Оптика и элементы атомной физики

ТЕМА 1 : Развитие взглядов на природу света. Законы геометрической оптики.

§ 1 . Корпускулярная и волновая теория света .

Свет и его свойства люди начали изучать более 2000 лет назад, ещё в трактатах Евклида (300 г. до н. э.) формулируются законы прямолинейного распространения света и равенства углов падения и отражения. Однако слабостью подхода древних греков было отсутствие моделей, то есть, что же из себя представляет свет. Поэтому, в частности закон преломления, найденный ими экспериментально был записан неверно. Вместо отношения синусов (sini /sinr = const) они писали отношение углов (i /r = const), что, в принципе, верно для малых углов. Этот закон правильно сформулировал Декарт. Он же впервые пытался объяснить закон преломления, исходя из корпускулярных представлений о свете. Эту традицию, объяснять свет как поток корпускул, продолжил и развил Ньютон. Он применил, естественно, сформулированные им законы механики к доказательству законов отражения и преломления света. Он предположил, что при отражении корпускула света испытывает упругое соударение с зеркалом. Отсюда легко выводится тот факт, что угол падения равен углу отражения . Ньютону удалось также вывести и закон преломления - sini /sinr = const = n . Приведу его рассуждения. При упругом ударе корпускулы о поверхность нормальная составляющая её скорости v_n меняет свой знак на противоположный (модуль сохраняется одинаковым), касательная составляющая остаётся неизменной. Поэтому получим:

Из рисунка видно, что tgi = v_k /v_n = v_k /(-v_n ) = - v_k /v_n = - tgi’ , или i = i’ , то есть угол падения равен углу отражения. При выводе закона преломления Ньютон также воспользовался своей механикой. Обозначим скорость света в вакууме – c , а скорость света в некой среде – v . Поскольку предполагалось, что касательная составляющая скорости остаётся постоянной при пересечении границы раздела, то c sini = v sinr .

Получим sini /sinr = v /c = const = n . Но поскольку i > r , то sini > sinr и, следовательно, v > r . Получилось, что sini/sinr = const – это правильно (соответствует сегодняшним знаниям), но v > c (т.е. скорость распространения света в среде больше, чем вакууме) – это неверно!

Продолжая исследования свойства света, Ньютон также показал, что белый свет (видимый глазом) является сложным и содержит цвета радуги, причём, каждый из которых характеризуется своей преломляемостью. Он это объяснил различием в массах корпускул разного цвета.

Наряду с корпускулярной концепцией света в XVIIв. возникла и начала развиваться волновая теория Гука-Гюйгенса. В "Трактате о свете" (1678 г.) Гюйгенс писал о свете, как о процессе распространения продольных деформаций (это было неверным предположением, поскольку свет – это поперечные колебания) в некоторой материальной среде, пронизывающей все тела - мировом эфире . Для анализа распространения этих деформаций Гюйгенс предложил простой метод, в основе которого лежит процесс распространения плоских волн в эфире. Рассмотрим доказательство закона преломления, приведенное Гюйгенсом:

Пусть фронт плоской волны AB, распространяющийся в вакууме со скоростью c , падает под углом i на границу со средой, в которой скорость распространения равна v . Спустя некоторый промежуток времени D t , волна, распространяющаяся из точки B, пройдёт путь BC = c D t и достигнет границ раздела. За то же время волна, распространяющаяся от точки A в среде со скоростью v , пройдёт путь AD =v D t . Направление распространения фронта волны DCв среде характеризуется углом преломления r . Из рисунка видно, что сторона ACявляется одновременно гипотенузой двух прямоугольных треугольников и AC = c × D t /sini = v × D t /sinr . Отсюда, после сокращения D t получаем: sini /sinr = c /v = const =n (т.е., по сравнению с выражением, полученным Ньютоном, строго наоборот). Именно такое выражение соответствует современным представлениям о свете. То есть, Гюйгенс здесь оказался прав!

Более общая формулировка закона распространения света была дана Ферма (1601-1655). Согласно принципу Ферма, лучи света распространяются по пути, приводящему к цели в кратчайшее время. С его помощью также можно доказать справедливость законов отражения и преломления света. Следует отметить, что принцип Ферма не утратил своего значения до сих пор и применяется при выводе законов квантовой электродинамики .

И из корпускулярных и из волновых представлений о природе света можно вывести все законы геометрической оптики. Единственным противоречием этих двух подходов является то, что из корпускулярных представлений следует что v> c , а из волновых, наоборот, v< c (c - скорость распространения света в вакууме, v - скорость распространения света в среде). Верным оказался вывод Гюйгенса. Дальше продолжалось интенсивное изучение свойств света:

- в 1663 г. Гримальди впервые наблюдает явления дифракции и интерференции света;

- чуть позже Гюйгенс открывает поляризацию света, но не может её объяснить;

- в 1717 г. Ньютон показывает, что поляризация света может быть объяснена при предположении поперечности световых волн, хотя это противоречило волновой теории, так как считалось невозможным распространение упругой деформации поперечного сдвига;

- в 1756 г. Ломоносов вводит представление о "зыблющемся" или колебательном движении частиц эфира;

- Эйлер пишет формулу v = l/T = l×nи объясняет различием в частоте колебаний эфира различные цвета тел.

Борьба между сторонниками волновой и корпускулярной природе света доходила до курьёзов. Так, в 1818 г. сторонники корпускулярной теории выдвигают на конкурс Парижской Академии вопрос о дифракции света. Однако, премию получает Френель, давший объяснение дифракции, исходя из волновой теории. Он же доказывает возможность распространения поперечных колебаний, и в результате все явления поляризации были объяснены с волновой точки зрения.

То есть, наука о свете, в том числе - есть борьба идей.

§ 2 . Электромагнитная теория света. Возникновение теории квантов .

Дальнейшее развитие взглядов на природу света связано с именами М.Фарадея, Д.Максвелла, М.Планка, А.Эйнштейна и, наконец, Ричарда Фейнмана.

В 1846 г. М. Фарадей наблюдал вращение плоскости поляризации света в телах, помещённых в магнитное поле, что указывало на сходство оптических и электрических явлений. Он же ввёл представление об электрических и магнитных полях, как о натяжениях эфира. Так в физике появилось понятие "электромагнитный эфир". Распространение электромагнитных полей в этом эфире должно было происходить как волновой процесс. Далее Максвелл в результате своих теоретических исследований пришёл к выводу, что скорость распространения электромагнитных волн в пустоте равна отношению электромагнитной и электростатической единиц тока (СГСЭ и СГСМ), что совпало с экспериментальным значением для скорости света ~300000 км/с. Более того, свет оказался только частью от всех имеющихся электромагнитных волн: радиоволны, инфракрасный свет, ультрафиолет, рентген, гамма - лучи. Согласно электромагнитной теории, созданной Максвеллом, скорость распространения электромагнитных волн в среде равна: . Следовательно, показатель преломления среды, по определению равен: . Однако у теории Максвелла здесь имеется ограничение - он полагал e и m числами постоянными, а на самом деле они зависят от длины волны и правильно писать формулу для n , например, нужно следующим образом: . Кстати, здесь видно, что в споре корпускулярной и волновой теорий света, в данном случае, правы оказались сторонники волновой теории, которые считали скорость распространения света в среде меньшей, чем в вакууме. То есть, при рассмотрении распространения света в среде необходимо учитывать особенности строения вещества и закономерности взаимодействия с ним электромагнитного излучения. Об этом мы поговорим в следующих лекциях.

Несколько слов об открытиях Макса Планка и Альберта Эйнштейна. Волновая (электромагнитная) теория излучения не смогла объяснить распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела, кроме того, возникли трудности при объяснении закономерностей фотоэффекта. Выход из возникших затруднений нашёл выдающийся физик прошлого столетия - М. Планк. В 1901 г. он показал, что спектр абсолютно чёрного тела может быть объяснён, если предположить, что излучение испускается и поглощается не непрерывно, а порциями ("квантами"). Причём, энергия каждой порции излучения связана с частотой колебаний электромагнитной волны следующим соотношением: e = h n , где h = 6.62 ×10^-34 дж ×с , названная впоследствии постоянной Планка . А. Эйнштейн в 1905 г. объяснил закономерности фотоэффекта, введя представления о световых частицах - "квантах света" или "фотонах ". Масса фотона, согласно Эйнштейну, была равна: m = h n/ c² . Работы Планка и Эйнштейна привели к революции в физике и к созданию квантовой физики, в том числе к созданию Фейнманом современной теории электромагнетизма - квантовой электродинамики. Таким образом, длительный путь развития науки о свете привёл к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Приведенные выше формулы связывают корпускулярные характеристики излучения - массу, энергию, с волновыми - частотой колебаний, длиной волны.

§ 3 . Законы геометрической оптики.

Теперь перейдём к последовательному изложению оптики, как науки. Законы геометрической оптики:

-закон прямолинейного распространения света : свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно, доказательством этого закона можно считать наличие тени с резкими краями от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света, однако сейчас известно, что этот закон нарушается, если, например, свет проходит через очень маленькие отверстия;

-закон независимости световых пучков : эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или нет, разбивая световой поток на отдельные световые пучки, можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо (если, например, свет падает на границу двух прозрачных сред, то падающий луч разделяется на два – отражённый и преломлённый, каждый из которых независим друг от друга);

-закон отражения : отражённый луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела в точке падения и угол падения равен углу отражения (i = i’ );

-закон преломления : луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости, отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная (sini /sinr = const). Эта постоянная называется показателем преломления и обычно обозначается буквой n .

Абсолютным показателем преломления среды называется величина n = sini /sinr , где угол падения i находится в вакууме, а угол преломления r в преломляющей среде. Или иначе, абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в среде n = c /v . Из уравнений Максвелла следует, что n =

где e и m- электрическая и магнитная проницаемости соответственно. Ещё вводят относительный показатель преломления, который равен отношению абсолютных показателей преломления двух сред n₂₁ = n₂ /n₁ .

§ 4 . Полное внутреннее отражение .

Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления (оптически менее плотную) n1>n2, например, из стекла в воду или из воды в воздух, то луч во второй среде будет дальше удаляться от нормали и наступит такой момент, когда луч вообще не попадёт во вторую среду. Это означает, что свет претерпел полное внутреннее отражение . В этот момент угол преломления оказывается равным p/2.

Явление полного внутреннего отражения используется в очень распространённых в настоящее время волоконно-оптических линиях связи (ВОЛС). В результате, луч света, вводимый в волновод, отражаясь от стенок волновода не выходит наружу. Пояснение на рисунке.

§ 5. Тонкая линза.

Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями, преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. Материалом для линз служит стекло, кварц, пластмасса. Линзы получаются путём совмещения двух поверхностей – плоской и выпуклой в различных комбинациях. По внешней форме линзы бывают - двояковыпуклые, плосковыпуклые, двояковогнутые, плосковогнутые, выпукло-вогнутые, вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие . Линза является тонкой , если её толщина значительно меньше радиусов поверхностей, её ограничивающих. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью . У всякой линзы есть точка, называемая оптическим центром линзы , лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь неё, не преломляясь. Для вывода формулы линзы, которая связывает радиусы кривизны R ₁ и R ₂ поверхностей линзы с расстояниями от линзы до предмета - a , и от линзы до изображения - b , воспользуемся принципом Ферма (1601-1665). Этот принцип ещё называется принципом наименьшего времени (действительный путь распространения света или траектория светового луча есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим путём).

Рассмотрим два световых луча - луч, соединяющий точки A и B (луч AOB), и луч, проходящий через край линзы (луч ACB), и воспользуемся условием равенства времени прохождения света вдоль AOB и ACB, ибо, если времена не равны, то свет вообще не пойдёт по более длинному пути, а мы знаем, что он идёт. Итак, время прохождения вдоль AOB:

(1)

где N = n /n ₁ - относительный показатель преломления (n и n ₁ - соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света вдоль ACBравно:

, (2)

Так как t ₁ = t ₂ , то

. (3)

Рассматриваем параксиальные (приосевые) лучи, то есть лучи, образующие с оптической осью малые углы. Только при использовании параксиальных лучей получается стигматическое изображение , когда все лучи параксиального пучка, исходящего из точки A, пересекают оптическую ось в одной и той же точке B. Поскольку h <<(a + e ) и h <<(b + d ). Получаем:

. (4)

Аналогично:

. (5)

Подставив найденные выражения в соотношение равенства времён, получим:

. (6)

Для тонкой линзы e <<a и d <<b , поэтому:

. (7)

Учитывая, что ,

и соответственно d = h ² /(2R ₁ ), тогда получим:

. (8)

Выражение (8) представляет собой формулу тонкой линзы . Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным, вогнутой - отрицательным. Если a = ¥ , то есть лучи падают на линзу параллельным пучком, то

. (9)

Расстояние b= OF = f называется фокусным расстоянием линзы , определяемое по формуле:

. (10)

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

Если b = ¥, то есть изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи из линзы выходят параллельным пучком. Для 1/aмы получим точно такое же выражение, что и для 1/b. Таким образом, фокусные расстояния линзы равны (слева и справа), хотя радиусы кривизны могут быть разные . Это следует из формулы (10). Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус - это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. Величина 1/ f называется оптической силой линзы . Её единица измерения - диоптрия (дптр). Диоптрия - это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м (1 дптр = 1/м).

. (11)

Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с отрицательной - рассеивающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно её главной оптической оси, называются фокальными плоскостями. Если предмет находится не на главной оптической оси, то лучи пойдут под углом к главной оптической оси и сфокусируются тоже не на главной оптической оси, но фокус будет принадлежать фокальной плоскости. В отличие от собирающей, рассеивающая линза имеет мнимые фокусы . В мнимом фокусе сходятся после преломления воображаемые продолжения лучей падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси.

Из формул (8) и (11) следует:

. (12)

Между прочим, для рассеивающей линзы расстояния fи bследует считать отрицательными:

Построение изображений предмета в линзах осуществляется с помощью следующих лучей:

- проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;

- идущего параллельно главной оптической оси, который после преломления в линзе проходит через второй фокус;

- луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы, который после преломления выходит параллельно её главной оптической оси.

Примеры построений изображения :

1) Действительное изображение в собирающей линзе

2) Мнимое изображение в собирающей линзе(лупа)

3) Мнимое изображение в рассеивающей линзе

ОСНОВНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ :

1) сферическая аберрация - искажение изображения, связанное с отдалением от оптической оси лучей, приводящая к размытию второго фокуса;

2) кома - возникает в том случае, если светящаяся точка расположена не на оптической оси, что приводит к изображению этой точки с хвостом, напоминающим комету (отсюда и название);

3) дисторсия - погрешность оптической системы также связанная с отклонением от параксиальности, что приводит к различному увеличению различных точек предмета;

4) хроматическая аберрация - связана с зависимостью показателя преломления от длины волны и проявляется при освещении немонохроматическим светом, например, белым;

5) астигматизм - погрешность, обусловленная неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных сечениях, падающего светового пучка.

Все приведенные погрешности можно исправить, подбирая стёкла различно преломляющие разные длины волн, сочетанием выпуклых и вогнутых линз из материалов, имеющих различные показатели преломления. Одновременное исправление всех перечисленных погрешностей является очень сложной, а иногда и неразрешимой задачей.

