Контрольная работа: Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m₁ і не більше m₂ підприємців.

n=300; p=0,05; m₁ =25; m₂ =60

n=500; p=0,05; m₁ =10; m₂ =250

Розв’язання:

Якщо випадкова величина попадає в інтервал .

Позначимо шукану імовірність Р_n (m ).

Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі :

Позначимо через В_m складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те

Подія В_m можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати способами. Отже,

Завдання 3

Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію в (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ _Х.

Х	1	3	5	7	11
p	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08

Розв’язання.

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці.

Х	1	3	5	7	11
P	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08
Х*Р	0,10	0,45	2,10	1,75	0,88

б) Дисперсія визначається як:

Х	1	3	5	7	11
Р (Х)	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08
Х - М (Х)	-4,28	-2,28	-0,28	1,72	5,72
(Х - М (Х)) ²	18,32	5, 20	0,08	2,96	32,72
P (Х) * (Х - М (Х)) ²	1,83	0,78	0,03	0,74	2,62

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =6,00.

в) середнє квадратичне відхилення δ_х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 4

Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію в (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ _Х. n=3; p=0,5

Розв’язання.

Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:

Підставивши значення параметрів, отримаємо:

Запишемо ряд розподілу цієї величини:

Таблиця 1

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (m)

Таблиця 2

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (Х)	1.29E-01	9.68E-03	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15

Рис.1. Графік біноміального розподілу

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці 3.

Таблиця 3

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (Х)	1.29E-01	9.68E-03	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15
ХP (Х)	1.29E-01	1.94E-02	1.45E-03	7.26E-05	2.72E-06	8.17E-08	2.04E-09	4.38E-11	8.21E-13	1.37E-14

б) Дисперсія визначається як:

Таблиця 4

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сума
Х-M (Х)	0.850	1.850	2.850	3.850	4.850	5.850	6.850	7.850	8.850	9.850	53.500
(Х-M (Х)) ²	0.723	3.423	8.123	14.823	23.523	34.223	46.923	61.623	78.323	97.023	368.725
P_n (Х)	0.129	0.010	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15	0.139
(Х-M (Х)) ² P (m)	0.093	0.033	3.93E-03	2.69E-04	1.28E-05	4.66E-07	1.37E-08	3.37E-10	7.14E-12	1.33E-13	0.131

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =0,131.

в) середнє квадратичне відхилення δ_х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 5

Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.

a=5

x	1	2	4	5
f (x)	0,033	0,081	0,081	0,033

a=2

x	0,5	1	3	3,5
f (x)	0,13	0,24	0,24	0,13

Розв’язання.

а) М (Х) =5.

Нормальний закон розподілу описується формулою:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія визначається як:

де М (Х) - математичне сподівання.

Математичне сподівання обчислюється за формулою:

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.

Таблиця 5

Допоміжні розрахунки

Сума
x	1	2	4	5	12,00
f (x)	0,033	0,081	0,081	0,033	0,228
	16,000	9,000	1,000	0,000	26,000
	0,528	0,729	0,081	0,000	5,928

Отже, в (X) = 5,928

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

б) М (Х) =2.

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.

Таблиця 6

Допоміжні розрахунки

Сума
x	0,5	1	3	3,5	8,00
f (x)	0,13	0,24	0,24	0,13	0,74
	2,25	1	1	2,25	6,50
	0,29	0,24	0,24	0,29	1,07

Отже, в (X) = 1,07.

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

Завдання 6

Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).

скласти варіаційний ряд вибірки.

побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Розв’язання.

Складемо варіаційний ряд.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
73	68	70	65	73	71	66	69	78	70	67	67	67	76	71	72	68	74	73	70

Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:

де і - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.

; ; n = 4.

Таблиця 7

І							ІІ							ІІІ						ІV
65,00 - 68,25							68,25 - 71,50							71,50 - 74,75						74,75 - 78,00
65	66	67	67	67	68	68		69	70	70	70	71	71		72	73	73	73	74		76	78
f=7							6							5						2
S=7							13							18						20

Побудуємо гістограму розподілу.

