| ФЕДЕРАЛЬНОЕ Вариант № .
Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг - бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль.
Решите задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи.
1. Графический метод решения
| Характеристика
|
Бензин
|
Ограничения
|
| А
|
Б
|
| Алкилат
|
1
|
3
|
1500
|
| Крекинг – бензина
|
1
|
1
|
1200
|
| Изопентол
|
1
|
2
|
1300
|
| Прибыль (за 1000л)
|
90
|
120
|
| План
|
х1
|
х2
|
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция:
f = 90х1
+ 120х2
→ max.
Строим прямые
х1
+ 3х2
= 1500, 1
х1
+ х2
= 1200, 2
х1
+2 х2
= 1300. 3
Строим направляющий вектор q {90, 120}.
Строим прямую, перпендикулярную направляющему вектору и проходящую через область допустимых решений.
Находим оптимальный план:
 х1
+ х2
= 1200, х1
= 1100,
х1
+2 х2
= 1300. х2
= 100.
Максимальная прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100 бензина Б.
Оптимальное значение целевой функции:
f = 90х1
+ 120х2
, f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000.
2. Симплекс-метод.
| Характеристика
|
Бензин
|
Ограничения
|
| А
|
Б
|
| Алкилат
|
1
|
3
|
1500
|
| Крекинг – бензина
|
1
|
1
|
1200
|
| Изопентол
|
1
|
2
|
1300
|
| Прибыль (за 1000л)
|
90
|
120
|
| План
|
х1
|
х2
|
Ограничения:
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция: f = 90х1
+ 120х2
→ max,
Введем дополнительные переменные у1
, у2
, у3
.
 1х1
+ 3х2
+ у1
= 1500,
1х1
+ 1х2
+ у2
= 1200,
1х1
+ 2х2
+ у3
= 1300,
х1
>
0, х2
>
0,
у1
>
0, у2
>
0, у3
>
0.
у1
= 1500 – (1х1
+ 3х2
),
у2
= 1200 – (1х1
+ 1х2
),
у3
= 1300 – (1х1
+ 2х2
),
х1
>
0, х2
>
0,
у1
>
0, у2
>
0, у3
>
0.
f = 0 – (-90х1
– 120х2
) → max.
Составим симплекс таблицу:
| Базисные
переменные
|
Свободные
члены
|
x1
|
x2
|
| у1
|
1500
|
1
|
3
|
| у2
|
1200
|
1
|
1
|
| у3
|
1300
|
1
|
2
|
| Индексная строка
|
0
|
-90
|
-120
|
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные
переменные
|
Свободные
члены
|
x1
|
у1
|
| x2
|
500
|
1/3
|
1/3
|
| у2
|
700
|
2/3
|
-1/3
|
| у3
|
300
|
1
/
3
|
-2/3
|
| Индексная строка
|
60000
|
-50
|
40
|
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные
переменные
|
Свободные
члены
|
у3
|
у1
|
| X2
|
200
|
-1
|
1
|
| у2
|
100
|
-2
|
1
|
| X1
|
900
|
3
|
-2
|
| Индексная строка
|
105000
|
150
|
-60
|
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные
переменные
|
Свободные
члены
|
у3
|
у2
|
| x2
|
100
|
1
|
-1
|
| у1
|
100
|
-2
|
1
|
| x1
|
1100
|
-1
|
2
|
| Индексная строка
|
111000
|
30
|
60
|
Найдено оптимальное решение.
3. Постановка и решение двойственной задачи.
Основная задача:
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция:
f = 90х1
+ 120х2
→ max.
Целевая функция двойственной задачи:
g = 1500y1
+ 1200y2
+ 1300y3
→ min.
 у1
 1 1 1 ∙ у2
3 1 2 у3
1у1
+ 1у2
+ 1у3
>
90,
3у1
+ 1у2
+ 2у3
>
120.
Переход от неравенства к равенству:
х1
+ 3х2
+ х3
= 1500,
х1
+ х2
+ х4
= 1200,
х1
+ 2х2
+ х5
= 1300,
хi
>
0.
1у1
+ 1у2
+ 1у3
- у4
= 90,
3у1
+ 1у2
+ 2у3
- у5
= 120.
уi
>
0.
| Осн.
|
Осн.
|
Доп.
|
| х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
| 1100
|
100
|
100
|
0
|
0
|
| Двойст.
|
0
|
0
|
0
|
60
|
30
|
| у4
|
у5
|
у1
|
у2
|
у3
|
| Доп.
|
Осн.
|
|