§ 6 . Глаз как оптическая система. Оптические инструменты, вооружающие глаз

5. 1 Глаз .

Глазное яблоко заключено в плотную белую непрозрачную оболочку ww , называемую склерой . Через заднюю стенку склеры проходит глазной нерв и кровеносные сосуды. Передняя часть склеры переходит в прозрачную роговую оболочку , или роговицу h , более выпуклую, чем склера. Толщина склеры от 0.4 до 1.1 мм, роговицы – около 0.5 мм. За роговицей следует передняя глазная камера а , хрусталик l , задняя глазная камера gl . Эти части составляют оптическую систему глаза, дающую оптические изображения предметов. Передняя глазная камера (а) заполнена прозрачной жидкостью, задняя (gl) – прозрачным студенистым веществом или стекловидным телом. Показатели преломления этих сред практически одинаковы и равны 1.336. Показатель преломления роговой оболочки (h) – 1.376. Спереди также располагается радужная оболочка, посередине которой имеется круглое отверстие – зрачок. Зрачок может сужаться и расширяться, в зависимости от освещённости, от 2 до 8 мм.

Основной линзой глаза является хрусталик, дающий изображение предмета на сетчатке. Показатель преломления хрусталика изменяется (наружный слой имеет n = 1.405, а внутренний слой n = 1.429). Хрусталик может менять свою кривизну и таким образом достигается резкость изображения предметов на сетчатке. В случае нормального глаза оптимальное расстояние до предмета составляет ~25 см. Это расстояние берётся за основу при расчёте оптических приборов. В возрасте до 10 лет можно резко видеть на расстоянии 7-8 см от глаза. К 30 годам это расстояние увеличивается до ~15 см, к 40 до ~25 см. Дальнозоркость устраняется при помощи очков с собирающими линзами, а близорукость с рассеивающими. Сетчатка глаза имеет довольно сложное строение. Основными чувствительными элементами являются нервные клетки, называемые палочки и колбочки. В них свет превращается в электрические импульсы и по волокнам зрительного нерва попадают в мозг. Число колбочек в глазу ~7 миллионов, а палочек ~130 миллионов. Концентрация колбочек увеличивается к центру сетчатки, а палочек больше на периферии. Палочки обладают большей чувствительностью, но не различают цвета! В сумерках работают только палочки и мы перестаём видеть цвет. Колбочки же способны различать цвета! Глазу присущи аберрации обычных оптических систем, однако от геометрических и хроматических аберраций глаз практически избавлен, за счёт переменного показателя преломления хрусталика и сферической формы сетчатки. Кроме того, но это до сих пор недостаточно изучено, коррекция изображения происходит ещё и в мозгу.

Чувствительность глаза к излучению разных длин волн характеризуется кривой видности . Кривая видности среднего нормального глаза при дневном освещении утверждена Международной осветительной комиссией. Она имеет максимум в жёлто-зелёной части спектра ~555 нм, условно принимаемый за единицу. При 400 нм видность уменьшается в ~2500 раз!, а при 760 нм в ~20000 раз! Вот в каком огромном диапазоне меняется чувствительность глаза.

Можно написать формулу для глаза по аналогии с тонкой линзой. где f - переднее фокусное расстояние хрусталика, a - расстояние до предмета, b - расстояние от хрусталика до сетчатки. Причём, фокусное расстояние глаза может меняться за счёт изменения кривизны хрусталика, делая резким изображение предметов. Этот процесс называется аккомодацией глаза.

5 .2. Лупа .

Лупа представляет собой короткофокусную собирательную линзу. Предмет помещают между фокусным расстоянием и лупой, в результате чего получают мнимое прямое увеличенное изображение.

Если мнимое изображение предмета будет располагаться на расстоянии 25 см от глаза (расстояние ясного видения), то увеличение, даваемое лупой будет: N = 25/f , где f - фокусное расстояние лупы (в см). Лупа не может дать увеличение более чем в 30-40 раз.

5 .3 . Микроскоп.

Микроскоп, как и лупа, служит для рассматривания близких, но очень мелких предметов, требующих значительного увеличения. Поэтому, в отличие от лупы, микроскоп состоит из двух систем линз - объектива и окуляра, расстояние между которыми можно изменять, варьируя длину тубуса. Рассматриваемый предмет помещают на расстояние, несколько превышающее фокусное расстояние объектива –f . Изменяя длину тубуса, получают действительное изображение предмета, увеличенное в l /f раз. Это линейно увеличенное изображение рассматривают в окуляр, как в лупу. Таким образом, увеличение микроскопа можно записать как: , где l - длина тубуса, f - фокусное расстояние объектива, f_o -фокусное расстояние окуляра. Микроскоп может обеспечить увеличение до 2000-2500 раз. Предел увеличения микроскопа определяется волновыми свойствами света.

5 .4. Зрительная труба. Телескоп .

Зрительная труба (телескоп) применяется для рассматривания деталей удалённого предмета. Она, как и микроскоп состоит из объектива и окуляра. Действительное уменьшенное и перевёрнутое изображение отдалённого предмета, даваемое объективом, рассматривается в окуляр, как в лупу.

ТЕМА 2 : Интерференция света.

§ 7. Когерентность и монохроматичность световых волн.

Интерференция света – это первое явление, из тех, что мы будем рассматривать, когда нарушается один из законов геометрической оптики, в данном случае – закон независимости световых пучков.

Необходимым условием интерференции световых волн является их когерентность , то есть согласованное протекание во времени и пространстве двух и более колебательных (волновых) процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной и той же, строго постоянной частоты. Поскольку ни один реальный источник не даёт строго монохроматического излучения, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, исключая лазеры, всегда некогерентны. Поэтому мы не наблюдаем интерференции света, например, от двух электрических лампочек. Всё дело в том, что в двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. Процесс излучения длится очень короткое время (~10^-8 с). За это время возбуждённый атом возвращается в нормальное (равновесное) состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись снова, атом начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Таким образом, волны испускаемые атомом, а точнее его электронной оболочкой, только в течение ~10^-8 с имеют постоянные амплитуду и фазу колебаний. Вот эта сбрасываемая одномоментно энергия возбуждённого атома, а точнее электрона, в виде электромагнитной световой волны называется волновым цугом .

~ 3 м (~10^-8 с)

Волновой цуг.

Средняя продолжительность одного цуга называется временем когерентности . За это время волна распространится в вакууме на расстояние l _ког. = c ×t = 3×10⁸ м/с × 10^-8 с = 3 м, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Таким образом, длина когерентности – это расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источника света. Когерентность колебаний, которые совершаются одновременно в одной и той же точке пространства, в течение некоторого времени, называется временной когерентностью . Два источника, которые позволяют наблюдать интерференцию в определённой области пространства, называются пространственно-когерентными. Радиусом когерентности называется максимальное перпендикулярное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Можно записать r _{ког .} ~ l/j, где l - длина волны света, j - угловой размер источника. Так, минимально возможный радиус когерентности для солнечных лучей при угловом размере Солнца на Земле ~10^-2 рад и средней длине видимого света ~0.5 мкм – составляет ~0.5 мкм/10^-2 рад = 50 мкм = 0.05 мм. Трудно наблюдать интерференцию в этих условиях, поскольку разрешающая способность человеческого глаза не более 0.1 мм.

§ 8 . Интерференция света .

Предположим, что две монохроматические световые волны (бесконечно протяжённые в пространстве, сохраняющие одинаковые амплитуду и частоту), накладываясь, друг на друга, возбуждают в определённой точке пространства колебания одинакового направления. Под одинаковым направлением будем понимать одинаковое направление электрических векторов электромагнитной волны. Векторы Eи Hколеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Уравнения двух волн запишем в виде: x₁ = A₁ cos(wt+j₁ ) и Þx₂ = A₂ cos(wt+j₂ ). Под x_i будем понимать напряжённость электрического поля электромагнитной волны. Сложим эти волны, тогда получим: x = x₁ + x₂ = A₁ cos(wt+j₁ ) + A₂ cos(wt+j₂ ). Сначала упростим задачу – пусть A₁ = A₂ = A, тогда Þx = A[cos(wt+j₁ ) + cos(wt+j₂ )]. Из тригонометрии известно, что cos a + cos b = 2 cos [( a + b )/2] × cos [( a - b )/2]. И поэтому, Þx = 2Acos[(wt+wt+j₁ +j₂ )/2]×cos[(j₁ -j₂ )/2] = Þ = 2Acos[wt+(j₁ +j₂ )/2]×cos[(j₁ -j₂ )/2. Если иметь в виду, что x =A_r cos(wt+j_r ), то A_r = 2Acos[(j₁ -j₂ )/2], а j_r = (j₁ +j₂ ).

Теперь найдём, чему равна интенсивность суммарной световой волны, учитывая, что I ~ A² . Будем искать интенсивность в общем виде, когда A₁ ¹A₂ . Для вывода представим выражение для волны x = Acos(wt+j) в комплексном виде, причём учитывать будем только действительную часть, поскольку x является действительным числом. Запишем x = A₁ e^{i ( w t + j 1)} + A₂ e^{i ( w t + j 2)} = (A₁ e^{i j 1} + A₂ e^{i j 2} )e^{i w t} , или A₁ e^{i j 1} + A₂ e^{i j 2} = A_r e^{i j r} . Чтобы найти квадрат амплитуды, умножим и левую и правую часть предыдущего выражения на комплексно сопряжённые величины. A_r e^{i j r} ×A_r e^{-i j r} = (A₁ e^{i j 1} + A₂ e^{i j 2} )×(A₁ e^{-i j 1} + A₂ e^{-i j 2} ). ИлиA_r ² = A₁ ² + A₂ ² + A₁ A₂ [e^{i( j 1- j 2)} + e^{i( j 2- j 1)} ]. Нопосколькуe^{i q} + e^{-i q} = cos q + i sin q +cos q - i sin q = 2cos q , товнашемслучае A_r ² = A₁ ² + A₂ ² + 2A₁ A₂ cos(j₂ -j₁ ) – этоиестьквадратамплитудырезультирующегоколебанияилиинтенсивность. Это выражение можно записать иначе: I = I₁ + I₂ + 2cos (j₂ -j₁ ). Так как волны когерентны, то cos ( j ₂ - j ₁ ) имеет постоянное значение во времени , но своё в каждой точке пространства. В тех точках, где cos(j₂ -j₁ ) > 0, интенсивность I > (I₁ +I₂ ), а где cos(j₂ -j₁ ) < 0, I < (I₁ +I₂ ). Видно, что при наложении двух или нескольких когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление и называется интерференцией света .

Для некогерентных волн разность j₂ -j₁ непрерывно меняется, поэтому среднее во времени значение cos(j₂ -j₁ ) = 0, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и равна – (I₁ + I₂ ). При I₁ = I₂ = Io, интенсивность результирующей волны равна 2Io.

Для когерентных волн при cos(j₂ -j₁ ) = 1 (максимум ), I_r = 4 Io , а при cos(j2-j1) = -1 (минимум ), I_r = 0 .

Каким же образом можно создать условия для возникновения, а следовательно и наблюдения, интерференции? Такие условия возникают, если свет, излучаемый одним источником, разделяют на две части, которые после прохождения своих оптических путей накладываются друг на друга. При этом наблюдается интерференционная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определённой точке О. От точки О свет распространяется по двум различным путям. Пусть до точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна прошла путь s ₁ в среде с показателем преломления n ₁ , а вторая прошла путь s ₂ в среде с показателем преломления n ₂ . Тогда, если в точке О фаза колебаний равна w t , то в точке М у одной из волн фаза будет - w (t – s ₁ /v ₁ ), а у второй волны - w (t – s ₂ /v ₂ ). Соответственно, сами волны будет иметь вид: A ₁ cosw (t – s ₁ /v ₁ ) и A ₂ cosw (t – s ₂ /v ₂ ), где v ₁ = c /n ₁ и v ₂ = c /n ₂ – фазовые скорости первой и второй волн в различных средах. Разность фаз колебаний, возбуждаемых данными волнами в точке М, будет равна: d = [w (t – s ₁ /v ₁ ) - w (t – s ₂ /v ₂ )] = w (s ₂ /v ₂ – s ₁ /v ₁ ). Если учесть, что w / c = (2 p / T ):( l _o / T ) , а v_i = c / n_i , то d = 2p/l _o (s ₂ n ₂ – s ₁ n ₁ ) = 2p/l _o (L ₂ – L ₁ ) = = 2p / l _o D (l _o – длина волны в вакууме).

Произведение геометрической длины пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды (L_i = s_i n_i ) называется оптической длиной пути, а D = s ₂ n ₂ – s ₁ n ₁ = L ₂ – L ₁ (разность длин оптических путей) – называется оптической разностью хода. Понятно, что если всё происходит в вакууме (или в воздухе), то n_i = 1 и, тогда D = s ₂ – s ₁ .

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн - D = ±m l (m = 0,1,2,3,…), то разность фаз d = (2p/l)×D = (2p/l)ml = 2 p m , и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Это условие интерференционного максимума . Если оптическая разность хода равна целому числу длин полуволн - D = ±(2m + 1)×(l /2) (m = 0,1,2,3,…), то разность фаз d = ±(2m +1)p , и колебания, возбуждаемые в точке М, будут происходить в противофазе. Это условие интерференционного минимума .

Для наблюдения интерференции света существует целый ряд методов. Вот некоторые из них:

1) Метод Юнга . Источником света служит ярко освещённая щель S , от которой световая волна падает на две другие узкие щели S ₁ и S ₂ , параллельные щели S . Таким образом, щели S ₁ и S ₂ играют роль когерентных источников. Интерференционная картина наблюдается на экране BC, расположенном параллельно S ₁ и S ₂ (это параллельные полосы).

B
		S1
			S
		S2
			C

2) Зеркала Френеля. Свет от источника S падает расходящимся пучком на два плоских зеркала А₁ О и А₂ О, расположенных относительно друг друга под углом близким к 180°. Отразившись от зеркал, свет попадает на экран AB. Поскольку будет возникать разность хода при распространении света от этих зеркал, то на экране будет наблюдаться интерференционная картина.

	A
	B

РАСЧЁТ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЩЕЛЕЙ .

Пусть щели S ₁ и S ₂ находятся друг от друга на расстоянии d и являются когерентными источниками. Интерференцию будем наблюдать на экране, расположенном на расстоянии l от щелей (l > d ). Начало отсчёта выберем в точке О, симметрично расположенной относительно щелей. Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии x от О, определяется оптической разностью хода D = s ₂ – s ₁ . Из рисунка видно, что s ₂ ² = l ² + (x + d /2)² ; s ₁ ² = l ² + (x – d /2)² , откуда s ₂ ² – s ₁ ² = 2 xd или D = s ₂ – s ₁ = 2 xd /(s ₁ + s ₂ ). Из условия l >>dследует, что s ₁ + s ₂ » 2l , поэтому D = xd /l . Подставив найденное

значение D в условия для максимумов и минимумов интенсивности света получим, что x_max = ±m (m = 0,1,2,3,…), а x_min = ±(m + ½) (m = 0,1,2,3,…). Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), называемое шириной интерференционной полосы , равно D x = (l /d )l . Видно, что D x не зависит от порядка интерференции, то есть, от величины m . Ширина интерференционной полосы обратно пропорциональна расстоянию между щелями, прямо пропорциональна длине волны света и прямо пропорциональна расстоянию от щелей до экрана. При большом расстоянии между щелями, например, d»l, отдельные полосы становятся вообще неразличимы. Для видимого света, когда l » 10^-7 м = 0.0001 мм = D x , глазне различитполосы, поскольку разрешающая способность глаза не более 0.1 мм).

