РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Метрология, стандартизация и технические измерения

Специфика проведения измерений и обработки результатов

Задание 1. Однократное измерение

Условие задания

При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.

Экспериментальные данные:

Информация о средстве измерения:

Вид закона распределения нормальный

Значение оценки среднего квадратичного отклонения

Доверительная вероятность

Мультипликативная поправка

Расчет

Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:

; ,

где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона

,

где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения , при этом следует учитывать, что . t = 1,64 при P=0,9

.

Используя правила округления, получим:

.

С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:

; .

Вносим мультипликативную поправку:

, ,.

Записываем результат:

<Q<; P=0,9

Задание 2. Многократное измерение

Условие задания

При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений . Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.

Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

Условие выполняется для всех результатов измерений.

Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .

Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:

,

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

Мы видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .

Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.

Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:

Определяем доверительный интервал

Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента , где определяется из соответствующей таблицы.

,

Используя правила округления, получим:

Результат измерений запишется в виде:

Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений

Условие задания

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 () результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.

Серия измерений 1.

Серия измерений 2.

Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.

Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.

Серия измерений 1.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

При , следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

Условие выполняется для всех результатов серии измерений.

Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .

Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:

, .

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью

.

Серия измерений 2.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

Условие выполняется для всех результатов серии измерений.

Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .

Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:

, .

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .

Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.

Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:

Задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем с .

Условие выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.

Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.

Для этого определяем значение:

И, задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера .

Условие выполняется. Серии с доверительной вероятностью считаем рассеянными.

Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения и среднеквадратического отклонения .

Задавшись доверительной вероятностью , определяем из таблиц распределения Стьюдента значение для числа степеней свободы

Затем определяем доверительный интервал :

Используя правила округления, получим:

Результат измерений запишется в виде:

.

Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

Условие задания

При многократных измерениях независимых величин и получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления , (вид функции и характер величин представлены в таблице 3).

Вид функциональной зависимости .

Характер и единицы величин:

- ЭДС, мВ;

- сопротивление, Ом;

- сила тока, А.

Обработка результатов измерений величин и проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.

Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин и имеют вид

Гипотеза о нормальности распределения величин и подтверждается.

Определим оценку среднего значения функции:

Определим поправку

Определим оценку стандартного отклонения функции

Определяем доверительный интервал для функции

Законы распределения вероятности результатов измерения и признаны нормальными, можно определить для принятой доверительной вероятности из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы определяется из выражения

Используя правила округления, получим:

Результат запишется в виде:

Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей

Условие задания

При многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по : .

В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида

.

Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.

Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.

Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:

последовательность ∆Yi записана по мере возрастания Х

Критерий серий:

Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6

Задавшись доверительной вероятностью , для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :

Критерий инверсий:

Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности : А=106.

Задавшись доверительной вероятностью для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :

Оба неравенства выполняются и . Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.