Дано: E
= 150В; Em
= 150В; w = 7000 рад/с; ye
= 120°; L
= 4 мГн; C
= 5 мкФ; R
1
= 6 Ом; R
2
= 10 Ом; R
3
= 5 Ом; R
4
= 4 Ом.
Найти: uC
(t
).
Классический метод. Постоянное напряжение источника.
 Сопротивление последовательного соединения R
1
, R
4
R
14
= R
1
+ R
4
= 6 + 4 = 10 Ом.
Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника
Z
(p
) = + + R
14
= .
Характеристическое уравнение Z
(p
) = 0,
R
3
(R
2
+ R
14
)LC
p
2
+ ((R
2
+ R
3
+ R
14
)L
+ R
2
R
3
R
14
C
)p
+ R
2
(R
3
+ R
14
) = 0;
5∙(10 + 10)∙4∙10-3
∙5∙10-6
p
2
+ ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3
+ 10∙5∙10∙5∙10-6
)p
+ 10∙(5 + 10) = 0:
Корни характеристического уравнения p
1
= – 1510 с; p
2
= – 49700 с.
Свободная составляющая тока в индуктивности iL
св
= A
1
e
p
1
t
+ A
2
e
p
2
t
= A
1
e
–1510
t
+ A
2
e
–49700
t
.
Схема до коммутации.
Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL
(0) = E
/(R
14
+ R
3
) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Начальное значение напряжения на емкости uC
(0) = iL
(0)R
3
= 10∙5 = 50 В.
Схема после коммутации.
Принужденная составляющая напряжения на емкостиuC
пр
= E
= 150 В.
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC
(t
) = uC
пр
+ uC
св
(t
) = 150 + A
1
e
–1510t
+ A
2
e
–49700t
;
= – 1510A
1
e
–1510t
– 49700A
2
e
–49700t
.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC
(0) = uC
пр
(0) + uC
св
(0) = 150 + A
1
+ A
2
;
= – 1510A
1
– 49700A
2
.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t
= 0
для правого узла – iC
(0) + iL
(0) + i
2
(0) = 0;
для левого контура R
14
iE
(0) + L
– uC
(0) = E
;
для верхнего контура R
2
i
2
(0) – L
= 0.
Исключение величин i
2
(0), : (R
14
+ R
2
)iC
(0) – R
2
iL
(0) – uC
(0) = E
;
(10 + 10)∙iC
(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;
Зависимые начальные условия iC
(0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10-6
) = 1,5∙106
В/с.
50 = 180 + A
1
+ A
2
;
1,5∙106
= – 1510A
1
– 49700A
2
.
Постоянные интегрирования A
1
= – 3,6 А; A
2
= 1,1 А.
Искомый переходный ток в индуктивности iL
(t
) = 10 – 3,6e
–1510
t
+ 1,1e
–49700
t
.
Классический метод. Переменное напряжение источника.
 Корни характеристического уравнения аналогично p
1
= – 1510 с; p
2
= – 49700 с.
Свободная составляющая напряжения на емкости uC
св
= A
1
e
p
1
t
+ A
2
e
p
2
t
= A
1
e
–1510
t
+ A
2
e
–49700
t
.
Реактивные сопротивления индуктивности и емкости
XL
= wL
= 7000∙4∙10-3
= 28 Ом; XC
= 1/(wC
) = 1/(7000∙5∙10-6
) = 28,6 Ом.
Комплексные величины:
амплитуда напряжения источника m
= Em
e
y
e
= 150e
120
°
В;
сопротивления параллельных соединений ветвей R
2
, L
и R
3
, C
Z
R
2
L
= = 1/(1/10 + 1/j
28) = 8,87 + j
3,17 Ом;
Z
R
3C
= = 1/(1/5 + 1/(– j
28,6)) = 4,85 – j
0,85 Ом = 4,93e – j
9,93
°
Ом.
Схема до коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z
= Z
R
2
L
+ Z
R
3
C
+ R
14
= (8,87 + j
3,17) + (4,85 – j
0,85) + 10 = 23,8e
j
5,58
°
Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
em
= m
/Z
= 150e
120
°
/23,8e j
5,58
°
= 6,29e j
114,45
°
А;
Lm
= em
/(jXL
/R
2
+ 1) = 6,29e j
114,45
°
/(j
28/10 + 1) = 2,12e j
44,11
°
А;
амплитуда напряжения на емкости Cm
= em
Z
R
3
C
= 6,29e
j
114,45
°
∙4,93e –
j
9,93
°
= 31,0e
j
104,52
°
В;
ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t
= 0
e
(0) = Em
sin ye
= 150∙sin 120° = 129,9 В;
iL
(0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;
uC
(0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.
