Теорем
ы
Перрона-Фробеніуса та Маркова
В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
1.
Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m
x n
– це прямокутна таблиця чисел з m
рядків та n
стовпців. Позначається матриця так:
Квадратною матрицею n
-го порядку зветься матриця розміром n
x n
. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці   . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
1. Множити на число
Приклад:
2. Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад:
3. Множити матриці:
Приклад:
Взагалі, добутком матриці А розмірів m
x r
та матриці В розмірів r
x n
називається матриця С розмірів m
x n
, яка позначається АВ. Елемент cij
цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i
-го рядка матриці А та елементів j
-го рядка матриці В, а саме: 
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна матриця порядку n
, у якої єлементи  , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n
. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n
, Е – одинична матриця такого ж порядку.
Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1
зветься оберненою до матриці А, якщо 
Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1
існує тоді і тільки тоді, коли  .
Беспосередньо можна первірити, що для
Визначення:
Число l називається власним значенням n
x n
матриці А, якщо знайдется стовпчик  такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.
Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
Визначення:
Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона:
Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r
>0 таке, що:
1. r
- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r
.
3. власний вектор, що відповідає r
, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай  .
Тоді  .
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
 .
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r
=l1
.
Знайдемо власний вектор  , що відповідає власному значенню l1
з рівності
Тоді
 , або 
Враховуючи, що
перепишемо систему у вигляді:
Але  і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.
Знайдемо x
1
з першого рівняння системи 
Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що  ,тому що поклавши отримаємо x
1
>0.
Враховуючи, що b>0 треба довести, що  ,
але це випливає з того, що  , бо cb
>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення
: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду  , де А1
, А2
- квадратні матриці розмірів k
x k
та (n
-k
) x (n
-k
) відповідно. Для 2х2 матриць  це означає, що  та 
Визначення
: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження
: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення
: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
1) 
2) 
Теорема Маркова:
Нехай для стохастичної матриці P
існує натуральне число k
0
таке, що  (тобто всі елементи додатні). Тоді
1.  (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)
2. Матриця  - має однакові рядки.
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді  , де 
Запишемо її характеристичне рівняння:  ,
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
І тому
З урахуванням  маємо  , але якщо  , то це значить, що p
=q
=1 або p
=q
=0, відкіля матриця P
буде мати вигляд  , або  і тоді P
n
містить нулі  , що суперечить умові. Таким чином  .
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню  відповідає власний вектор , де x
1
=x
2
, тобто, наприклад  власний вектор. Знайдемо власний вектор  , що відповідає власному значенню  .
За визначенням
Звідки
Згадуючи, що  отримуємо
Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y
1
з першого рівняння:  або  звідки  , але  , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд:  , а тоді матриця  мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що 
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn
.
Позначимо  .
Оскілки  , то існує S-
1. Перепишемо рівняння  та  у матричній формі
 або  .
Відкіля  і взагалі 
Знайдемо границю Pn
:
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо .
Оскільки  , то  Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність 
Для того, щоб довести треба довести, що  , треба довести, що  та  .
Маємо
 ,
 , тому що p
>0 і q
>0
Теорема доказана.
Зауваження1
В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць 
Зауваження2
Позначимо  рядки граничної матриці . Тоді  можна знайти з умови:
Доведення.
Оскільки 
Зівдки 
Або 
Звідки 
Зокрема, для 2х2 матриці 
Умовою рядок  визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
1. С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980
2. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
М., 1984
3. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
4. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
5. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
6. С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
7. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
8. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
9. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
10.В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984
|