Общий исторический обзор
Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии
. Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Началами” Евклида.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.
В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия
. В XVII - XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия
, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия
, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия
, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).
Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию
, называемую ныне геометрией Лобачевского.
Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др.
В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.
Первоначальное понятие о многогранниках.
Многогранники и их элементы.
Проблемы нам создают не те вещи,
которых мы не знаем, а те, о которых мы
ошибочно полагаем, что знаем.
В. Роджерс
Определение.
Многогранником
называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников.
В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым[1]
, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники.
|
Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью
, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника.
Стороны граней называются рёбрами
многогранника, а вершины – вершинами
многогранника.
Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями
этого многогранника.
|
Определение
. Многогранник называется правильным
, если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер.
|
| Грани
|
Вершины
|
Рёбра |
| Тетраэдр
|
4 |
4 |
6 |
| Куб
|
6 |
8 |
12 |
| Октаэдр
|
8 |
6 |
12 |
| Додекаэдр
|
12 |
20 |
30 |
| Икосаэдр
|
20 |
12 |
30 |
| Призма
n
-угольная
|
2n |
3n |
n+2 |
| Пирамида
n
-угольная
|
n+1 |
2n |
n+1 |
| Теорема Эйлера.
|
Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:
Г+В – Р=2
|
| Принцип Кавальери:
|
Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны. |
Призма.
| Определение.
Призма
– многогранник, составленный из двух равных многоугольников A
1
A
2
…
An
и
B
1
B
2
…
Bn
, расположенных в параллельных плоскостях, и n
параллелограммов. |
Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями
призмы (A
1
A
2
…
An
и
B
1
B
2
…
Bn
).
|
Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми гранями
(An
A1
B1
Bn
)
|
| Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами
(A1
B1
; A2
B2
… An
Bn
) |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой
призмы (h). |
| Диагональная плоскость
– плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы. |
| Диагональное сечение
– фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы. |
| Перпендикулярное сечение
– сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. |
| В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. |
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой
, в противном случае – наклонной
. Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.
|
Прямая призма называется правильной
, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники.
В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание.
|
Площадь боковой поверхности призмы
– это сумма площадей всех её боковых граней.
|
S
бок
=Рп
*
/g
/, где Рп
–
периметр перпендикулярного сечения,
/g
/ - длина бокового ребра |
| Площадь полной поверхности призмы
– сумма площадей всех её граней |
S
полн
=S
бок
+2
S
осн
|
Объём призмы. Объёмом
геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.
Доп. справка: в геометрии принято:
· За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины.
· Равные тела имеют равные объёмы
· Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов
· Если одно тело содержит другое, то объём первого тела не меньше объёма второго
|
V=S
осн
*h
|
| Теорема.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. |
S
бок
=
P
осн
*h
|
Частным случаем призмы является параллелепипед
– призма, основанием которой служат параллелограммы.
|
| Основные свойства параллелепипеда: |
1. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3. сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер.
4. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
|
Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то параллелепипед называется прямоугольным
. В нём все диагонали равны между собой.
Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым
.
Куб также является частным случаем призмы.
Куб
есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
|
| Объём параллелепипеда
|
V=S*h
|
| Объём прямоугольного параллелепипеда
|
V=abc
|
| Объём куба
|
V =a3
|
| Диагональ прямоугольного параллелепипеда
|
d
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
,
где
d
– диагональ,
a
,
b
,
c
– рёбра
|
Пирамида.
Слово «пирамида» в геометрию ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.
Определение
. Пирамида
– это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1
A2
…An
, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
|
| Этот n – угольник A1
A2
…An
называется основанием пирамиды.
|
| Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями
(A2
PA3
, …, An
PA1
) |
| Общая вершина всех боковых граней называется вершиной
пирамиды (P). |
| Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами
(PA1
, PA2
, …, PAn
) |
| Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью.
|
| Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой
пирамиды (РН). |
Пирамида называется правильной
, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
|
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой
этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу.
|
Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n
-угольной
.