Таким образом, интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света (в виде узких щелей), представляет собой чередование светлых и тёмных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку О. Вверх и вниз от него на равных расстояниях располагаются максимумы и минимумы первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Кольца Ньютона . Кольца Ньютона наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластиной и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис.5). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней, а частично от нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении друг на друга они дают интерференционную картину в виде концентрических кругов

Рис.5. Оптическая схема получения колец Ньютона.

одинаковой толщины. Оптическая разность хода (с учётом потери полуволны при отражении): D = s ₂ n ₂ - s ₁ n ₁ = s ₂ - s ₁ = 2d + l _o /2, где d - ширина зазора, показатель преломления воздуха n = 1, а i = 0. Поскольку R ² = (R - d )² + r ² , где R - радиус кривизны, r - радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d и, учитывая, что d мало и d ² ~ 0, получим d = r ² /(2R ). Следовательно, D = r ² /R + l _o /2. Приравнивая, полученное выражение D к условиям для максимума и минимума, получим выражения для радиусов m -го светлого и для m -го тёмного кольца, соответственно:

r_m = - светлое (m = 1,2,3,…); r_m = - тёмное (m = 1,2,3,…).

Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от длины волны l _о .

§ 9 . Интерферометры. Практическое применение интерференции.

1. Интерферометр Майкельсона

схему:

	Неподвижное зеркало

Источник света	2
			M2

Рис.6. Схема интерферометра Майкельсона

Монохроматический свет падает на полупрозрачное зеркало M_s . Половина интенсивности светового пучка направляется к неподвижному зеркалу M₂ и отражается обратно. Другая половина интенсивности отражается от зеркала M_s , падает на подвижное зеркало M₁ (которое может перемещаться вверх-вниз) и отражается от него. Отражённый пучок 1 проходит через M_s и попадает в глаз наблюдателя. Часть пучка 2 отражается от зеркала M_s и также попадает в глаз наблюдателя. Обычно на пути пучка 2 помещают компенсатор C в виде пластины из прозрачного стекла (его изготавливают из той же стеклянной пластины, что и зеркало M_s ), чтобы оба пучка проходили с точностью до долей длины волны слой стекла одинаковой толщины. Если оба пути одинаковы, то будет происходить усиление интенсивности света, и наблюдатель увидит свет. Если же подвижное зеркало M₁ отодвинуть на расстояние l /4 , то пучок 1 будет проходить дополнительное расстояние, равное l /2 (расстояние l/4 он пройдёт туда и обратно), и будет происходить ослабление интенсивности - в этом случае наблюдатель увидит темноту. Если зеркало M₁ продолжать перемещать в том же направлении, то вновь появится свет, потом темнота и т.д.

Интерферометр Майкельсона позволяет проводить очень точные измерения длин волн. Действительно, при перемещении зеркала M₁ всего лишь на l /4 происходит ясно различимый переход от освещённости к затемнению. Для l = 400 нм это соответствует точности в 100 нм, или 0.1 мкм. Ещё большей точности можно достичь, наблюдая чередование полос в случае непараллельных зеркал.

2. Микроинтерферометр Линника

Для контроля за чистотой обработки металлических поверхностей высокого класса В.П. Линник разработал микроинтерферометр, представляющий комбинацию интерферометра Майкельсона и микроскопа. Свет от источника S падает на разделяющий кубик, склеенный из двух призмочек. Гипотенузная грань одной из призмочек посеребрена так, что частично пропускает, а частично отражает падающие на неё лучи света. Прошедший пучок попадает на зеркало Z , отражается обратно к кубику и, отразившись от полупрозрачной грани, идёт в микроскоп M. Второй луч, отразившись от полупрозрачной грани, падает на исследуемую поверхность и, отразившись от последней, проходит через кубик в микроскоп M, интерферируя с первым лучом. Зеркало Z наклонено под небольшим углом относительно грани кубика так, что разность хода обоих лучей вдоль поля зрения микроскопа линейно возрастает. Благодаря этому при идеальной гладкости испытуемой поверхности в поле зрения микроскопа будут видны светлые и тёмные интерференционные полосы равной толщины. Если же на испытуемой поверхности есть неровности, то в этих местах изменяется ход второго луча и интерференционные полосы соответственно сдвигаются, как показано на рисунке. Данный метод позволяет оценить чистоту обработки поверхности с точностью до 0.1 l или ~0.05 мкм.

Рис.7.Оптическая схема микроинтерферометра Линника

Итак, практические применения интерференции связаны :

- с измерением длины волны монохроматического светового пучка (например, с помощью интерферометра Майкельсона выразили эталонный метр через длину волны, излучаемую атомом криптона-86);

- при помощи микроинтерферометра Линника можно контролировать чистоту обработки металлических и других гладких поверхностей;

- "просветление оптики" в фотообъективах.

Тема 3 : Дифракция света

§ 1 0 . Дифракция света. Виды дифракции.

Под дифракцией понимают огибание волнами препятствий, в том числе и электромагнитными. Это ещё одно явление, которое противоречит законам геометрической оптики, а именно закону прямолинейного распространения света. То есть, свет имеет более сложное поведение, чем его описание, даваемое геометрической оптикой.

Рассмотрим дифракцию монохроматического света на одной щели. Предположим, что параллельные лучи света падают на щель шириной d . Если экран расположен бесконечно далеко от щели или за щелью находится линза, направляющая на экран пучок параллельных лучей, то наблюдается дифракция Фраунгофера . Если экран расположен вблизи щели, а линзы для фокусировки лучей не используются, то будем наблюдать дифракцию Френеля .

1. Дифракция Фраунгофера на одной щели (дифракция в параллельных лучах).

А ) Лучи света, попадающие на удалённый экран будут практически параллельными. Рассмотрим сначала свет, падающий по нормали к плоскости щели. Все лучи находятся в одной и той же фазе , поэтому в центре экрана возникает светлое пятно. Если q = 0, то светлое пятно .

B ) Теперь рассмотрим лучи, идущие под углом q ¹ 0, таким, что луч из верхнего края щели проходит ровно на одну длину волны больше, чем луч от нижнего края. Соответственно, луч от центра щели проходит путь, который на половину длины волны больше пути луча от нижнего края щели. Эти лучи оказываются в противофазе и, интерферируя гасят друг друга. Аналогично луч из точки щели, расположенной чуть выше нижнего края щели, гасит луч из точки, расположенной на таком же расстоянии над центром щели. Таким образом, каждый луч из нижней половины щели гасит соответствующий луч, проходящий через её верхнюю половину. Интерферируя попарно, все лучи гасят друг друга; поэтому на экране под данным углом света не будет. Угол q , при котором происходит гашение света, удовлетворяет соотношению: l = D ×sinq , откуда sinq = l /D (первый минимум ).

Вообще, надо сказать, дифракция и интерференция проявляются одновременно и разделить эти явления просто невозможно .

Итак, интенсивность света максимальна при q = 0° и убывает до минимума (с интенсивностью равной нулю) при угле q = arcsin (l / D ).

C ) Теперь рассмотрим ситуацию, когда свет падает под большим углом q , причём таким, что луч из верхнего края щели проходит путь на 3/2 l больше, чем луч из нижнего края щели. В этом случае лучи из нижней трети щели, попарно интерферируют и гасят лучи из средней трети, так как в каждой паре лучи оказываются в противофазе. Но свет из верхней трети щели достигает экрана, поскольку для этих лучей не оказывается гасящих, и под данным углом q на экране возникает снова светлое пятно, но не столь яркое, как центральное пятно (q = 0°). И так далее, при росте угла q на экране будут появляться то светлая, то тёмная полоса. Причём, условие минимума (темноты) будет: sinq = (m = 1,2,3, ..). При m = 0 возникает наибольший (центральный) максимум. Таким образом, при дифракции Фраунгофера на одной щели максимумы света на экране будут при углах q = 0°, arcsin(3/2 l/D), arcsin(5/2 l/D), и т.д., а минимумы: при q = arcsin(l/D), arcsin(2 l/D), arcsin(3 l/D), и т.д.

Пример : Свет с длиной волны 750 нм проходит через щель шириной 1.0 × 10^-3 мм. Какова ширина центрального максимума a ) в градусах и b ) в сантиметрах на экране, находящемся на расстоянии 20 см от щели ?

Решение : a) Первый минимум расположен при sinq = l/D = = 7.5×10-7 /1×10-6 = 0.75, т.е. q=49°. Это угол между центральным максимумом и первым минимумом. Угол, под которым виден весь центральный максимум (от первого минимума сверху до первого минимума снизу) составляет 98°.b) Ширина центрального максимума равна 2x, где tgq = x/20; поэтому 2x = 2×20(см)×tg49° = 46 (см). Чем меньше будет размер щели (D) тем сильнее будет центральный максимум.

2. Дифракция Фраунгофера на двух щелях (дифракция в параллельных лучах).

По сути дела, две щели могут быть получены путём перемещения одной щели параллельно самой себе. При этом никаких изменений в дифракционной картине вроде бы не должно наблюдаться, по сравнению с дифракцией на одной щели, поскольку главным и определяющим дифракционную картину является разность хода и направление распространения света.

Рассмотрим подробнее. Если в непрозрачной преграде проделаны две идентичные параллельные щели, то они должны дать одинаковые накладывающиеся друг на друга дифракционные картины, вследствие чего максимумы усилятся. Однако в действительности картина окажется сложнее, так как необходимо учесть взаимную интерференцию волн, идущих от соответственных точек первой и второй щелей. Предположим, что мы прорезали в непрозрачной перегородке КК две щели шириной b , разделённые промежутком a , так что a + b = d . Те минимумы, которые получались от одной щели, останутся и здесь, поскольку, если под данным углом свет от одной щели до экрана не доходит из-за интерференции, то и от двух тоже не дойдёт. Кроме того, возможны дополнительные направления, по которым световые волны, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются. Это будут направления с разностью хода 1/2l, 3/2l,…, для соответственных лучей, исходящих от обеих щелей. Эти направления определяются из

n
			N

Те минимумы, которые получались от одной щели, останутся и здесь, поскольку, если под данным углом свет от одной щели до экрана не доходит из-за интерференции, то и от двух тоже не дойдёт. Кроме того, возможны дополнительные направления, по которым световые волны, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются. Это будут направления с разностью хода 1/2l, 3/2l,…, для соответственных лучей, исходящих от обеих щелей. Эти направления определяются из соотношения d ×sinq = 1/2l , 3/2l , 5/2l ,…(видно из рисунка). Это условие для минимумов интенсивности света на экране. Для максимумов будут следующие условия: d × sinq = l , 2l , 3l ,…Таким образом полная дифракционная картина для двух одинаковых щелей будет следующая:

прежние минимумы (соответствующие одной щели) - b ×sinq = l , 2l ,…

добавочные минимумы (присущие двум щелям) - d ×sinq = 1/2l , 3/2l ,…

главные максимумы - d ×sinq = 0, l , 2l ,…

Между двумя главными максимумами располагается один добавочный минимум.

3. Дифракционная решётка (дифракция в параллельных лучах).

Если представить себе, что вместо двух щелей имеется N щелей, то мы получим оптическое устройство под названием дифракционная решётка. Дифракционные решётки со щелями в непрозрачной перегородке называются прозрачными решётками. Существуют ещё отражательные решётки. Их изготавливают, нанося тонкие штрихи на металлическую или стеклянную поверхность (наносят ~1000 штрихов на 1 мм) , а дифракционную картину образует отражённый свет. Действие этих двух типов решёток очень похожи и мы ограничимся рассмотрением прозрачных решёток. Предположим, что на решётку падают параллельные лучи света. При этом, будем считать, что щели достаточно узкие, так что каждая щель является точечным источником света. Таким образом, лучи света, исходящие от каждой щели будут интерферировать на экране. Лучи, не испытавшие в щелях отклонения (q = 0), создадут светлое пятно в центре. Лучи, идущие под углом q ¹ 0, при котором лучи от соседних щелей обладают разностью хода D = m l (m - целое), снова дадут светлое пятно. Условие D l = d sinq = m l является условием максимума интенсивности, где d - расстояние между щелями (или период решётки). Между дифракционными картинами от двух щелей и от множества, как у дифракционной решётки, имеется существенное различие. В случае дифракционной решётки, максимумы оказываются гораздо более узкими и резкими. Объяснить это можно следующим образом. Предположим, что угол q несколько превышает угол, отвечающий максимуму. В случае двух щелей соответствующие волны лишь слегка разойдутся по фазе, и между ними почти полностью сохранится усиливающая интерференция. Поэтому в картине, возникающей при дифракции на двух щелях, максимумы имеют большую. Пусть в случае дифракционной решётки разность фаз волн, исходящих от двух соседних щелей, также будет незначительна. Но волна из одной щели обязательно окажется в противофазе с волной из другой щели, отстоящей от первой на несколько сотен периодов решётки, и их взаимная интерференция погасит весь свет. Если угол q отличается от угла, соответствующего максимуму первого порядка, то разность хода будет равна 1.001 l . Волна, исходящая от первой щели, будет сдвинута по фазе относительно волны, испущенной от 500 щели по отношению к первой, на 1.500 l , или точно на 1 длины волны, и, следовательно, эти волны полностью гасят друг друга. Но гасящая интерференция происходит и между волнами из пар щелей, сдвинутых на одну щель относительно рассмотренной нами пары. Поэтому, максимум должен быть очень узким.

§ 11 . Дифракция Френеля

1. Прямолинейное распространение света.

Свет распространяется прямолинейно, если нет преград в виде непрозрачных перегородок или, если ему не приходится распространяться сквозь малое отверстие. Факт прямолинейного распространения света можно доказать, пользуясь принципом Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S , может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых псевдоисточниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S . Обычно в качестве такой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все псевдоисточники действуют синфазно.

Найдём в произвольной точке M амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S . Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых псевдоисточников, расположенных на вспомогательной поверхности F , являющейся поверхностью фронта волны, исходящей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность F на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краёв зоны до точки M отличались на l /2, т.е. P₁ M - P_o M = P₂ M - P₁ M = P₃ M - P₂ M =…= l /2. Подобное разбиение фронта волны можно выполнить, проведя сферические поверхности с центром в точке M . Радиусы этих вспомогательных поверхностей будут: b + , b + 2, b + 3, …. Так как колебания от соседних зон проходят до точки M расстояния, отличающиеся на l /2, то в точку M они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно уничтожать друг друга. С достаточной степенью точности можно считать, что амплитуда колебания A_m от зоны Френеля m будет равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон - (m - 1 ) и (m + 1 ). Тоесть, A_m = (A_m-1 + A_m+1 )/2. Мы можем записать, что A = A₁ - A₂ + A₃ - A₄ + … = A₁ /2 + (A₁ /2 - A₂ + A₃ /2) + (A₃ /2 - A₄ + A₅ /2) +… = A1/2, поскольку все выражения в скобках будут равны нулю. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке M определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, распространение света от Sк Mпроисходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, то есть прямолинейно. Иначе говоря, если соединить прямой линией точечный источник света и произвольную точку M, то можно утверждать, что свет и будет распространяться вдоль этой прямой. Для того, чтобы более детально понять распространение света, используя для этого принцип Гюйгенса-Френеля, рассмотрим дифракцию на круглом отверстии и на небольшом диске .

2. Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Представим себе, что сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S , встречает на своём пути непрозрачную перегородку с круглым отверстием. Дифракционную картину можно наблюдать на экране, который параллелен плоскости перегородки и находится от неё на расстоянииb . Разобьём открытую часть волновой поверхности F на зоны Френеля. Если в отверстии помещается нечётное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность света) в точке B будет больше, чем при свободном распространении волны; если чётное, то амплитуда будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке B амплитуда А = А₁ , т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачной перегородки с отверстием. Интенсивность же света больше в четыре раза! Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действие в точке B практически уничтожат друг друга вследствие интерференции. Таким образом, дифракционная картина от небольшого круглого отверстия вблизи точки B будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых колец с центром в точке В . Причём, если m - чётное (число зон Френеля, поместившихся в отверстии), то в центре будет тёмное пятно , а если m - нечётное , то светлое пятно .

3. Дифракция Френеля на диске.

Предположим, что сферическая волна встречает на своём пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране. От источника S проводим прямую линию, проходящую через центр диска и соединяющую S и точку В на экране. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта необходимо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краёв диска. Пусть диск закрывает mпервых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна:

A = A_m+1 - A_m+2 + A_m+3 - A_m+4 … = A_m+1 /2 + (A_m+1 /2 - A_m+2 + A_m+3 /2) + … илиA = A_m+1 /2 , таккаквыражения, стоящиевскобкахравнынулю. Следовательно, в точке В всегда (!) наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружён концентрическими тёмными и светлыми кольцами. Интенсивность света убывает от центра к краям. Если увеличивать размер диска, то пятно в центре будет уменьшаться и совсем исчезнет (станет неразличимым).

§ 12 . Спираль Корню.

1. Сначала рассмотрим распределение интенсивности в дифракционной картине от одной щели. Причём рассмотрение это будем проводить при помощи фазовых диаграмм . Разделим щель на N очень узких полос, которые будут являться псевдоисточниками световых волн. Пусть ширина полос D y гораздо меньше длины волны монохроматического света, падающего на щель. Разность фаз для соседних полос:

D b = , разность хода составляет в данном случае D y ×sinq .

Полная амплитуда на экране, отвечающая произвольному углу q , равна сумме волн из всех полос D y ; все элементарные волны имеют одинаковую амплитудуe_o , но различаются по фазе. Чтобы получить полную амплитуду воспользуемся фазовой диаграммой. В центре экрана, когда Db = 0, поскольку sinq = 0, все волны оказываются в одной фазе, поэтому стрелки (векторы), соответствующие амплитудам е_о , выстраиваются в прямую линию:

их сумма и будет общей амплитудой при q = 0, E = N ×e_o . Пусть угол q не будет равен нулю, но будет небольшим. Тогда фазовая диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Каждая элементарная волна, в данном случае, отличается от соседней на D b . Соответственно, разность фаз волн от верхнего и нижнего краёв щели будет:

b = N ×D b = 2p/l ×N ×D y ×sinq = 2p/l ×D ×sinq , где D = N ×D y - полная ширина щели. Хотя дуга имеет длину N ×e_o = E_o , амплитуда же представляет собой векторную сумму амплитуд элементарных волн и, поэтому равна хорде. Понятно, что E _q < E_o . Если мы будем увеличивать угол q, то мы рано или поздно приходим к случаю, когда элементарные векторы, соответствующие волнам, исходящим от полос Dy, при сложении образуют замкнутую окружность и, следовательно, сумма их будет равна нулю! Это соответствует первому минимуму. D b ×N = 2p = N (2p/l ×D y ×sinq ) или 1 = (N /l )×D y ×sinq , или sinq = l /D .(условие первого минимума). При ещё больших углах q цепочка стрелок ещё больше закручивается на угол, превышающий 360°.

2. Пусть на пути световой волны расположена полуплоскость с прямолинейным краем. Пусть на расстоянии b за полуплоскостью расположен параллельный ей экран. Вблизи края полуплоскости опустим перпендикуляр на экран, в точку P . Разобьём волновую поверхность вблизи края полуплоскости на зоны, которые будут иметь вид очень узких прямоугольных полос, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы расстояния от точки P до краёв любой зоны отличались на одинаковую величину D . При этом условии колебания, создаваемые в точке P соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зонам, расположенным справа от точки P , припишем номера 1,2,3 и т.д. (m ), а расположенным слева - номера 1',2',3', и т.д. (m ' ). Зоны с номерами m и m ' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки P симметрично. Поэтому создаваемые ими в P колебания совпадают по амплитуде и по фазе. Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны m , оценим площади зон. Из рис. видно, что суммарная ширина первых mзон равна:

d ₁ + d ₂ + d ₃ +…+ d_m =

Поскольку D <<b , то квадратичным членом под корнем можно пренебречь и тогда:

d ₁ + d ₂ + d ₃ +…+ d_m =

Если m = 1, то d ₁ = Следовательно, d ₁ + d ₂ + …+ d_m = d ₁ Отсюда d_m = d ₁ (). Расчёт по этой формуле даёт, что

d ₁ : d ₂ : d ₃ : d ₄ … = 1:0.41:0.32:0.27:…В таких же соотношениях находятся и площади зон. Отсюда следует, что амплитуда колебаний, создаваемых в точке P отдельными зонами, вначале убывает быстро, а затем это убывание становится медленным. И если рисовать фазовые диаграммы, то вначале нужно провести относительно длинный вектор, следующий короче, следующий ещё короче. При этом, разумеется, нужно их проводить под углом друг к другу, поскольку меняется фаза колебаний. Получается что-то похожее на спираль. Если учитывать зоны справа от точки P , то спираль будет идти вправо вверх; если же учесть зоны слева от точки P , то получим спираль, идущую влево вниз, симметрично первой. Если ширину зон устремить к нулю, то получим плавную кривую, которая называется спиралью Корню (рис…).

Спираль Корню даёт возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Или, иначе говоря, помогает найти дифракционную картину, полученную от края полуплоскости. Мы будем считать, что положение точки на экране определяется координатой x, отсчитываемой от границы геометрической тени. Для точкиP , которую мы передвинем к границе геометрической тени (x = 0), все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точке O , а конец в точке F ₁ . При смещении точки P в область геометрической тени полуплоскость закрывает всё большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении точки (полюса) F ₁ . При всё большем смещении точки P в область тени амплитуда колебаний в ней стремится к нулю. И, наоборот, если точка P смещается от границы геометрической тени вправо, то в дополнение к нештрихованным зонам открывается всё возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении полюса F ₂ . При этом амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен отрезку MF ₁ ) и минимумов (первый из них равен отрезку NF ₁ ). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка F ₂ F ₁ , т.е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени. Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивности I_o , получающейся на экране в отсутствие преград. Зависимость интенсивности света I от координаты xдана на рис…. Из рисунка видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность света меняется не скачком и не периодически, а плавно стремится к нулю!

Между прочим, дифракцию от щели тоже можно описывать при помощи спирали Корню, поскольку щель - это не что иное как две полуплоскости, близко придвинутые друг к другу.

ТЕМА 4 : Поляризация света .

§ 13 . Плоскополяризованный свет, свет, поляризованный по кругу и эллипсу .

В этой лекции мы будем рассматривать круг явлений, связанных с векторным характером электрического поля световой волны. Поляризация относится к тем явлениям, в которых главную роль играет определённое направление колебаний электрического вектора. Вектор напряжённости электрического поля называют световым вектором . Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому свет, излучаемый телом в целом, характеризуется всевозможными равновероятными колебаниями светового вектора. Такой свет называется естественным.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора упорядочены, называется поляризованным. Свет, в котором световой вектор ориентирован только в одном направлении, называется плоскополяризованным или линейно поляризованным . Плоскость, совпадающая с направлением светового вектора и направлением распространения света, называется плоскостью поляризации . Плоскополяризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света – света, для которого вектор E изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если эллипс вырождается в прямую, то мы имеем дело с плоскополяризованным лучом, а если в окружность, то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу ) светом.

Степенью поляризации называется величина P = где I_max и I_min – соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света. Для естественного или циркулярно поляризованного света I_max = I_min , т.е. P = 0, а для плоскополяризованного I_min = 0, т.е. P = 1.

§ 14 . Способы поляризации света .

1. Поляризаторы . Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя, так называемые поляризаторы, например турмалин . Для этой же цели, в настоящее время, применяют поляроидные плёнки. Эти плёнки состоят из длинных молекул, сориентированных параллельно друг другу. Такая плёнка действует как набор параллельных щелей, почти без потерь пропуская свет одной поляризации (в этом случае ось поляроида параллельна световому вектору) и почти полностью поглощая свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости. Если пучок плоскополяризованного света падает на поляроид , ось которого образует угол q с направлением поляризации, то после поляроида он будет поляризован в плоскости, параллельной оси поляроида, и иметь амплитуду, меньшую в cosq раз. Так как интенсивность света пропорциональна квадрату его амплитуды, то интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор (поляроид), определяется выражением: I = I_o cos² q (закон Малюса ). Поляроид можно использовать в качестве поляризатора для получения плоскополяризованного света. Ещё поляроид можно использовать в качестве анализатора, когда требуется установить: 1) поляризован ли свет и 2) в какой плоскости. Анализатор пропускает одно и то же количество естественного света независимо от ориентации своей оси, но если свет поляризован, то при вращении поляроида интенсивность пропускаемого света будет меняться. Если на пути у пучка естественного света расположить поляризатор, а за ним анализатор, то вращая анализатор относительно поляризатора, будем получать то свет, то темноту. Это и понятно – на выходе из поляризатора свет является плоскополяризованным и, если ось анализатора становится перпендикулярно оси поляризатора, то на выходе будет темнота (анализатор ничего не пропустит).

2. Поляризация при отражении . Получить поляризованный свет из неполяризованного можно при отражении. Когда свет падает на неметаллическую поверхность под любым углом, кроме прямого, отражённый луч оказывается плоскополяризованным параллельно отражающей поверхности. Компонента же света, которая перпендикулярна отражающей поверхности, почти полностью проходит во вторую среду или поглощается. Степень поляризации отражённого луча зависит от угла падения: при нормальном падении свет полностью не поляризован, а при падении под углом, который называется углом Брюстера (или углом полной поляризации ), отражённый свет поляризован на 100%. То есть, он является плоскополяризованным. Угол Брюстера (i_p ) связан с показателями преломления сред по обе стороны границы их раздела (n ₁ и n ₂ ) соотношением: tgi_p = n ₂ /n ₁ , где n ₁ – показатель преломления среды, в которой распространяется луч, а n ₂ –показатель преломления среды, лежащей по другую сторону отражающей границы. Если свет распространялся в воздухе, то n ₁ = 1 и tgi_p = n ₂ = n . Следует отметить, что при падении под углом Брюстера отражённый и преломлённый лучи образуют угол 90 ° (n ₂ = n ₁ tgi_p = n ₁ sini_p /cosi_p и если учесть закон преломления n ₁ sini_p = n ₂ sinr , тогда cosi_p = sinr , которое справедливо только при условии i _p = 90° - r или i_p + r = 90°).

3. Вращение плоскости поляризации . Было обнаружено, что при прохождении плоскополяризованного света через некоторые кристаллы и растворы плоскость поляризации поворачивается на некоторый угол. На рисунке изображено, что свет проходит сначала через поляризатор, затем через раствор сахара. Поляроид-анализатор, помещённый за кюветой с сахарным раствором, не полностью гасит свет, когда его оптическая ось образует с оптической осью поляризатора угол 90°. Однако, если анализатор довернуть на некоторый угол f , то он перестанет пропускать свет. Это свидетельствует о том, что сахарный раствор поворачивает плоскость поляризатора на угол f . Такие вещества называются оптически активными . Оптическая активность обусловлена асимметрией молекул, которые могут иметь форму спиралей, как, например, молекулы белков. Вещества, поворачивающие плоскость поляризации вправо по ходу луча, называются правовращающими . Вещества, поворачивающие плоскость поляризации влево по ходу луча, называются левовращающими . Обычный раствор сахара, например, принадлежит к числу правовращающих веществ. Угол вращения зависит от длины пути l света в веществе и от концентрации с (кг/м³ ), если речь идёт о растворе. Для разбавленных растворов выполняется простое выражение: f = a lc . Постоянная a характеризует свойства вещества и называется удельным вращением (постоянной вращения ) или удельной оптической активностью (a зависит, сама по себе, от температуры и длины волны света). Так как угол вращения f пропорционален концентрации, оптическая активность служит стандартным методом определения концентраций растворов таких веществ как сахар. Оптическая активность также применяется для исследования пространственной структуры больших молекул, например, белков.

Стекло и пластмасса приобретают оптическую активность в деформированном состоянии.Вращение плоскости поляризации максимально в местах с максимальным напряжением.

4. Двойное лучепреломление . Во многих прозрачных средах скорость света одинакова по всем направлениям. Такие среды называются изотропными. Но в некоторых кристаллах и растворах скорость света в различных направлениях неодинакова. Такие кристаллы называются анизотропными. О них говорят ещё как о двоякопреломляющих. В двоякопреломляющих кристаллах, таких, как кальцит, существует выделенное направление, называемое оптической осью кристалла (речь идёт не об отдельной линии, а о направлении в кристалле). Если естественный свет входит в такой кристалл вдоль оптической оси, то ничего аномального при этом не происходит. Но если неполяризованный свет падает на кристалл под углом к оптической оси (рис….), то наблюдается необычное явление – в кристалле возникают два преломлённых луча. На рисунке видно, что исходный луч света падает по нормали к поверхности, но под углом к оптической оси кристалла. Один преломлённый луч, называемый обыкновенным лучом (о ), проходит сквозь кристалл обычным образом и выходит с обратной стороны по прямой. Другой луч, называемый необыкновенным лучом (е ), преломляется, отклоняясь от прямой на некоторый угол. Закон преломления для обыкновенного луча выполняется, а для необыкновенного не выполняется. Лучи о и е плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рисунок, иллюстрирующий двойное лучепреломление в кристалле исландского шпата .

Явление двойного лучепреломления можно объяснить, приняв следующее допущение: скорость света зависит от ориентации вектора поляризации относительно оптической оси кристалла. Обыкновенный луч поляризован перпендикулярно оптической оси, поэтому его скорость одинакова по всем направлениям – поляризация всё равно остаётся перпендикулярной оптической оси кристалла. Для необыкновенного же луча угол между направлением колебаний светового вектора и оптической осью зависит от направления луча, поэтому необыкновенные лучи распространяются по различным направлениям с различными скоростями. Следовательно, показатель преломления n_e необыкновенного луча является переменной величиной, зависящей от направления луча. Представим себе, что внутри кристалла, в точке О имеется точечный источник естественного света. Тогда волновой поверхностью обыкновенных лучей будет сфера, необыкновенных – эллипсоид вращения. Сечением их будут являться - круг и эллипс (рис.).

