| Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ
Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Преподаватель: Станкевич И.В.
Группа: ФН2-101
Студент: Смирнов А.В.
Москва 2002
Содержание
Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3
Решение............................................................................................................................................................................................ 4
Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5
Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6
Список литературы:................................................................................................................................................................... 12
Постановка задачи
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью  . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена  и температурой среды  . Коэффициент теплопроводности материала пластины 
Рис. 1
Решение
Введем декартову систему координат  , выбрав начало координат и направим оси x
и y
так, как показано на рис.2.
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
 (1)
  (2)
  (3)
где  - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности,  - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена  ,  - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности  .
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
 . (4)
Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.
Триангуляция.
Результат триангуляции представлен на рис.3.
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3
) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1
и Top2
). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (с номером e
). Обозначим его вершины  и  . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
 , (5)
где  , A
– площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры  в узловых точках
 . (6)
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов  , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
 . (7)
Минимум функционала (4) находим из условия
 (8)
Функционал  можно представить в виде
 (9)
Здесь  , глобальный вектор температур   ,  - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид  ,  . Локальный вектор температур  . Здесь матрица геометрических связей  имеет размерность  . Элементы этой матрицы определяются следующим образом:  ; все остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем  , где матрица теплопроводности элемента  ; вектор нагрузки элемента  .
В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i
–
j
принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e
, матрица  и вектор  будут определяться несколько различным образом.
Обозначим
 .
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат  . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P
треугольника e
c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью  . Координаты  определяются из соотношений  .
Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e
принадлежит к первой группе, то  . Если ко второй, то  . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то  .
Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
 , (10)
где глобальная матрица теплопроводности K
и глобальный вектор нагрузки F
определяются по формулам
 ,  . (11)
Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:
· Вычисление  разложения матрицы  (   ).
· Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше  ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы  могут привести к большим отклонениям в решении.
·  .  .
Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
Список литературы:
1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
3. Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).
|