Курсовая работа: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Название: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа | ||||||||
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана КУРСОВАЯ РАБОТА ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Преподаватель: Станкевич И.В. Группа: ФН2-101 Студент: Смирнов А.В. Москва 2002 Содержание Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3 Решение............................................................................................................................................................................................ 4 Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5 Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6 Список литературы:................................................................................................................................................................... 12 Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок). К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью Введем декартову систему координат Рис. 2 Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
где Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области. Результат триангуляции представлен на рис.3. Рис. 3 Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3 ) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2 ). Обход треугольника совершается против часовой стрелки. Выберем произвольный треугольник (с номером e
). Обозначим его вершины
где
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов
Минимум функционала (4) находим из условия
Функционал
Здесь Продифференцируем функционал (9): Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области. В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e
, матрица Обозначим
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения: Если конечный элемент с номером e
принадлежит к первой группе, то Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм: · Вычисление · Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше · Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с. 2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с. 3. Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года). |