Рисунок, поясняющий распространение обыкновенного и необыкновенного луча в двулучепреломляющем кристалле (например, турмалине), где ОО’ – оптическая ось .

В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом . Сильным дихроизмом в видимых лучах обладает турмалин. В нём обыкновенный луч поглощается практически полностью на длине 1 мм. Таким образом, на выходе из такого кристалла остаётся только один луч, поляризованный в плоскости, т.е. плоскополяризованный. Это явление используется для изготовления поляроидов.

Другим способом, при помощи которого можно получить поляризованный свет из естественного, является применение специальных призм. Одной из самых распространённых призм такого типа является призма Николя . Призма Николя представляет собой двойную призму из исландского шпата, склеенную вдоль диагонали AB канадским бальзамом с n = 1.55. Оптическая ось ОО’ призмы составляет с входной гранью угол 48 ° . На передней грани призмы естественный луч, параллельный ребру CB , раздваивается на два луча: обыкновенный (n_o = 1.66) и необыкновенный (n_e = 1.51). При соответствующем подборе угла падения, обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение (канадский бальзам является для него средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачернённой боковой поверхностью CB . Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему естественному лучу, незначительно от него смещённым. При соответствующем подборе угла падения, обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение (канадский бальзам является для него средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачернённой боковой поверхностью CB . Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему естественному лучу, незначительно от него смещённым.

ТЕМА 5 : Дисперсия света .

§ 1 5 . Дисперсия света .

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты n (длины волны l ) света. Дисперсию света можно записать в виде соотношения n = f(l ). Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат Ньютону.

Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n под углом a ₁ к грани призмы. После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклонённым от первоначального направления на угол j . Из рисунка следует, что j = (a ₁ - b ₁ ) + (a ₂ - b ₂ ) = a ₁ + a ₂ – А . Предположим, что углы А и a ₁ малы, тогда углы a ₂ , b ₁ и b ₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Тогда будет a ₁ /b ₁ = n , b ₂ /a ₂ = 1/n , а так как b ₁ + b ₂ = А , то a ₂ = b ₂ n = n (A - b ₁ ) = n (A - a ₁ /n ) = nA - a ₁ , откуда a ₁ + a ₂ = nA .

Из данных выражений следует, что j = А (n – 1), т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы. Кроме того из этого выражения вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит и от величины (n – 1), а показатель преломления n– зависит от длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклонёнными на разные углы, т.е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решётки можно разлагать свет в спектр.

Для характеристики дисперсии различных веществ вводится величина: , называемая дисперсией вещества , которая показывает, как быстро изменяется показатель преломления от длины волны.

§ 16 . Электронная теория дисперсии света .

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды равен: , где e - диэлектрическая проницаемость среды, m - магнитная проницаемость. В видимой области спектра для всех веществ m » 1, поэтому . Здесь встречается момент, связанный с особенностями развития науки. По Максвеллу, диэлектрическая проницаемость (e ) является постоянной величиной (это относительная диэлектрическая проницаемость) и, следовательно, показатель преломления (n ), также постоянная величина, однако это не так – есть зависимость показателя преломления от длины волны, например. Кроме того, значения n , полученные из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Данные противоречия преодолела электронная теория Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Рассмотрим несколько подробнее применение электронной теории дисперсии света к однородному диэлектрику. Предположим при этом, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества (из курса электричества это известно) равна: e = 1 + c = 1 + P /(e _o E ), где c - диэлектрическая восприимчивость среды, e _о – абсолютная диэлектрическая проницаемость, Р – мгновенное значение поляризованности. Основное значение здесь имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны.

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны – оптические электроны . Для простоты рассмотрим колебания только одного внешнего электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен p = ex , где е – заряд электрона, x – смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна N_o , то мгновенное значение поляризованности P = N_o p = N_o ex . В результате, сделав соответствующие подстановки, получим: n ² = 1 + N_o ex /(e _o E ). Если посмотреть внимательно на эту формулу, то можно увидеть, что задача сводится к определению смещения x электрона под действием электрического поля E . Поле световой волны можно записать в виде: E = E_o cosw t . Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая (без учёта сил сопротивления) будет иметь вид: где F_o = eE_o – амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, w _о = - собственная частота колебаний электрона, m – масса электрона. Решив уравнение, найдём чему равен n ² = e в зависимости от параметров атома (e , m , w _o ) и частоты колебания внешнего поля (света) -w . Решение задачи можно записать в виде x = A cosw t , где A = . Сделав соответствующие подстановки, получим: n ² = 1 + .

Если в веществе имеются различные заряды e_i , совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами w _oi , то:

n ² = 1 + где m_i - масса i-го заряда.

Из приведенных выражений следует, что показатель преломления n зависит от частоты w внешнего поля, или от длины волны падающего на диэлектрик света. Таким образом, полученные выражения действительно подтверждают явление дисперсии света.

ТЕМА 6 : Поглощение и рассеяние света .

§ 1 7 . Поглощение света .

При прохождении световой волны через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение колебаний электронов. Частично эта энергия после взаимодействия с электронами снова превращается в излучение в виде вторичных волн; частично же она переходит в тепловую энергию вещества. Поэтому интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается - свет поглощается в веществе. Вынужденные колебания электронов, а следовательно, и поглощение света становятся особенно интенсивными при резонансной частоте.

Экспериментально было показано, что интенсивность света при прохождении через вещество убывает по экспоненциальному закону:

I = I_o e^{- a l} ,

где I_o – интенсивность света на входе в поглощающий слой, l – толщина слоя, a - постоянная, зависящая от свойств вещества и длины волны света и называемая коэффициентом поглощения. Данное соотношение известно, как закон Бугера .

Продифференцировав это соотношение по длине l , получим dI = - a l dl . Из данного выражения следует, что убыль интенсивности на пути dl пропорциональна длине этого пути и значению самой интенсивности. Из формулы следует, что при l = 1/a интенсивность I убывает в e раз. Таким образом, коэффициент поглощения есть величина, обратная толщине слоя при прохождении которого интенсивность света убывает в e раз.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны падающего света. У вещества, атомы (или молекулы) которого практически не воздействуют друг на друга (газы, пары металлов), коэффициент поглощения близок к нулю. Только для узких спектральных областей обнаруживаются узкие линии поглощения, которые соответствуют резонансным частотам колебаний электронов. Подобные максимумы наблюдаются и для многоатомных молекул и соответствуют резонансным частотам колебаний отдельных атомов внутри молекулы. Однако интенсивности таких пиков гораздо меньше, чем у электронных, поскольку их массы гораздо больше массы электронов. Если мы будем повышать давление газа, то пики поглощения станут шире, что указывает на взаимодействие атомов друг с другом.

Металлы практически непрозрачны для света (коэффициент поглощения для них имеет значение порядка 10⁶ м^-1 , для сравнения стекло имеет коэффициент поглощения около 1 м^-1 ). Такой большой коэффициент поглощения у металлов обусловлен наличием у них свободных электронов. Практически для каждого фотона находится свободный электрон, которому передаётся энергия, повышая температуру электронного газа и металла в целом.

§ 18 . Рассеяние света .

С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходящий через вещество, вызывает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны возбуждают вторичные волны, распространяющиеся по всем направлениям. Однако, в случае распространения света в однородной среде, вторичные волны гасят друг друга в результате интерференции по всем направлениям кроме направления распространения первичной волны.

Вторичные волны не гасят друг друга только при распространении света в неоднородной среде. Световые волны, дифрагируя на неоднородностях среды, дают дифракционную картину, характеризующуюся довольно равномерным распределением интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию на мелких неоднородностях и называют рассеянием света . Среды с явно выраженной оптической неоднородностью носят название мутных сред. К их числу относятся дымы, туманы, суспензии, эмульсии и т.д.

В результате рассеяния света в боковых направлениях интенсивность в направлении распространения убывает быстрее, чем в случае просто поглощения. Поэтому для мутного вещества наряду с коэффициентом поглощения a, вводят ещё один коэффициент, называемый коэффициентом экстинции . Тогда выражение для интенсивности света, распространяющегося в мутной среде будет следующим: I = I_o e^{-( a + a ’) l} .

Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной световой волны ~0.1l, интенсивность рассеянного света оказывается обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны: I ~ 1/l ⁴ . Эта зависимость носит название закона Рэлея . Если размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны ~l, то интенсивность рассеянного света будет обратно пропорциональна только квадрату длины волны: I ~ 1/l ² .

Даже тщательно очищенные от посторонних примесей и загрязнений жидкости и газы также рассеивают свет, хотя и в меньшей степени. Причиной рассеяния в данном случае являются флуктуации плотности самой жидкости, которые вызваны беспорядочным тепловым движением молекул вещества. Обусловленное этими флуктуациями рассеяние называется молекулярным рассеянием . Молекулярным рассеянием, между прочим, объясняется голубой цвет неба. В атмосфере непрерывно возникают сгущения и разрежения воздуха, которые рассеивают солнечный свет. Поскольку интенсивность рассеяния, в данном случае, обратно пропорциональна квадрату длины волны, то свет с более короткими длинами волн (т.е. голубой, а не красный) рассеивается сильнее и поэтому мы видим голубое, как правило, небо. Однако вечером и утром мы видим не голубую зарю, а красную. Это происходит потому, что когда солнце находится низко над горизонтом, то солнечный свет должен проходить большую толщу воздуха, где поглощается в большей степени коротковолновое излучение, а длинноволновое, т.е. красное – остаётся.

ТЕМА 7 : Квантовая природа излучения .

§ 1 9 . Тепловое излучение .

Всем известно, что тела, нагретые до высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым излучением. Тепловое излучение является самым распространённым в природе и совершается за счёт энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т.е. за счёт его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше абсолютного нуля. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны. При низких температурах излучаются преимущественно длинные (инфракрасные) волны.

Тепловое излучение является равновесным. Предположим, что нагретое тело помещено в полость, ограниченную отражающей оболочкой. С течением времени, в результате непрерывного обмена энергией между телом и излучением, наступит равновесие, т.е. тело будет поглощать столько же энергии сколько и излучать. Пусть равновесие по какой-то причине нарушено, например, тело стало больше излучать энергии, чем поглощать. Температура тела начнёт понижаться до тех пор, пока не установится равновесие.

Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плотность энергетической светимости – мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:

R _{n , T} = , где dW - энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от n до n + dn . Единица спектральной плотности энергетической светимости (R _{n , T} ) – джоуль на метр в квадрате (Дж /м² ).

Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно найти интегральную энергетическую светимость или просто энергетическую светимость тела, просуммировав по всем частотам излучения:

R _T = .

Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью :

A _{n , T} = ,

Показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на неё электромагнитными волнами с частотами от v до v + dv , поглощается телом. Спектральная поглощательная способность – величина безразмерная. Величины R_{v , T} и A_{v , T} зависят от природы тела, его температуры.

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре всё падающее на него излучение любой частоты, называется чёрным или абсолютно чёрным . Следовательно, спектральная поглощательная способность чёрного тела для всех частот и температур тождественно равна единице (А ^ч. _{v , T} º 1). Абсолютно чёрных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, чёрный бархат и т.д. близки к ним. Идеальной моделью чёрного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием - О , внутренняя поверхность которой зачернена. Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, меньшего 0.1 диаметра самой полости, попадающее в отверстие излучение всех частот полностью поглощается.

Наряду с понятием чёрного тела используют понятие серого тела – тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела (шероховатости). Таким образом, для серого тела А ^с _{v , T} = A _T = const<1.

Исследования теплового излучения сыграло важную роль в создании квантовой теории света, и мы рассмотрим законы, которым оно подчиняется.

§ 2 0 . Закон Кирхгофа .

Опираясь на второй закон термодинамики, где речь идёт о невозможности тепловых процессов, при которых теплота переходила бы самопроизвольно от тел более холодных к телам более нагретым, Кирхгоф установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела – оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа ):

Для чёрного тела А ^ч _{v , T} º 1, поэтому из закона Кирхгофа вытекает, R _{v , T} = r _{v , T} . Таким образом, универсальная функция Кирхгофа r _{v , T} есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела . Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела при той же температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела (при одинаковых значениях T и v ), так как A _{v , T} < 1 и поэтому R _{v , T} < r _{v , T} . Кроме того, если тело при данной температуре T не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от v до v + dv , то оно их в этом интервале частот и при температуре T и не излучает, так как при A _{v , T} = 0 и R _{v , T} = 0.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела можно записать в виде:

R _T = .

Для серого тела:

где

R _e = энергетическая светимость чёрного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько характерным для него, что может служить критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым .

§ 21 . Законы излучения чёрного тела (абсолютно чёрного тела).

1. Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина . Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела является универсальной функцией, поэтому, нахождение её явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан, а чуть позже и Л. Больцман решили эту задачу несколько разными методами, но получили одинаковый результат. Они установили зависимость энергетической светимости чёрного тела от температуры. Получился, так называемый, закон Стефана-Больцмана : R _e = s T ⁴ , т.е. энергетическая светимость чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры; s - постоянная Стефана-Больцмана (= 5.67×10^-8 Вт/(м² ×K⁴ ). Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость R_e от температуры, не даёт ответа относительно спектрального состава излучения чёрного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции r (l,T) от длины волны l при различных температурах следует, что распределение энергии в спектре чёрного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r(l,T) от l и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_e чёрного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвёртой степени температуры.

Немецкий физик В.Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны l _max , соответствующей максимуму функции r (l,T) от температуры T . Согласно закону Вина l _max = b /T , т.е. длина волны l _max , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r (l,T) чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, где b – постоянная Вина = 2.9×10^-3 м×К. Данное выражение так и называют – закон смещения Вина, поскольку оно показывает смещение положения максимума функции r(l,T) по мере возрастания температуры. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектрах всё сильнее преобладает длинноволновое излучение.

Из рассмотренных законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r (v,T) не дал желаемых результатов, т.е. зависимость r от частоты (или длины волны) и от температуры не была найдена.

2. Формула Рэлея-Джинса . Следующая попытка теоретического вывода зависимости r (v,T) была предпринята английскими учёными Рэлеем и Джинсом, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Эта формула имеет следующий вид: где kT – есть средняя энергия осциллятора с собственной частотой v.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментом только в области малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея-Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием этой формулы энергетическая светимость чёрного тела стремится к ¥.

R_e =

в то время как по закону Стефана-Больцмана R_e пропорциональна четвёртой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы ». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре чёрного тела.

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела было найдено в 1900 г. великим немецким физиком Максом Планком. Для этого ему пришлось отказаться от положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться только непрерывно, т.е. может принимать сколь угодно близкие значения. Согласно же выдвинутой Планком квантовой гипотезе , атомы излучают энергию не непрерывно, а определёнными порциями – квантами , причём энергия кванта пропорциональна частоте колебания: e _о = hv = hc /l , где h = 6.625×10^-34 Дж×с – постоянная Планка . Так как излучение испускается порциями, то энергия атомного осциллятора e может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e _о : e = nhv (n = 0,1,2,3,…).

