Курсовая работа

"Представления конечных групп"

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

1.3 Лемма Шура

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

1.5 Индуцированные представления

1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

Основные обозначения

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой . Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой , а число элементов в – порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой , если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .

Централизатор . Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .

Лемма

1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и – подмножество группы и , то

3. Если – подмножество группы и , то

Центр группы . Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок .

Нормализатор . Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если – подгруппа группы , то

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема. Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:

1) – нормальная подгруппа;

2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;

3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .

Лемма. Пусть – подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если и , то ;

3) – наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5) для любого непустого подмножества группы .

Простая группа . В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой . Единичную группу считают непростой.

Представления конечных групп

1.1 Представления групп

Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в

G,

такой, что

,

(единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным .

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через .

Пример 1.2 Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.

Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

,

то представления и называются эквивалентными . Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение определяет классы эквивалентных представлений группы .

Пример 1.3. Пусть – симметрическая группа степени . Для элемента

через обозначим матрицу, строка которой имеет вид , где 1 стоит на месте. Другими словами,

где

Такое отображение является точным представлением группы .

1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу подстановку

является инъективным гомоморфизмом группы в . С такой подстановкой мы свяжем матрицу

где, как и в примере ,

Тогда отображение является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим следующим образом:

Тогда

и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.

регулярное представление группы определяется аналогично с использованием гомоморфизма

Другими словами,

Пусть – некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть – представление степени . Говорят, что приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что

где и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления

эквивалентны, поскольку для матрицы

Скажем, что представление неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.

Для заданных представлений и группы степеней и соответственно отображение

является представление степени этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений и и обозначается через .

Представление группы называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что

где каждое является неприводимым представлением группы .

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Представление группы называется унитарным, если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Матрица называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.

Лемма 2.1. Пусть – произвольная невырожденная матрица. Тогда – положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.

Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что .

Доказательство. Пусть . Тогда и . Пусть

.

Положим

Тогда

и – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .

Теорема 2.3. Пусть – конечная группа. Для каждого представления группы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что является унитарной матрицей для всех .

Доказательство. Положим

Тогда в силу леммы 2.1 является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как

то , т.е. ; поэтому – унитарная матрица.

Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть – приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:

В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что – унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид

Поскольку , мы получаем

откуда следует, что .

1.3 Лемма Шура

Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть и – неприводимые представления группы степеней и соответсвенно. Пусть – такая – матрица, что

Тогда либо

,

либо

и невырожденная.

Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что

где . Так как , то

где

Таким образом, , если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию.

Теорема 3.2. Пусть – неприводимое представление группы . Пусть – такая матрица, что для всех . Тогда , где .

Доказательство. Пусть – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,

откуда в силу леммы Шура следует, что

Теорема 3.3. Пусть – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.

Доказательство. Пусть – неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.

Характеры. Для квадратной матрицы порядка обозначим через ее след , т.е.

Путем прямых вычислений доказывается следующая

Лемма 4.1.

для произвольной квадратной матрицы .

Для представления группы положим Тогда – функция, принимающая значения в множестве и называемая характером представления . Очевидно, что равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами . Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая

Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер .

Поскольку , имеет место равенство . Таким образом, принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов .

Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть – группа порядка , а и – ее неприводимые представления степеней и соответственно. Для произвольной – матрицы пусть

Тогда, положив , получаем

Поскольку , как и , пробегает группу , то

Предположим, что и неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура . Отсюда для -го элемента матрицы получаем

В частности, если взять для некоторой пары и в остальных случаях, то

Пусть теперь . Тогда в силу теоремы 3.2 для некоторого . При этом -ый элемент матрицы равен

где и для . Вычислив след матрицы

мы получаем (здесь – степень представления ), откуда

Пусть для некоторой пары и , если или . Тогда

Тем самым мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть – группа порядка g.

(1) Пусть – неприводимое представление группы степени . Тогда

(2) Пусть – неприводимое представление, не эквивалентное представлению . Тогда

Пусть – характеры представлений и . Положив в предыдущей теореме и просуммировав по , мы получаем теорему.

Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – группа порядка g.

(1) Если – неприводимый характер группы , то

(2) Если – характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы , то

Отметим, что для всех , поскольку теорема 2.3 утверждает, что эквивалентно некоторому унитарному представлению и потому

Пусть – представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы и – характеры представлений . Обозначим через классы сопряженных элементов группы , причем , и пусть – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.

Теорема .

Для функций , определенных на группе порядка и принимающих значения в поле , определим скалярное произведение по следующему правилу:

В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо будем писать . Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:

В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:

Теорема . Пусть – характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы . Тогда

Кратности неприводимых представлений. Пусть – некоторое представление группы . Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению

где – неэквивалентные неприводимые представления. Число называется кратностью представления в , и мы записываем

Пусть – характер представления и – характер представления . Тогда

Если , то и называют неприводимыми компонентами представления и характера соответственно.

Теорема 4.5. Пусть – группа и – характер некоторого ее представления. Пусть – кратность неприводимого характера в . Тогда

Доказательство. Пусть разложение в сумму неприводимых характеров имеет вид , где – кратность . Тогда

Теорема 4.6. Пусть – представления группы , а – их характеры. Тогда и эквивалентны в том и только том случае, когда .

Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты в и определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы вполне приводимо, представления и эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление имеет в и одну ту же кратность. Таким образом, тогда и только тогда, когда .

Пусть – характер правого регулярного представления группы порядка . Отметим, что

Для характера произвольного неприводимого представления выполняется соотношение

равно степени представления ). Следовательно, справедлива следующая

Теорема 4.7. Пусть – характер правого регулярного представления группы . Тогда каждое неприводимое представления этой группы входит в с кратностью , где – степень представления . Таким образом,

где суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .

Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому .

Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в в качестве компоненты, и поэтому имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.

Теорема 4.8. Пусть – полный набор различных неприводимых характеров группы . Пусть – степень , а – порядок группы . Тогда

и

для .

Для доказательства достаточно вычислить на элементе , используя (4.8).

Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть – группа, а – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса :

Определим произведение и по правилу

где , а суммирование ведется по . Для элемента обозначим через число пар , таких, что . Тогда для имеется в точности пар , таких, что , поскольку тогда и только тогда, когда для . Поэтому каждый элемент из появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.

Совокупность всех элементов для также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через .

Тогда

Пусть – неприводимое представление группы и – степень . Определим по правилу

Тогда

поскольку пробегает , как и . Значит, коммутируют с и в силу теоремы 3.2

Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим

где – характер представления и . В силу (4.10)

Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству

или

Пусть – все различные неприводимые характеры группы и – степень . Равенство (4.14) имеет место для каждого . Просуммировав (4.14) по , получим

Отсюда

Величина равна порядку централизатора элемента в группе . Поскольку в силу (4.5) , мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – множество всех различных неприводимых характеров группы , и пусть – полный набор представителей классов сопряженных элементов группы . Тогда

где – порядок и суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .

Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы равно числу ее классов сопряженных элементов.

Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть есть – матрица, а есть – матрица. Если определитель квадратной матрицы , имеющий порядок , отличен от нуля, то .

Пусть – все различные неприводимые характеры группы , а – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме

Поэтому . В силу теоремы 4.9

Отсюда следует, что и потому .

1.5 Индуцированные представления

Пусть – группа и – ее подгруппа. Обозначим через и порядки групп и соответственно. Если – некоторая функция на , то через обозначим ее ограничение на . В случае когда – функция классов на , также является функцией классов на . Если – характер некоторого представления группы , то представляет собой характер ограничения представления на .

По функции , заданной на , определим функцию на правилом

полагая для , не принадлежащих . Отметим, что является функцией классов на , даже еслм не является функцией классов на . Если не сопряжен ни с каким элементом из , то .

Лемма 5.1. Пусть – функция классов на группе , а – функция классов на подгруппе группы . Тогда

Доказательство. Имеем

Вклад в сумму дают лишь такие пары , что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых при некотором , получаем

Если – характер некоторого представления группы , то назовем индуцированным характером группы и скажем, что индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .

Пусть – множество представителей левых смежных классов группы по :

Для представления подгруппы определим матрицу так:

где для , не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что

– представление группы степени , где , а – степень . При фиксированных и множество содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы через . Тогда

Покажем, что . Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то и , поскольку . В любом случае и следовательно, . Поскольку , матрица невырожденна. Таким образом является представлением группы .

Пусть – характер , а – характер . Тогда

Тем самым мы получим . Назовем индуцированным представлением группы и будем говорить, что индуцировано с . Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер

Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть – подгруппа в . Пусть – полный набор неприводимых характеров группы , а – полный набор неприводимых характеров группы . Тогда

в том и только том случае, когда

Другими словами, если – неприводимое представление группы , а – неприводимое представление , то является неприводимой компонентой в кратности тогда и только тогда, когда является неприводимой компонентой в кратности .

Доказательство. Пусть и . В силу леммы 5.1

1.6 Произведение представлений

Пусть – квадратные матрицы порядков и соответственно, и пусть . Определим кронекерово , или тензорное , произведение матриц и следующим образом:

Значит, представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая

Лемма 6.1.

(1) ,

(2) если имеют степень , a – степень , то

Пусть и – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение

также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений и обозначают через . Пусть – характеры представлений соответственно. По лемме 6.1 (1)

Пусть – полный набор неприводимых представлений группы , а – характер . Отображение также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .

Теорема 6.2. Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Таким образом, кратность вхождения в равна кратности вхождения в

Теорема 6.3. Пусть – точное представление группы и – его характер. Пусть – число различных значений, которые принимает на . Тогда каждое неприводимое представление группы входит в

для некоторого , где .

Доказательство. Предположим, что неприводимое представление не входит в . Пусть – характеры и соответственно. Тогда

для . Пусть принимает на значение . Положим и . В силу (6.1)

для Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .

Пусть – степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3 эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

Пусть – порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку точно, . Поэтому и . Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть – группа и – классы сопряженных элементов в . Пусть – нерпиводимые характеры группы , а – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

для произвольной квадратной матрицы и теорему: Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: ,

(2) если имеют степень , a – степень , то

Список использованных источников

Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24