Cхема после коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z
= Z
R
2
L
– j
XC
+ R
14
= (8,87 + j
3,17) – j
28,6 + 10 = 31,6e–
j
53,34
°
Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
em
= m
/Z
= 150e
120
°
/31,6e – j
53,34
°
= 4,74e j
173,43
°
А;
Lm
= em
/(jXL
/R
2
+ 1) = 1,74e j
173,43
°
/(j
28/10 + 1) = 1,59e j
103,09
°
А;
амплитуда напряжения на емкости Cm
= em
(– jXC
) = 4,74e
j
173,43
°
∙28,6e –
j
90
°
= 135,4e
j
83,44
°
В.
Принужденная составляющая напряжения на емкости uC
пр
(t
) = 135,4 sin(7000t
+ 83,44°).
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC
(t
) = uC
пр
(t
) + uC
св
(t
) = 135,4 sin(7000t
+ 83,44°) + A
1
e
–1510t
+ A
2
e
–49700t
;
= 94500 cos(7000t
+ 83,44°) – 1510A
1
e
–1510t
– 49700A
2
e
–49700t
.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC
(0) = uC
пр
(0) + uC
св
(0) = 135,4 sin 83,44° + A
1
+ A
2
;
= 94500 cos83,44° – 1510A
1
– 49700A
2
.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t
= 0
для правого узла – iС
(0) + iL
(0) + i
2
(0) = 0;
для левого контура R
14
iС
(0) + L
– uC
(0) = e
(0);
для верхнего контура R
2
i
2
(0) – L
= 0.
Исключение величин i
2
(0), : (R
14
+ R
2
)iС
(0) – R
2
iL
(0) – uC
(0) = e
(0);
(10 + 10)∙ie
(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;
Зависимые начальные условия iС
(0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10-6
) = 1,75∙106
В/с.
30,0 = 135,4 sin 83,44° + A
1
+ A
2
;
1,75∙106
= 94500 cos 83,44° – 1510A
1
– 49700A
2
.
Постоянные интегрирования A
1
= – 73,9 А; A
2
= – 30,7 А.
Искомое переходное напряжение на емкости uC
(t
) = 135,4 sin(7000t
+ 83,44°) – 73,9e
–1510
t
– 30,7e
–49700
t
.
Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения
 
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.
Эквивалентная операторная схема
Начальные условия
Ток в цепи с индуктивностью при t
= 0: iL
(0) = E
/(R
14
+ R
3
) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Напряжение на емкости при t
= 0: uC
(0) = iL
(0)R
3
= 10∙5 = 50 В.
Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек
I
11
(p
)(R
14
+ pL
+ 1/(pC
)) – I
22
(p
)pL
– I
33
(p
)(1/(pC
)) = – E
(p
) – LiL
(0) + uC
(0)/p
;
– I
11
(p
)pL
+ I
22
(p
)(R
2
+ pL
) = LiL
(0);
– I
11
(p
)(1/(pC
)) + I
33
(p
)(R
3
+ 1/(pC
)) = – uC
(0)/p
.
Подстановка данных
I
11
(p
)(10 + p
∙4∙10-3
+ 1/(p
∙5∙10-6
)) – I
22
(p
)p
∙4∙10-3
– I
33
(p
)(1/(p
∙5∙10-6
)) = – 150/p
– 4∙10-3
∙iL
(0) + 50/p
;
– I
11
(p
)p
∙4∙10-3
+ I
22
(p
)(10 + p
∙4∙10-3
) = 4∙10-3
∙iL
(0);
– I
11
(p
)(1/(p
∙5∙10-6
)) + I
33
(p
)(5 + 1/(p
∙5∙10-6
)) = – uC
(0)/p
;
Операторные контурные токи левого и правого контуров
I
11
(p
) = – ;
I
33
(p
) = – .
Операторный ток в ветви с емкостью IC
(p
) = I
33
(p
) – I
11
(p
) = – .
Операторное напряжение на емкости
UC
(p
) = + = = = ;
F
1
(p
) = uC
(0)p
2
+ (100∙103
iL
(0) + 1,25∙103
uC
(0) + 1,5∙106
)p
+ 3,75∙109
;
F
3
(p
) = p
2
+ 51,25∙103
p +
75∙106
;
F
(p
) = 2p
+ 51250.
Корни характеристического уравнения F
2
(p
) = 0 p
0
= 0; p
1
= – 1510 с; p
2
= – 49700 с.
Переходное напряжение на емкости по теореме разложения
uC
(t
) = +  +  =
= + e
–1510t
+ e
–49700t
=
= 50 – 1,37∙10–8
(– 1,51∙108
iL
(0) + 3,9∙105
uC
(0) + 1,49∙106
)e
–1510t
– 4,17∙10–10
(– 4,97∙109
iL
(0) + 4,41∙109
uC
(0) – 7,08∙1010
)e
–49700t
А.
При подстановке iL
(0) = 10 А, uC
(0) = 50 В
uC
(t
) = 50 – 0,137e
–1510
t
+ 0,313e
–49700
t
А
Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.
|