Контрольная работа: Пределы Сравнение бесконечно малых величин
Название: Пределы Сравнение бесконечно малых величин Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||
Контрольная работа Дисциплина: Высшая математика Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин Содержание 1. Предел числовой последовательности 2. Предел функции 3. Второй замечательный предел 4. Сравнение бесконечно малых величин Литература 1. Предел числовой последовательности Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства. Определение 1.1.
Если каждому натуральному числу Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности. Определение 1.2.
Число Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов. Теорема 1.1.
(теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность
Отсюда следует, что Достаточность. Дано, что Возьмем произвольное Выберем
Отсюда следует, что Определение 1.3.
Числовая последовательность Теорема 1.2.
Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности. 2. Предел функции При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела. Определение 2.1. Число Данное условие записывается в виде: Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины. Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое
![]() В приведенном определении предела и теореме Коши Определение 2.2.
Если Определение 2.3.
Если Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке 3. Второй замечательный предел Рассмотрим числовую последовательность
В нашем случае
Из полученного выражения следует, что с увеличением Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида
Кроме того
В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма Итак, мы получили, что Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений
Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом. Число Следствие 3.1.
В частности, если Следствие 3.2 .
В частности, если 4. Сравнение бесконечно малых величин Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой. Пусть даны две бесконечно малые величины Определение 4.1
. Функции Определение 4.4.
Функция Определение 4.3
. Функция Тот факт, что Определение 4.4
. Функция Определение 4.5
. Функции Определение 4.6
. Две бесконечно малые величины Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом: Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:
при Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему. Теорема 4.1 . Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин. Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины
что и требовалось доказать. Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения. Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин. Теорема 4.4.
Две бесконечно малые величины Доказательство. Обозначим Необходимость. Дано, что
то есть Достаточность. Дано, что
то есть Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов. Теорема 4.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости. Доказательство. Пусть даны бесконечно малые величины
то есть Литература 1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, "Высшая школа", 1973. 2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики. 3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1986. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., "Высшая школа" изд. 5, 1977. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа" изд. 2. 6. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.3 7. Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. 8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969. 9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966. 10.Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973. 11.Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960. |