Формула Планка, которая блестяще согласуется с экспериментальными данными, имеет следующий вид:

r(v,T) =

Эта формула, ни много ни мало, ознаменовала новую эру в физике. Она описывает распределение энергии в спектрах излучения чёрного тела во всём интервале частот и температур. Впервые Планк изложил теоретический вывод этой формулы в 1900 г. – этот день и стал днём рождения квантовой физики. Всё дело заключается во введении кванта излучения – hv .

Из формулы Планка выводятся все законы теплового излучения:

1) В области малых частот, т.е. при hv<<kT (энергия кванта мала по сравнению с энергией теплового движения), формула Планка совпадает с формулой Рэлея-Джинса. Разложим экспоненту в ряд, ограничившись двумя членами разложения:

e^hv/kT » 1 + e^hv/kT – 1 »

Подставляя последнее выражение в формулу Планка, получим, что

R (v,T) » то есть, получили формулу Рэлея-Джинса .

Из формулы Планка можно вывести и закон Стефана-Больцмана.

R_e =

Введём безразмерную величину x = hv /kT , тогда dx = h dv /kT , и предыдущая формула преобразуется к виду:

R_e =

где s = так как Таким образом, из формулы Планка следует и закон Стефана-Больцмана .

Закон смещения Вина получим также из формулы Планка:

r (l,T) =

откуда

Значение l _max , при котором функция достигает максимума, найдём, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc /(kT l _max ), получим уравнение:

xe^x – 5(e^x – 1) = 0.

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений даёт x = 4.965, откуда Tl _max = h c/(4.965 k ) = b или l _max = b /T , то есть закон Вина .

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h , k и c , можно вычислить постоянные Стефана-Больцмана s и Вина b . С другой стороны, зная экспериментально найденные значения s и b , можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые получено значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментом, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Её решение стало возможно революционной квантовой гипотезе Планка.

ТЕМА 8 : Оптическая пирометрия .

§ 22 . Оптическая пирометрия

Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскалённых и самосветящихся тел (например, звёзд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости тел от температуры, называются методами оптической пирометрии . Приборы же для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную , цветовую и яркостную температуры .

1. Радиационная температура . Радиационная температура – это такая температура чёрного тела, при которой его энергетическая светимость R_e равна энергетической светимости R_T исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана-Больцмана вычисляется его радиационная температура: T_p =

Радиационная температура T_p тела всегда меньше его истинной температуры T . Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя предыдущие выражения, можно записать R A_T R_e = A_T s T⁴ .

С другой стороны, R s T_p ⁴ . Из сравнения этих выражений следует, что T_p = И, поскольку A_T < 1, то T_p < T , то есть истинная температура всегда выше радиационной.

2. Цветовая температура . Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости R (l,T) = A (T)×r (l,T), где A (T) = const<1. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре чёрного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым тела применим закон смещения Вина. Зная длину волны l _max , соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R (l,T) исследуемого тела, можно определить его температуру T_ц = b /l _max , которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тех тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл! Таким способом определяется, например, температура на поверхности Солнца (T_ц ~ 6500 K) и звёзд.

3. Яркостная температура . Яркостная температура – T_я , это температура чёрного тела, при которой для определённой длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, то есть r (l,T_я ) = R (l,T), где Т – истинная температура тела. По закону Кирхгофа, для исследуемого тела при длине волны l R (l,T)/A (l,T) = r (l,T), или A (l,T) = r (l,T_я )/r (l,T). Так как для нечёрных тел A <1, то r (l,T_я )<r (l,T) и, следовательно, T _я <T , то есть истинная температура тела всегда выше яркостной.

§ 2 3 . Методы оптического измерения температуры .

1.

	Излучение

С помощью объектива 4, зеркал 1 и окуляра 5 пирометр визуально наводится на излучающий объект. При этом изображение объекта должно полностью перекрыть весь приёмник 3, сигнал с которого регистрируется прибором 2. В качестве приёмника в радиационных пирометрах чаще всего применяются термопары или болометры. Иногда используют биметаллическую спираль, изгибающуюся при нагревании.

Испускательная способность E_T , или светимость, пропорциональна яркости. Показания пирометра зависят от яркости изображения. Идеальные оптические системы дают изображение с яркостью, равной яркости источника. Для реальных систем яркость обычно меньше за счёт потерь на отражение, которые, в общем, можно учесть. Таким образом, показания пирометра будут зависеть от яркости, а следовательно, и от температуры наблюдаемого объекта. Проградуировав предварительно пирометр по абсолютно чёрному телу с известной температурой, можно использовать его для измерения неизвестной температуры. Для нечёрного излучения показания радиационного пирометра дают не истинную температуру T , а то значение температуры T _рад ., при котором суммарная радиация чёрного тела e _{T рад} . равна радиации исследуемого тела E_T при его истинной температуре T :

e _{T рад} . = E_T .

Температура T _рад . называется радиационной. Найдём связь между радиационной температурой T _рад. нечёрного тела и его истинной температурой T . Обозначим через a _T отношение суммарной испускательной способности измеряемого тела E_T к испускательной способности чёрного тела e _T при той же температуре. Тогда можно записать, что E_T = a _T e _T . Подставив это значение в выражение для Е_Т , получим e _Трад = a _Т e _Т .

Выразив e _Т через температуру согласно закону Стефана-Больцмана, получим

s Т⁴ _рад = a _Т s Т⁴ , откуда Т =

Значения a _Т хорошо изучены для многих материалов. Для металлов значения a _Т невелики (от 0.1 до 0.3), а для оксидов металлов и угля они значительны (от 0.5 до 0.9). Так как a _Т для нечёрных тел меньше единицы, то истинная температура всегда больше радиационной. Например, при истинной температуре вольфрама 3000 К радиационный пирометр показывает температуру Т_рад = т.е. ниже истинной. Ошибка составляет - ~25 %.

2. Яркостный метод . Наибольшее распространение получил метод определения температуры на основе сравнения излучения светящегося тела с излучением чёрного тела в одном и том же спектральном интервале D l . Обычно для этого используется участок, лежащий в окрестности l = 660 нм. Схема яркостного пирометра, обычно называемого пирометром с исчезающей нитью , представлена на рисунке.

lna (l,T) = , которую можно получить из формулы Планка.

Истинная температура T нечёрных тел всегда больше яркостной температуры Tя. Например, для вольфрама при T = 3000 K и l = 660 нм a(l,Т) = 0.46. Вычисления по приведенной выше формуле дают, что Тя = 2700 К, что ниже истинной температуры. Кстати радиационная температура в этом случае была равна 2250 К. Ошибка пирометра с исчезающей нитью будет ~10%. Верхний предел температур, измеряемых яркостным пирометром, ограничен предельно допустимой температурой нити пирометрической лампы.

3. Цветовой метод . Если известно распределение энергии в спектре чёрного тела, то по положению максимума кривой на основании закона смещения Вина можно определить температуру. В тех случаях, когда излучающая тело не является чёрным, применение формулы Планка не имеет смысла, так как для таких тел распределение энергии по частотам отличается от планковского. Исключение составляют так называемые серые тела, у которых коэффициент поглощения остаётся приблизительно постоянным в широком интервале частот. Такими серыми телами являются уголь, некоторые металлы, оксиды. Если тело не является серым, но его спектр излучения не сильно отличается от спектра чёрного тела при некоторой температуре, то по максимуму излучения определяют его температуру, которую называют цветовой. Таким образом, цветовая температура есть температура чёрного тела, максимум излучения которого совпадает с с максимумом исследуемого тела. Так, сопоставление графиков распределения энергии в спектре чёрного тела при температуре 6000 и 6500 К и распределения энергии в солнечном спектре показывает, что Солнцу можно приписать температуру ~6500 К.

Для измерения температуры по цветовому методу используют цветовые пирометры.

Перед объективом 2 помещается вращающийся диск-модулятор с укреплёнными на нём светофильтрами 3 и 4. Таким образом, на приёмник 5 попеременно попадают излучения двух длин волн l ₁ и l ₂ . Регистрирующая система 1 включает в себя синхронный детектор, управляемый модулятором, и прибор для измерения отношения сил токов или самописец. Градуировка пирометра производится по чёрному телу.

Для нахождения истинной температуры по цветовой температуре нечёрного тела надо знать его монохроматическую испускательную способность для разных длин волн J (l), то есть отношение испускательной способности исследуемого тела Е (l,Т) и чёрного тела e (l,Т) для данной длины волны и температуры. Обычно используют длины волн l ₁ = 660 нм и l ₂ = 470 нм. Тогда J ₁ = E (l1,T)/e (l1,T); J ₂ = E (l2,T)/e (l2,T).

Цветовая температура Т _ц есть приближённо температура чёрного тела, для которого отношения испускательных способностей для двух длин волн равно такому же отношению для исследуемого тела, истинная температура которого равна Т , т.е. Е (l₁ ,Т)/E (l₂ ,T) = e (l₁ ,T_ц )/e (l₂ ,T_ц ). Воспользовавшись формулой Вина можно получить выражение, позволяющее вычислить истинную температуру исследуемого тела:

Оптическая пирометрия не ограничивается рассмотренными методами. Разработаны и существуют специальные спектроскопические методы измерения температур на основе исследования спектральных линий в спектрах излучения и поглощения.

§ 24 . Фотоэффект.

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения чёрного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта – явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твёрдых телах (металлах, полупроводниках), диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Фотоэффект был обнаружен в 1887 г. Г. Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка ультрафиолетовым излучением.

Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским учёным А.Г. Столетовым. Принципиальная схема, используемая им для исследования фотоэффекта, приведена на рисунке.

Два электрода (катод К из исследуемого металла и анод А – в схеме Столетова применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к батарее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим излучением, измеряется включённым в сеть миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своей справедливости и в наше время:

- наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение;

- под действием света вещество теряет только отрицательные заряды;

- сила тока, возникающего под действием света прямо пропорциональна его интенсивности.

Внутренний фотоэффект – это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или к возникновению фотоэдс.

Вентильный фотоэффект (фотогальванический) , являющийся разновидностью внутреннего фотоэффекта, приводит к возникновению фотоэдс при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла, при отсутствии внешнего электрического поля. Вентильный эффект лежит в основе преобразования солнечной энергии в электрическую.

На рисунке изображена схема экспериментальной установки, которая позволяет изучать вольт-амперные характеристики внешнего фотоэффекта – зависимости фототока I , образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами. Такая зависимость, соответствующая двум различным освещённостям E_e катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рисунке. По мере увеличения U фототок нарастает или всё большее количество электронов достигает анода. Максимальное значение тока I _нас – фототок насыщения – определяется таким значением U , при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода: I _нас = en , где n – число электронов, испускаемых катодом в 1 с.

I

I _нас

-U_o 0 U

Из вольт-амперной характеристики следует, что при U = 0 фототок не исчезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода обладают некоторой начальной скоростью, а значит, и отличной от нуля кинетической энергией и могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того, чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U_o . При U = U_o ни один из электронов, даже обладающий при вылете максимальной скоростью v _max , не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно, mv ² _max /2 = eU_o , то есть, измерив задерживающее напряжение Uo, можно определить максимальные значения скорости вылета и кинетической энергии фотоэлектронов.

При изучении вольтамперных характеристик разнообразных материалов при различных частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещённостях катода были установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта :

1) Закон Столетова : при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила тока насыщения пропорциональна энергетической освещённости катода);

2) Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой;

3) Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота v_o света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

Объяснение внешнего фотоэффекта с волновой точки зрения невозможно. На первый взгляд, такое объяснение лежит на поверхности, поскольку электромагнитная волна, взаимодействуя с электроном, раскачивала бы его и, в случае резонанса могла бы его выбросить из материала. И здесь важны были бы амплитуда и интенсивность света. Однако такое объяснение противоречит, экспериментально установленным, законам фотоэффекта.

Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта . Согласно этой теории, свет с частотой n не только испускается, как это предполагал Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых e _о = h n . Таким образом, распространение света следует рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили название фотонов. По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных электронов должно быть пропорционально интенсивности света (1 закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно.

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии mv ² _max /2. По закону сохранения энергии: h n = A + mv ² _max /2. Это уравнение называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта .

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить 2 и 3 законы фотоэффекта. Из него следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни А , ни n от интенсивности света не зависит (2 закон фотоэффекта). Так как с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (но для конкретного материала А = const), то при некоторой достаточно малой частоте n = n _o кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится (3 закон фотоэффекта). Получим n _o = А /h , которая и является красной границей фотоэффекта для данного материала. Она зависит от химической природы вещества и от состояния поверхности. Уравнение Эйнштейна можно записать в другой форме: eU_o = h (n - n _o ).

Здесь следует добавить, что если интенсивность света очень велика, то есть летит сразу очень большое количество фотонов, а это достигается при лазерном возбуждении материала, то возможен многофотонный (нелинейный) фотоэффект , при котором электрон, испускаемый материалом, может одновременно получить энергию не от одного, а от N фотонов (N = 2¸7).

И, наконец, ярким подтверждением квантовых свойств света явились опыты С.И. Вавилова. Он находился в тёмной комнате около суток для адаптации глаз к темноте. Затем ему в глаз был направлен очень слабый пучок света с l» 525 нм ~100 фотонов в секунду. При этом он наблюдал повторяющиеся вспышки света. Когда интенсивность уменьшили (примерно до 10 вспышек в секунду), вспышки постепенно пропали – глаз перестал их чувствовать.

Применения фотоэффекта . На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов, получивших разнообразные применения в различных областях науки и техники. В настоящее время практически невозможно указать такие отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы – приёмники излучения, работающие на основе фотоэффекта и преобразующие энергию света в электрическую энергию:

1) одним из простейших фотоэлементов является вакуумный фотоэлемент. Он представляет собой откачанный стеклянный баллон, внутренняя поверхность которого покрыта фоточувствительным слоем (материал с малой работой выхода), служащим фотокатодом. В качестве анода обычно используется металлическое кольцо или сетка, помещаемые внутри баллона. Электроны выбиваются световыми квантами и летят к аноду, образуя фототок, который регистрируется амперметром или подаётся на некоторое рабочее устройство (типа турникетов в метро).

2) Для увеличения интегральной чувствительности вакуумных фотоэлементов баллон заполняется разреженным инертным газом (Arили Ne). Фототок в таком устройстве усиливается за счёт ударной ионизации молекул газа фотоэлектронами. Интегральная чувствительность в газонаполненном элементе выше в ~100 раз, чем в вакуумном.

3) Для ещё большего усиления фототока применяются фотоэлектронные умножители. Размеры фотоэлектронных умножителей примерно такие же как обычной радиолампы, а общий коэффициент усиления достигает 10⁷ раз. Это достигается за счёт применения специальной конструкции динодной системы и использования кроме внешнего фотоэффекта ещё и явления вторичной электронной эмиссии. На колбу изнутри наносится плёнка из сплава сурьмы и цезия – это фотокатод. Затем выбитые электроны из фотокатода за счёт внешнего фотоэффекта фокусируются на первый динод, там вследствие явления вторичной электронной эмиссии выбиваются дополнительные электроны, затем они фокусируются на следующий динод и т.д. до 11 динодов. Возникает лавина электронов, которая ускоряется высоким напряжением между фотокатодом и анодом – 1.5 кВ и выше.

4) Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом, называемые полупроводниковыми фотоэлементами обладают большой интегральной чувствительностью, но усиление имеют гораздо меньшее чем фотоэлектронные умножители. Сейчас широко распространены солнечные батареи, изготовленные из кремния и использующие внутренний фотоэффект для производства электрической энергии. К.П.Д. их сейчас составляет около 10 %.

§ 25 . Масса и импульс фотона. Давление света .

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона e _о = h n . Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии (Е = mc ² ): m = h n /c ² . Фотон – элементарная частица, которая движется со скоростью света и имеет массу покоя равную нулю. Импульс фотона p = h n /c . Следовательно фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Приведенные выше выражения связывают корпускулярные характеристики фотона – массу, импульс и энергию – с волновой характеристикой света – его частотой n .

Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Рассчитаем световое давление, оказываемое на некую поверхность потоком монохроматического излучения частотой n , падающего перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на единицу площади поверхности падает N фотонов, то при коэффициенте отражения r света от поверхности r N фотонов отразятся, а (1 - r )N – поглотится. Каждый поглощённый фотон передаёт поверхности импульс p _n = h n /c , , а каждый отражённый – 2 p _n = 2 h n /c (при отражении импульс фотона меняется на -p _n ). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1 с N фотонов: p = Причём, Nh n = E_e есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности за единицу времени, то есть энергетическая освещённость поверхности, а Е_е /c = w – объёмная плотность энергии излучения. Поэтому давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность: p = Эта формула, выведенная на основе квантовых представлений о свете, совпадает с формулой Максвелла, которая выведена на основании волновых представлений о свете. Таким образом, давление света успешно объясняется и волновой и квантовой теорией.

Экспериментальное доказательство существования светового давления на твёрдые тела дано в опытах П.Н.Лебедева. Лебедев использовал тонкий подвес на тонкой нити, по краям которого прикреплены лёгкие крылышки, одни из которых зачернены, а поверхности других зеркальны. Для исключения конвекции использовалась подвижная система зеркал, позволяющая направлять свет на обе поверхности крылышек, подвес помещался в откачанный баллон, крылышки были очень тонкими. Световое давление определялось по углу закручивания нити. Оказалось, в частности, что давление на зеркальную поверхность вдвое больше, чем на зачернённую.

§ 26 . Эффект Комптона и его элементарная теория .

Наиболее чётко корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона . Американский физик А. Комптон, исследуя в 1923 г. рассеяние монохроматического рентгеновского излучения веществами с лёгкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также более длинноволновое излучение. Опыты показали, что разность D l = l ’ - l не зависит от длины волны падающего света и природы рассеивающего вещества, а определяется только углом рассеяния q : D l = l ’ - l = 2l _c sin² (q /2), где l ’ – длина волны рассеянного излучения, l _с – комптоновская длина волны (при рассеянии фотона на электроне l _с = 2.426 пм).

Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского или g) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой, длина волны при рассеянии меняться не должна, поскольку электрон под действием волны колеблется с частотой волны и излучает волны той же частоты.

Объяснение эффекта Комптона даётся на основе квантовых представлений о природе света. Если считать, что излучение имеет корпускулярную природу, т.е. представляет собой поток фотонов, то эффект Комптона – результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества. В процессе столкновения фотон передаёт электрону часть своей энергии и импульса.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц – налетающего фотона, обладающего импульсом p _n = h n /c и энергией e _n = h n , с покоящимся свободным электроном (энергия покоя W_o = m_o c ² ). Фотон, столкнувшись с электроном, передаёт ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (т.е., рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны (или уменьшение частоты) рассеянного излучения. Естественно, при упругом столкновении выполняются законы сохранения энергии и импульса.

Согласно закону сохранения энергии: W_o + e _n = W + e _{n ’} .

Согласно закону сохранения импульса: p _n = p_e + p _{n ’} , где W_o = m_o c ² – энергия электрона до столкновения, e _n = h n - энергия налетающего фотона, W = - энергия электрона после столкновения (используется релятивистская формула, так как скорость электрона отдачи в общем-то весьма значительна), e _{n ’} = h _{n ’} – энергия рассеянного фотона. Подставив соответствующие значения в формулы законов сохранения, получим:

m_o c ² + h n = P

Решая эти уравнения получим:

m_o c ² (n - n ’ ) = h nn ’ (1 – cosq ).

Поскольку n = с /l , n ’ = c /l ’ и D l = l ’ - l , получим

D l =

h / m_o c = l c – комптоновская длина волны (2.426 пм).

Наличие в составе рассеянного излучения фотонов с исходными частотами объясняется соударениями фотонов со связанными электронами атома, что означает взаимодействие фотона как бы со всем атомом в целом. Поскольку атом намного тяжелее электрона, то переданная часть энергии атому, налетевшим фотоном, пренебрежимо мала и n »n ’ .

Эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешние электроны нельзя считать свободными.

Как эффект Комптона, так и фотоэффект обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором – поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным электроном, а фотоэффект – со связанными электронами. При столкновении фотона со свободным электроном не может произойти поглощение фотона, поскольку это находилось бы в противоречии с законами сохранения – фундаментальными законами природы. Происходит именно рассеяние, то есть – эффект Комптона!

§ 27 . Корпускулярные и волновые свойства света .

Рассмотренные в предыдущих лекциях явления – излучение чёрного тела, фотоэффект, эффект Комптона – служат доказательством корпускулярных представлений о свете. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно подтверждают волновую природу света. Наконец, отражение и давление света (и некоторые другие явления) объясняются как волновой, так и квантовой (корпускулярной) теориями. Таким образом, электромагнитное световое излучение обнаруживает и корпускулярные и волновые свойства.

Имеются соотношения, которые связывают корпускулярные (энергия и импульс фотона) и волновые (частота или длина волны) свойства света: e _n = h n , p _n = h n /c = h /l .

Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определённые закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в закономерностях его распространения (интерференция, дифракция, поляризация), а корпускулярные – в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свойства света. Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются волновые свойства – рентгеновское излучение, например, дифрагирует только на кристаллической решётке твёрдых тел.

Можно интерпретировать дифракционную картину, используя не только волновые, но и квантовые свойства света. При прохождении света через щель происходит перераспределение фотонов в пространстве и то большее или меньшее их количество попадает в разные точки экрана, формируя таким образом дифракционную картину. И поскольку освещённость экрана пропорциональна квадрату амплитуды, то квадрат амплитуды является мерой вероятности попадания фотона в данную точку экрана .

ТЕМА 9 : Голография и лазеры .

§ 28 . Понятие о голографии .

Голография (от греческого – полная запись ) – особый способ записи и последующего восстановления волнового поля, основанный на регистрации интерференционной картины. Основана на законах интерференции и дифракции.

Голография была изобретена английским инженером Д. Габором в 1947 г. (Нобелевская премия 1971 г.). Экспериментальная реализация стала возможна после появления в 1960 г. лазеров.

Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т.е. регистрации и восстановления информации о предмете. Для регистрации и восстановления световой волны нужно уметь регистрировать, запоминать и восстанавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны, поскольку распределение интенсивности в интерференционной картинке определяется как амплитудой интерферирующих волн, так и разностью их фаз. Поэтому для регистрации как фазовой, так и амплитудной информации кроме волны, идущей от предмета (предметной волны), используют ещё когерентную с ней волну, идущую от источника света (опорную волну). Идея голографирования состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в интерференционной картине, возникающей при суперпозиции волнового поля предмета и когерентной ему опорной волны. Последующая дифракция света на зарегистрированном распределении почернений в фотослое восстанавливает волновое поле предмета и позволяет изучение этого поля при отсутствии предмета.

Практически эта идея может быть осуществлена по схеме, изображённой на рисунке:

Лазерный пучок делится на две части, причём одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентными и накладываясь друг на друга, образуют на фотопластинке интерференционную картину. После проявления фотопластинки и получим голограмму , зарегистрированную на фотопластинке.

Для восстановления изображения голограмма помещается в то же самое положение, где она находилась до регистрации. Её освещают опорным пучком того же лазерного источника. В результате дифракции света на голограмме восстанавливается копия предметной волны, образующая объёмное мнимое изображение предмета, которое расположено в том месте, где раньше находился сам предмет. Если голограмму, зафиксированную на фотопластинке расколоть на несколько частей, то и каждая часть даст то же изображение, только менее чёткое. Голограмма служит как бы дифракционной решёткой с очень сложным рисунком штрихов.

§ 2 9 . Лазеры .

Получать голограммы оказалось невозможным без лазерных источников света, и английский инженер Габор, выдвинув идею голографического изображения, получить нормальную объёмную голограмму не мог, а получил простейшие плоские картинки. Он применял для этой цели ртутную лампу с фильтрами и диафрагмой. Только после изобретения лазера в 1960 году стало возможным получать качественные трёхмерные цветные голографические изображения. Что же такое лазер?

Лазер обязательно имеет три компонента: 1) активную среду, в которой создаются состояния с инверсной заселённостью; 2) систему накачки (устройство для создания инверсии в активной среде); 3) оптический резонатор (устройство, выделяющее в пространстве избирательное направление пучка фотонов и формирующее выходящий световой пучок).

Каждый фотон, случайно родившийся при спонтанных переходах (т.е. самопроизвольных), в принципе может инициировать (порождать) в активной среде множество вынужденных переходов, в результате чего появляется лавина вторичных фотонов. Таким образом и зарождается лазерная генерация. Однако спонтанные переходы носят случайный характер, и спонтанно рождающиеся фотоны испускаются в разных направлениях. Такое излучение не может обладать высокими когерентными свойствами.

Для выделения направления лазерной генерации используется очень важный элемент лазера – оптический резонатор. В простейшем случае им служит пара обращённых друг к другу параллельных зеркал, между которыми помещается активная среда (кристалл или трубка с газом (диаметр трубки 5-7 мм)). Как правило, зеркала изготавливаются так, что от одного из них излучение полностью отражается, а второе полупрозрачно. Фотоны, движущиеся под углами к оси кристалл или трубки, выходят из активной среды через её боковую поверхность. Те же из фотонов, которые движутся вдоль оси, многократно отразятся от противоположных торцов, каждый раз вызывая вынужденное испускание вторичных фотонов. Поток фотонов будет лавинообразно нарастать. Многократно усиленный поток фотонов выходит через полупрозрачное зеркало, создавая строго направленный световой пучок большой интенсивности.

Первым газовым лазером непрерывного действия (1961) был лазер на смеси газов неона и гелия. В гелий-неоновом лазере накачка происходит в два этапа: гелий служит носителем энергии возбуждения, а неон даёт лазерное излучение. Электроны, образующиеся в газовом разряде внутри трубки, при столкновениях возбуждают атомы гелия, которые переходят в возбуждённое состояние. При столкновениях возбуждённых атомов гелия с атомами неона происходит возбуждение атомов неона. Электроны атомов неона переходят на верхнее возбуждённое состояние, а затем переходят на более низкое разрешённое состояние, при этом излучая лазерное излучение с длиной волны 0.6328 мкм.

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

- временная и пространственная когерентность. Время когерентности составляет ~10^-3 с, что соответствует длине когерентности ~10⁵ м, то есть на семь порядков выше, чем для обычных источников света;

- строгая монохроматичность (Dl< 10^-11 м);

- большая плотность потока энергии (рубиновый лазер имеет плотность потока энергии ~2×10¹⁰ Вт/м² ;

- очень малое угловое расхождение в пучке. Например, при использовании специальной фокусировки луч лазера, направленный с Земли, дал бы на поверхности Луны световое пятно диаметром ~3 км (луч прожектора, для сравнения, осветил бы поверхность диаметром ~40000 км);

К.п.д. лазеров колеблется от 0.01 % (для гелий-неонового лазера) до 75 % (для лазера на стекле с неодимом).

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время широкое применение. Лазеры применяют для резки различных материалов, микросварки, пробивания отверстий в твёрдых материалах (алмаз). Также лазеры применяют в хирургии и вообще в медицине, для обнаружения дефектов в изделиях, для создания лазерного термоядерного синтеза, в голографии и т.д.

ТЕМА 10 : Строение атома .

§ 30 . Модели атома Томсона и Резерфорда .

Первая попытка создания на основе накопленных к тому времени экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом ~10^-10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Впоследствии было показано, что такое представление ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение английского физика Резерфорда. Резерфорд, исследуя прохождение a -частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной ~1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые a -частицы (примерно одна из 20000) резко отклоняются от первоначального направления. Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжёлых частиц, как a -частицы, Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a -частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы, следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд сосредоточен в объёме, очень малом по сравнению с объёмом атома. На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил планетарную модель атома . Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, е – элементарный заряд), размер ~10^-15 м и массу, практически равную, массе всего атома, движутся электроны по замкнутым орбитам. Вокруг ядра должно двигаться Z электронов. Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r . При этом сила кулоновского взаимодействия между ядром и электроном сообщает электрону центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид:

где m_e и v – масса и скорость электрона на орбите радиуса r , e _о – абсолютная диэлектрическая проницаемость. Уравнение содержит два неизвестных: r и v . Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиуса и соответствующих ему значений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r и v (а значит, и энергия) могут меняться непрерывно, т.е. может испускаться любая, а не вполне определённая порция энергии. В этом случае спектры были бы сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имею линейчатый (дискретный) спектр. Из вышеприведенного выражения следует, что при r » 10^-10 м скорость движения электронов v » 10⁶ м/с, а ускорение v ² /r = 10²² м/c² . Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху: модель Томсона была опровергнута опытами Резерфорда, планетарная же модель оказалась неустойчива. Преодоление возникших трудностей в построении модели атома связано с созданием квантовой теории атома.

§ 31 . Постулаты Бора .

Первая попытка построить, качественно новую – квантовую теорию атома была предпринята датским физиком Нильсом Бором (1913). В основу своей теории Бор положил два постулата:

1) Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний ) – в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие следующему условию: m_e vr_n = n (h /2p)(n = 1, 2, 3, …), где m_e – масса электрона, v – скорость электрона на n -ой орбите радиуса r_n ;

2) Второй постулат Бора (правило частот) – при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией h n = E_n – E_m , равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Enи Em – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При E_m < E_n происходит излучение фотона и наоборот – поглощение. Набор возможных дискретных частот n = (E_n – E_m )/h квантовых переходов определяет спектр атома.

§ 3 2. Боровская теория атома водорода.

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Zeи одного электрона (например, ионы He⁺ , Li²⁺ ). Рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми орбитами. Решая совместно, предложенное Резерфордом уравнение m_e v² /r = (4pe_o r ² ) и уравнение Бора m_e vr_n = n (h /2p), получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты: r_n = n² где n = 1, 2, 3,…. Из данного выражения следует, что радиусы орбит пропорциональны квадратам целых чисел. Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона (n= 1), называемый первым боровским радиусом, равен

r₁ = a = м = 52,8 пм.

Полная энергия электрона складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра:

E = --

Учитывая квантованные значения для радиуса стационарной орбиты электрона, получим, что энергия электрона может принимать только следующие разрешённые значения:

E_n = - (n = 1, 2, 3,…).

