Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай  – область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле, якщо кожній точці  поставлено у відповідність деяке число  .
Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія), на якій функція набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних постійних значень:  , отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.
Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина  є функцією лише точки  і, можливо, часу (нестаціонарні поля).
Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат  , то точка у цій системі координат матиме певні координати  і скалярне поле стане функцією цих координат:  .
2. Векторне поле
Кажуть, що в області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор  .
Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості  ; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції  ; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння  , що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості  .
Зручною геометричною характеристикою векторногополя є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.
Нехай векторна лінія, яка проходить через точку  , описується рівнянням  , де  – параметр. Умова колінеарності вектора поля  і дотичного вектора  в довільній точці цієї лінії має вигляд
 ,(1)
де  – деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді
 (2)
або, помноживши на  , у вигляді
 .(3)
Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку , визначається додатковою умовою
 ,(4)
де  – радіус-вектор точки .
Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор повністю визначається своїм модулем  і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат, то векторне поле описується вектор-функцією трьох змінних  або трьома скалярними функціями – її координатами:
 .
Оскільки в прямокутних координатах , то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь
 ,(5)
а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
 ,(6)
де  – координати точки.
3. Похідна за напрямом
Скалярне і векторне поля
 і 
Називаються диференційованими  разів, якщо функції
диференційовані разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.
Нехай – скалярне поле, задане в області ,  – одиничний фіксований вектор; – фіксована точка;  – довільна точка із , відмінна від і така, що вектор  колінеарний . Нехай, далі,  – величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його довжині  , якщо напрям вектора збігається з напрямом вектора , і дорівнює –  , якщо вектори і є протилежними).
Означення.
Число називається похідною скалярного поля (функції) в точці за напрямом і позначається символом .
Похідна за напрямом є швидкістю зміни функції за напрямом в точці.
Якщо в прямокутній системі координат  , то
 .(7)
Зокрема, якщо вектор збігається з одним із ортів  або  , то похідна за напрямком збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо  , то
 .
Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення
. Вектор  називається похідною векторного поля (вектор-функції) в точці за напрямом і позначається символом .
Якщо в прямокутній системі координат  , то
 .
4. Градієнт скалярного поля
скалярне векторне поле дивергенція
Означення
. Градієнтом скалярного поля  називається вектор-функція
 .
Із рівності (7) випливає, що
 ,(8)
Звідси  , оскільки  .
Тут  – кут між векторами і  в точці. Очевидно, що  має найбільше значення при , тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля (функції ) у цій точці, а  є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією.
5. Потенціальне поле
Означення.
Векторне поле називається потенціальним в області, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля:
 .(9)
Функція називається скалярним потенціалом векторного поля. Якщо , то із рівності (9) випливає, що
 .
Інколи потенціалом векторного поля називають таку функцію , що  .
Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси  , розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією  ( – гравітаційна стала,  ). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці  . Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції  , яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно
 .
Аналогічно  , звідси
 .
Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду  , розміщеного на початку координат. Воно описується в точці  вектором напруженості
 .
Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді  . Функція  називається потенціалом електричного поля точкового заряду .
Поверхні рівня потенціала називаються еквіпотенціальними поверхнями.
6. Дивергенція
Означення
. Дивергенцією векторного поля  називається скалярна функція
 .
Слово «дивергенція» означає «розбіжність».
Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду , розміщеного в початку координат:
 ,
 .
Оскільки  , і аналогічно  , то 
(при  ). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат  .
7. Ротор
Означення. Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор-функція
 .
Зокрема, для плоского поля  маємо
 .
Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі  із сталою кутовою швидкістю  (рис. 1).
Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле швидкостей  точок цього тіла можна подати у вигляді
 .
Знайдемо ротор поля швидкостей :
 .
Таким чином,  є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання , а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:
 .
Розглянемо потенціальне поле  . Його потенціал  . Обчислимо ротор цього поля:
 .
Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.
8. Соленоїдальне поле
Векторне поле називається соленоїдальним в області , якщо в цій області  . Оскільки  характеризує густину джерел поля, то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.
Наприклад, електричне поле точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову  ) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці ). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.
Якщо векторне поле можна подати як ротор деякого векторного поля  , тобто  , то вектор – функція називається векторним потенціалом поля .
Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що  , тобто поле  є соленоїдальним.
Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор Гамільтона
Згадаємо, що символ  називається оператором частинної похідної по  . Під добутком цього оператора на функцію  розумітимемо частинну похідну  , тобто  . Аналогічно,  і  – оператори частинних похідних по  і по  .
Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:
 .
За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.
У результаті множення вектора  на скалярну функцію отримуємо :
 .
Скалярний добуток вектора на вектор – функцію  дає :
 .
Векторний добуток вектора на вектор – функцію дає :
 .
10. Нестаціонарні поля
Нехай в області визначено нестаціонарне скалярне поле  : величина є функцією точки  і часу . Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку  , яка рухається в області (частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом  . Величина в рухомій точці  є складеною функцією :
 .
Обчислимо похідну по цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо
 .
Вводячи в точці вектор швидкості  , отримуємо
Або
 .(11)
Аналогічно, якщо в області задано нестаціонарне векторне поле  , то для рухомої точки векторна величина є складеною функцією :  . Повну похідну по для кожної координати вектор – функції можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори  і складаючи, отримуємо
 .(12)
У формулах (11) і (12) доданки  і  виражають швидкості зміни величин та з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки  і  утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.
Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.
|