 Для расчета собственных чисел  задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на  , где  - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями  и .
IV. Сингулярная задача. Случай  .
Будем рассматривать задачу
, (3.1)
 (3.2)
с дополнительными условиями:
 ;
 голоморфна в точке  , причем  ;
при монотонно, и  , где  ;
 при ,  .
Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность  с единственной предельной точкой  , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале в точности  нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.
Пример
 .
Известно (см. [3]), что  - собственные числа.
Введем обозначения:  - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а  - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что
 ,
где  вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение
 .
Список литературы
Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4
Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.
Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.
Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.
[1]
Вопрос о том, как находить значения  для расчета собственных чисел, остается нерешенным
|