Реферат: Применение производной в науке и техникe
Название: Применение производной в науке и техникe Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
ФГОУ СПО Новосибирский аграрный колледж Реферат по дисциплине "математика" "Применение производной в науке и технике" С. Раздольное 2008 г. Содержание Введение 1. Теоретическая часть 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной 1.2 Определение производной 1.3 Общее правило нахождения производной 1.4 Геометрический смысл производной 1.5 Механический смысл производной 1.6 Производная второго порядка и её механический смысл 1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала 2. Исследование функций с помощью производной Заключение Литература Введение В первой главе моего реферата речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения, о геометрическом и физическом смысле производной. Во второй главе моего реферата речь пойдёт о применении производной в науке и технике и о решении задач в этой области. 1. Теоретическая часть 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения. Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом. Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t. Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю – 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость? Пусть движение тела описывается законом Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0
, так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения Таким образом, Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t0 называется предел средней скорости за время от t0 до t0 + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю. Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆ Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой. Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых. Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной. Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ1 , когда точка М1 , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М. 1.2 Определение производной Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции: 1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента. 2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента. 3. Приращение функции делят на приращение аргумента. 4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу. Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением Определение 3.
Производной
функции 1.3 Общее правило нахождения производной Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением. Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке . Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной: 1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента 2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: 3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: 4. Переходят к пределу при Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу. 1.4 Геометрический смысл производной Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид 1.5 Механический смысл производной Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. 1.6 Производная второго порядка и её механический смысл Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240): Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной. 1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала Определение 4.
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом
функции и обозначается знаком d, т.е. Дифференциал функции
Вычисление
дифференциала
– Применение дифференциала в приближённых вычислениях
– Теорема 1.
Если дифференцируемая функция
Теорема 2.
Если производная функция
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции 1.
Вычисляют производную 2.
Находят точки, в которых 3.
Найденными точками область определения функции 4.
Исследуют знак В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться. Определение 5.
Точка Если Теорема 3.
(необходимый признак экстремума). Если
Теорема 4.
(достаточный признак экстремума). Если производная
Основные моменты исследования производной: 1. Находят производную 2. Находят все критические точки из области определения функции. 3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума. 4. Вычисляют значения функции 2. Исследование функций с помощью производной Задача №1
. Объём бревна.
Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей Решение
. Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть
Задача №2
. При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой Решение
. Обозначив через Задача №3
. В специальной литературе для определения угла β поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с Решение.
Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду Заключение Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач. Литература 1. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках» 2. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика» |