Это формула для полной энергии электрона водородоподобного атома, находящегося на n -й стационарной орбите. Энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n . Целое число n , определяющее энергетические уровни электрона в атоме, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным состоянием, а энергетические состояния с n > 1 являются возбуждёнными. Придавая n различные значения, получим для атома водорода возможные уровни энергии, которые может принимать его электрон. С ростом n уровни энергии сближаются. Атом водорода, исходя из приведенной формулы, обладает минимальной энергией при n = 1, равной E1 = - 13.55 эВ, и максимальной равной нулю при n = ¥, которая соответствует ионизации атома, т.е. отрыва от него электрона.

Согласно второму постулату Бора при переходе электрона атома водорода из стационарного состояния nв стационарное состояние mс меньшей энергией испускается квант света с энергией

h n = E_n – E_m = -

откуда частота излучения

n =

где R = m_e e⁴ /(8h ³ e_o ² ). Постоянная R - есть не что иное как постоянная Ридберга, которая была сначала найдена экспериментально. Хорошее совпадение экспериментально и теоретически найденной постоянной Ридберга указывает на правильность теории Бора водородоподобных атомов.

Несмотря на то, что теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и квантовой механики, она обладает внутренними противоречиями и ограничениями. Внутренне противоречие этой теории состоит в том, что одновременно используются и законы классической и квантовой механики. Серьёзным же недостатком теории Бора является невозможность описания не водородоподобных атомов, например атома гелия (а это ещё простейший атом).

§ 33 . Гипотеза де Бройля .

Теория Бора правильно объясняла строение атом водорода и водородоподобных атомов. Её данные соответствовали экспериментальным данным. Более глубокое обоснование теории Бора было найдено де Бройлем в 1923 г. Де Бройль высказал гипотезу о волновой природе материальных частиц, таких как электроны.

Согласно де Бройлю, частице с массой m, движущейся со скоростью v, соответствует длина волны l, определяемая по формуле:

l =

Каждому электрону в атоме, считал де Бройль, соответствует стоячая волна. Можно провести сравнение с гитарной струной. Если ущипнуть струну скрипки или гитары, то возбудится множество волн, но лишь некоторые из них не будут быстро затухать – это волны с узлами на концах или волны, которые все полностью помещаются на длине струны. Их называют резонансными гармониками . Так как электроны в теории Бора движутся по круговым орбитам, то де Бройлем было высказано предположение, что электронам соответствуют круговые стоячие волны, которые как бы замыкаются сами на себя. Если длина волны такова, что не позволяет волне замкнуться, то на данной круговой орбите происходит ослабляющая интерференция, и волна быстро затухает. Следовательно, не затухают только волны, у которых на круговой орбите укладывается целое число волн. Длина круговой боровской орбиты равна 2pr_n = n l (n = 1, 2, 3,…). Подставляя l = h /mv , получаем 2pr_n = nh /mv или mvr_n = nh /2p. Последнее выражение в точности совпадает с условием квантования, введённым Бором. Именно на этом условии основан вывод о дискретных орбитах и уровнях энергии. Гипотеза де Бройля позволяет объяснить квантование орбит и состояний в боровской модели: оно обусловлено волновой природой электронов и существованием только стоячих резонансных волн. Отсюда следует, что корпускулярно-волновой дуализм заложен в самой структуре атома, а если говорить шире, то в самой структуре материи вообще.

Не следует думать, что стоячие круговые волны – это траектории, по которым двигаются электроны.

Гипотеза де Бройля о том, что электрону и другим частицам соответствует волна с длиной l = h/mv, позволила объяснить квантование боровских орбит на основе корпускулярно-волнового дуализма – разрешённые орбиты соответствуют стоячим волнам, длина волны которых укладывается на круговой орбите целое число раз .

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физики - Дэвиссон и Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся на естественной дифракционной решётке – кристалле никеля, - даёт отчётливую дифракционную картину.

Необходимо было ещё доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большого числа электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось подтвердить в 1948 г. российскому физику Фабриканту.

Чуть позже была обнаружена дифракция нейтронов и протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно доказало, что волновые свойства присущи микрочастицам, имеющим массу покоя (в отличие от фотонов).

Поскольку волновые свойства присущи всем материальным телам, то почему, например, они не были обнаружены для частиц массой 1 г.? Дело в том, что частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с , соответствует волна де Бройля с l = 6.62

§ 34 . Что такое квантовая механика ?

Теория Бора строения атома позволила составить нам первое представление об атоме и сделала атом стабильным. Однако эта теория не смогла ответить на многие вопросы, в том числе, и на вопрос «чем же объясняются межатомные связи в молекулах, твёрдых телах и жидкостях?».

Новая теория, получившая название квантовой механики , создала из корпускулярно-волнового дуализма единую последовательную теорию. Данная теория блестяще решила проблему спектров сложных атомов, она объяснила относительную яркость спектральных линий и образование молекул из атомов, она охватила всю совокупность явлений - от излучения чёрного тела до структуры атомов и молекул. Квантовая механика занимается, в основном, изучением микромира атомов и света, но и в окружающем нас макромире мы воспринимаем свет, и считаем, что все окружающие нас предметы состоят из атомов. Но из новой теории должны следовать и старые, хорошо проверенные результаты классической физики, то есть, квантовая механика при её применении к макроскопическим явлениям должна приводить к старым классическим законам.

1. Волновая функция и её интерпретация . Важнейшими характеристиками любой волны являются длина волны, частота и амплитуда. В случае электромагнитной волны от длины волны зависит, будет ли свет видимым, и если да, то какого цвета. Как мы уже знаем, длина волны (или частота) характеризует энергию соответствующего фотона (e = h n ). Амплитуда электромагнитной волны определяет напряжённость электрического поля в данной точке и связана с интенсивностью волны. Для материальных частиц, таких, как электроны, квантовая механика устанавливает связь между длиной волны и импульсом согласно формуле де Бройля l = h /mv . То есть, речь идёт об электронной волне. Амплитуда электронной волны в квантовой механике называется волновой функцией и обозначается греческой буквой «пси» - Y . Таким образом, Y задаёт амплитуду нового типа поля, которое можно было бы назвать полем или волной материи , как функцию времени и положения.

Одна из основных задач квантовой механики заключается в вычислении волновой функции Y для той или иной ситуации (например, для электрона в атоме). Эту задачу решил Шредингер, который написал уравнение, решая которое можно находить волновую функцию. Вот как оно выглядит:

—

где U(x) – потенциальная энергия частицы с массой m, описываемой волновой функцией Y(x,t), которая зависит от пространственной координаты и времени, и i =

ТЕМА 11 : Атомное ядро .

§ 35 . Атомное ядро .

В начале 20-го века, благодаря опытам Резерфорда возникло представление о том, что в центре атома находится крохотное по своим размерам, но массивное ядро. Одновременно с созданием квантовой теории и попытками объяснить строение атома и его электронной оболочки начались исследования и атомного ядра.

У физиков начала 20-го века существовала важная проблема: обладает ли атомное ядро структурой и какой эта структура является? Оказалось, что ядро достаточно сложно устроено, и в его структуре остаётся много неясного и по сей день. Тем не менее в начале 20-х годов прошлого века была разработана модель атомного ядра, которая по-прежнему находит широкое применение. Согласно этой модели, ядро состоит из частиц двух типов – протонов и нейтронов . Протон, кроме всего прочего, ещё и является ядром простейшего атома – водорода. Он имеет положительный заряд – 1.6×10^-19 Кл и массу – 1.6726×10^-27 кг. Нейтрон, существование которого было установлено только в 1932 г. Джеймсом Чедвиком, электрически нейтрален. Масса нейтрона почти равна массе протона – 1.6750×10^-27 кг. Нейтроны и протоны имеют общее название – нуклоны .

Ядро атома водорода состоит из одного протона, тогда как ядра других химических элементов содержат и нейтроны и протоны. Число протонов в ядре называется атомным номером . Общее число протонов и нейтронов называется массовым числом . В ядрах одного химического элемента (например, углерода) число нейтронов может быть различным, а число протонов всегда одно и тоже. Например, ядра углерода содержат 6 протонов, но нейтронов в нём может быть – 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ядра, содержащие одинаковое число протонов, но различное число нейтронов, называются изотопами . Некоторые изотопы не встречаются в природе, но могут быть получены в лаборатории с помощью ядерных реакций. Например, все трансурановые элементы (с Z>92) не встречаются в природе и могут быть получены только искусственно.

Мы не можем говорить о точных размерах ядра из-за корпускулярно-волнового дуализма: пространственные размеры ядра будут несколько размыты. Тем не менее размеры эти были определены приблизительно и оказалось, что ядра имеют примерно сферическую форму и радиус зависит от массового числа: r » (1.2×10^-15 )×A^1/3 м. Так как объём сферы V = 4/3 pr³ , можно утверждать, что V ~ A. В принципе, этого следовало ожидать, если бы ядра были похожи на бильярдные шары, то удваивая число шаров, мы, тем самым, удваиваем объём.

Энергия связи и ядерные силы . Известно из опыта, что общая масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его протонов и нейтронов. Почему? Дефицит массы ушёл в энергию связи . Если бы масса ядра гелия была в точности равна массам двух протонов и двух нейтронов, которые его образуют, ядро гелия самопроизвольно распалось бы и не могло существовать. Для обеспечения стабильности ядра его масса должна быть меньше составляющих его частиц-нуклонов.

Протоны и нейтроны не могли бы самопроизвольно образовать ядро, поскольку все протоны положительно заряжены и между ними существует отталкивание. Почему же ядро не разлетается на части, а стабильно существует очень длительное время? Потому что существует сила ядерного взаимодействия, которая превосходит силу кулоновского отталкивания. Это притяжение, которое существует между всеми нуклонами и нейтронами и протонами. Это, так называемое сильное взаимодействие . Сильное взаимодействие оказалось более сложным, чем гравитационное и электромагнитное. Его точное математическое описание неизвестно до сегодняшнего времени. Но люди много думали над тем, чтобы понять природу этого взаимодействия. Во-первых, этот тип взаимодействия является короткодействующим, т.е. проявляется только на малых расстояниях. Критическим расстоянием является величина ~10^-15 м. Кстати, поскольку электромагнитные и гравитационные силы действуют на больших расстояниях, они называются дальнодействующими. Есть и другие особенности ядерного взаимодействия. Если ядро содержит или слишком мало или слишком много нейтронов, по сравнению с протонами, то сильное взаимодействие ослабевает даже на малых расстояниях, и ядра становятся нестабильными. При очень больших Z>82 избыток нейтронов не может скомпенсировать кулоновское отталкивание и, вследствие этого, при таких Z стабильных ядер вообще не существует. Здесь следует упомянуть о, так называемых, слабых взаимодействиях, которые проявляются при некоторых видах радиоактивного распада. Таким образом, в природе известно на сегодняшний день четыре фундаментальных типа взаимодействий – гравитационное, электромагнитное и два типа ядерных взаимодействий (слабое и сильное).

§ 36 . Ядерные реакции и превращения элементов .

Превращение одного химического элемента в другой, называемое трансмутацией , происходит в результате ядерных реакций . Мы говорим, что происходит ядерная реакция, если данное ядро сталкивается с другим ядром или какой-нибудь частицей (например, g- квантом или нейтроном) и в результате между ними происходит взаимодействие. Первое сообщение о наблюдаемой ядерной реакции принадлежит Резерфорду. В 1919 г. он наблюдал, что при прохождении a-частиц через газообразный азот некоторые частицы поглощались с испусканием протонов. Резерфорд пришёл к выводу, что ядра азота превращаются в ядра кислорода в результате ядерной реакции:

где He - a-частица, H – протон.

В любой ядерной реакции электрический заряд и число нуклонов сохраняется. Энергия и импульс также сохраняются в ядерных реакциях. Если суммарная масса продуктов реакции меньше суммарной массы исходных частиц, то реакция сопровождается выделением энергии – в виде кинетической энергии испускаемых частиц. Если же суммарная масса продуктов реакции больше суммарной массы исходных частиц, то реакция требует подвода энергии.

Изучение искусственного превращения элементов имело резкий подъём в 30-е годы прошлого века, когда Энрико Ферми показал, что нейтроны наиболее эффективны для инициирования ядерных реакций. Так как нейтроны не имеют электрического заряда, то им не нужно преодолевать ещё и кулоновский барьер при приближении к ядру. Сейчас имеются ускорители и протонов и электронов, которые эффективно инициируют ядерные превращения и на сегодняшний день получены множество новых элементов, которые живут тысячные доли секунды (и меньше).

§ 3 7 . Радиоактивный распад .

Под радиоактивным распадом понимают естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад называется материнским, возникающее ядро – дочерним. Теория радиоактивного распада строится на предположении о том, что радиоактивный распад является спонтанным процессом, подчиняющимся законам статистики. Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, то можно считать, что число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от tдо t + dt, пропорционально промежутку времени dt и числу Nнераспавшихся ядер к моменту времени t:

dN = -lNdt,

где l - постоянная для данного радиоактивного вещества, называемая постоянной радиоактивного распада; знак минус указывает на то, что общее число радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив переменные, интегрируем:

получим N = N_o e ^{- l t} , где N_o – начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0), N – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Данная формула выражает закон радиоактивного распада, согласно которому число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.

Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период полураспада T _1/2 и среднее время жизни t радиоактивного ядра. Период полураспада – время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое. Тогда можно записать N_o /2 = N_o e^{- l T} , откуда T _1/2 = ln2/l = 0.693/l . Периоды полураспада для радиоактивных элементов колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.

Суммарная продолжительность жизни dNядер равна tdN = lNtdt. Проинтегрировав это выражение по всем tот 0 до ¥ и разделив на начальное число ядер N_o , получим среднее время жизни t радиоактивного ядра:

t =

Таким образом, среднее время жизни t радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада l .

Активностью А нуклида (один элемент, но разное количество нейтронов) в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих за 1 с. А = Единица активности в СИ – беккерель (Бк). 1 Бк – активность нуклида, при которой за 1 с происходит один акт распада. До недавнего времени применялась единица – кюри (Ки ), причём 1 Ки = 3.7 ×10¹⁰ Бк .

Возникающие в результате радиоактивного распада ядра могут быть, в свою очередь, радиоактивными. Это приводит к возникновению цепочек, или ряда радиоактивных превращений, заканчивающихся стабильным элементом. Возникают радиоактивные семейства , которые носят имя наиболее долго живущего изотопа. Например, семейства тория, нептуния, урана, актиния – все они заканчиваются не радиоактивным свинцом, за исключением нептуния, ядерные превращения которого завершается висмутом.

§ 38 . Цепные реакции деления ядер .

Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществления цепной реакции деления – ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции (нейтроны). Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов , который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции является требование k³ 1. Оказалось, что не все образующиеся вторичные нейтроны вызывают последующее деление ядер, что приводит к уменьшению коэффициента размножения. Во-первых, из-за конечных размеров активной зоны (пространство, где происходит цепная реакция) и большой проникающей способности нейтронов часть из них покидает активную зону раньше, чем буде захвачена каким-нибудь ядром. Во-вторых, часть нейтронов захватывается ядрами неделящихся примесей, всегда присутствующих в активной зоне. Кроме того, нейтроны могут просто рассеиваться, не приводя к дальнейшему делению ядер.

Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного изотопа от его количества, а также размеров и формы активной зоны. Минимальные размеры активной зоны, при которых возможна цепная реакция, называются критическими размерами . Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в пределах критических размеров зоны, необходимая для осуществления цепной реакции, называется критической массой .