Контрольная работа: Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1998 г.

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Рассчитайте коэффициент эластичности.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

8. Оцените полученные результаты.

Построим поле корреляции:

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей скорее всего гиперболический характер.

1.1 Построить линейную модель.

Можно сказать, что связь между размером потребительских расходов и средней заработной платы и выплат социального характера.

Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

, .

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁ =m=1;k₂ =n-m-1=15, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

Определим среднюю ошибку:

В среднем расчетные значения ý для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,04%.

1.2 Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной регрессии имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Данные приведены в таблице 2 приложения.

Обозначим Y=lgŷ, X=lgx, A=lga.

Тогда уравнение примет вид: Y=A+bX-линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

A=0,001

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,001+0,915X

Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

Ŷ=10^-0,001 *х^0,915

Получим уравнение степенной модели регрессии: Ŷ=0,998*х^0,915

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R² =r² _XY =0,728

Рассчитаем критерий Фишера.

Средняя относительная ошибка

1.3 Построение экспоненциальной функции

Ŷ=аb^x

Для построения этой модели необходимо провести линериаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения.

Lgŷ=lga+xlgb

Обозначим Y=lgŷ, B=lgb, A=lga

Получим линейное уравнение регрессии:

Y=A+Bx

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4 приложения.

, .

Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

Ŷ=10^0,026 *(10^0,004 )^x =1,06*1,01^x

Связь между показателем у и фактором х можно считать недостаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R² =r² _XY =0,404

F<Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁ =m=1;k₂ =n-m-1=15

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ý для экпоненциальной модели отличаются от фактических значений на 5,16%.

1.4 Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции:

Ŷ=a+b/x

Проведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение ŷ=a+bX

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 5.

, .

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Ŷ=31,001+215709,49/х

Определим индекс детерминации:r² =0,951

Вариация результата Y на 95,1% объясняется вариацией фактора Х.

F>Fтабл=4,54 для α=0,05; k₁ =m=1;k₂ =n-m-1=15

Средняя относительная ошибка: 0,067*44,106=2,955%

В среднем расчетные значения ý для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 2,955%.

1.5 Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов

Наибольшее значение коэффициента детерминации и критерия Фишера имеет гиперболическая модель. Она же имеет практически наименьшую среднюю относительную ошибку, значит, ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

1.6 Расчет прогнозного значения результативного показателя.

.

Подставим значение x_р в уравнение гиперболической регрессии:

Ŷ=31,001+215709,49/х

Доверительный интервал прогноза для уровня значимости a определяется в виде:

где

Рассчитаем необходимые величины:

;

;

; ;

.

В результате доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05 равен:

505,8-0,275*145,8 .

465,7

8. Полученные результаты, в целом удовлетворительные. Модель гиперболической парной регрессии описывает реальную зависимость рассматриваемыми показателями.