Треугольная пирамида называется тетраэдром
. Тетраэдр называется правильным
, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).
|
Некоторые свойства правильной пирамиды:
· Все боковые рёбра равны между собой
· Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники
· Все двугранные углы при основании равны
· Все плоские углы при вершине равны
· Все плоские при основании равны
· Апофемы боковых граней одинаковы по длине
· В любую правильную пирамиду можно вписать сферу
|
| Площадью полной поверхности
пирамиды называется сумма площадей всех её граней. |
S
полн
=
S
бок
+
S
осн
|
| Площадь боковой поверхности пирамиды –
сумма площадей её боковых граней. |
| Площадь боковой грани
|
S
бок.гр.
=1/2*
m
*
/g
/,
где
m
– апофема,
/g
/ - основание грани |
| Теорема
. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. |
S
бок
=1/2 * (
P
осн
*
m
),
где
m
– апофема, Р – периметр многоугольника основания.
|
| Объём пирамиды.
|
V=(1/3)*S
осн
*h
|
Усечённая пирамида.
Определение
. Усечённая пирамида
– многогранник, гранями которого являются n-угольники A1
A2
…An
и B1
B2
…Bn
(нижнее и верхнее основания),
расположенные в параллельных плоскостях, и nчетырёхугольников A1
A2
B2
B1
, A2
A3
B3
B2
, …, An
A1
B1
Bn
.
Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды.
|
| Основания
усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1
A2
…An
и B1
B2
…Bn
). |
| Отрезки A1
B1
, A2
B2
, …, An
Bn
называются боковыми рёбрами
усечённой пирамиды. |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой
усечённой пирамиды (СН). |
| Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции
. |
| Усечённую пирамиду с основаниями A1
A2
…An
и B1
B2
…Bn
обозначают так: A1
A2
…An
B1
B2
…Bn
. |
| Усечённая пирамида называется правильной
, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники
, а боковые грани – равнобедренные трапеции
. |
| Высоты этих трапеций называются апофемами
(КК1
) |
| Свойства усечённой пирамиды:
|
1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки
2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании
3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды
|
| Теорема
. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. |
| Площадь поверхности
усечённой пирамиды |
S
=(1/2)*
m
*(
P
+
P
1
),
где
m
– апофема
|
| Теорема
. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. |
S
бок
=1/2*(Рв
+Рн
)*
m
,
где
m
– апофема, Рв
, Рн
– периметр верхнего и нижнего оснований
|
| Объём
усечённой пирамиды: |
V=(1/3)*h*(S1
+
√
S1
S2
+S2
),
где
S1
, S2
–
площади оснований.
|
| Площадь боковой грани
|
S
бок.гр.
=1/2*
m
*(
g
+
g
1
),
где
m
– апофема,
g
,
g
1
– основания боковой грани
|
Тетраэдр.
Определение
. Тетраэдр
– поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды.
Тетраэдр является частным случаем пирамиды.
|
| Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCAобозначается так: DABC
|
| Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями
. |
| Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами
. |
| Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами
тетраэдра. |
| Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными
. |
| Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием
, а три другие – боковыми гранями.
|
| Медианы
тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. |
| Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным
. |
| Свойства равногранного тетраэдра: |
описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный
развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник
у него имеются три оси симметрии
все трёхгранные углы равны
все медианы (тетраэдра) равны
все высоты (тетраэдра) равны
центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают
радиусы описанных окружностей граней равны
периметры граней равны
площади граней равны
|
| Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным
|
Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»:
S2
=S2
1
+S2
2
+S2
3
|
| Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным
. |
| Объём правильного тетраэдра.
|
V=(a3
*
√
2)/12
|
| Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре
|
R=(a*
√
6)/4
|
| Высота правильного тетраэдра
|
H=(a*
√
6)/3
|
| Площадь поверхности
правильного тетраэдра
|
S=a2
*
√
3
|
| Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра
|
r = (a*
√
6)/12
|
Список используемой литературы
- Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
- Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
- Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995
- Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996
[1]
В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.
|