Рис.1. Гістограма розподілу

Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів

Рис.2. Полігон частот

3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Мода М_о - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.

Мода визначається, як:

де х_о та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;

- частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.

З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа x_o =65,00, частота f_mo =7, передмодальна частота f_mo-1 =0, післямодальна частота f_mo+1 =6. Маємо:

Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:

де f_me - частота медіанного інтервалу;

S_fme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:

В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.

Кумулятивна частота S_me3 = 13, S_me2-1 = 7, f_me = 6, х_о = 68,25, h=3,25.

Підставивши у (2.2), маємо:

Середнє арифметичне обчислюється за формулою:

Дисперсія обчислюється за формулою:

Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.

Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.

де - центральний момент четвертого порядку.

У нашому випадку:

Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.

Результати обчислень наведені у табл.8.

Таблиця 8

65,00 - 68,25	68,25 - 71,50	71,50 - 74,75	74,75 - 78,00	Сума
x	66.63	69.88	73.13	76.38	286.00
x²	4 438.89	4 882.52	5 347.27	5 833.14	20 501.81
f	7	6	5	2	20.00
S	7	13	18	20	58.00
dj	0.35	0.30	0.25	0.10	1.00
xjdj	23.32	20.96	18.28	7.64	70.20
xj2dj	1 553.61	1 464.75	1 336.82	583.31	4 938.50
(xcp-m) 3	-45.69	-0.03	25.03	235.46	214.76
(xcp-m) 3dj	-15.99	-0.01	6.26	23.55	13.80
(xcp-m) 4	163.34	0.01	73.20	1 453.94	1 690.50
(xcp-m) 4dj	57.17	0.00	18.30	145.39	220.87

Завдання 7

Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:

x_i	2	5	9	11	12	15	18	19	21
m_i	1	2	3	8	19	18	16	13	9

Рис.1.

Нормальний розподіл задається функцією:

Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).

Таблиця 9.1

x_i	2	5	9	11	12	15	18	19	21	Всього
m_i	1	2	3	8	19	18	16	13	9	89
p_і	0,01	0,02	0,03	0,09	0,21	0, 20	0,18	0,15	0,10	1,00
Σх_і р_і	0,02	0,11	0,30	0,99	2,56	3,03	3,24	2,78	2,12	15,16
(х_і - х_ср )	-13,16	-10,16	-6,16	-4,16	-3,16	-0,16	2,84	3,84	5,84	-24,42
(х_і - х_ср ) ²	173,11	103,17	37,91	17,28	9,97	0,02	8,08	14,77	34,14	398,46

За методом χ² -критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал h_k від теоретичного їх числа fp_k , де p_k -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.

Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:

де -квантиль χ² -критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;

p_j =F (b_k - a_k ) = -

теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал

Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: .

Таблиця 9.2

Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл

k	Значення	p_k	f_j	(f_j -np_k ) /np_k
1	2	0,425	1	0,177
2	5	0, 193	2	1,077
3	9	0,092	3	2,619
4	11	0,073	8	8,971
5	12	0,067	19	22,579
6	15	0,060	18	18,997
7	18	0,066	16	12,523
8	19	0,071	13	8,651
9	21	0,088	9	3,856
Сума	112	1,134	89	79,451

Рис.1. Емпіричні дані розподілу

=== 10,48773.

Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.

Список використаної літератури

1. Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Харків, 1996. - 208 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. - 7. изд., стереотип. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

3. Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. - Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. - 76 с.

4. Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. - М.: ГУУ, 2001. - 87 с.

5. Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. - Д.: РВВ ДНУ, 2001. - 163 с.

6. Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. - Уфа: Восточный университет, 2001. - 77 с.

7. Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. - 140 с.

8. Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. - практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики - М.: МИПК учета и статистики, 2001. - 232 с.

9. Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. - 82 с.

10. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. - Минск: Новое знание, 2000. - 206 с.

11. Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу "Теория вероятностей" / Криворожский гос. педагогический ин-т. - Кривой Рог, 1993. - 40 с.