Реферат: Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Название: Вычисление двойных интегралов методом ячеек Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | |||
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова КУРСОВАЯ РАБОТА по вычислительной математике. Вычисление двойных интегралов методом ячеек. Выполнил студент факультета ИиВТ, группа ИВТ-11-00 Борзов Леонид Чебоксары-2002 Содержание. Теоретическая часть…………………………………………3 Задание………………………………………………………..4 Текст программы. ……………………………………………5 Блок-схема программы…………………….………………...6 Выполнение программы в математическом пакете………..7 Список использованной литературы……………………......8 Теоретическая часть. Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида I
=
Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек
. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник:
Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки D òòD
Gij
f
(
x
,
y
)
dxdy
»
¦
(
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:
В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f ( x , y ) . Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением Rij
»
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде
Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M / N остаётся постоянным. Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: Задание
.Найти при помощи метода ячеек значение интеграла Текст программы. #include<conio.h> #include<iostream.h> float f(float,float); void main() { const float h1=.0005,h2=.001; float s1,x,y,i,I; clrscr(); s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for(i=0;i<1/h2;i++) { while (y<2*x-1) { I+=s1*f(x,y); x-=h1; } y+=h2; x=1-h1/2; } cout<<"Площадь интеграла равна: "<<I; getch(); } float f(float x,float y){ return x*x+y*y; } Блок-схема программы.
![]()
Выполнение программы в математическом пакете. h1=.0005; h2=.001; s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for i=1:1/h2 while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y); x=x-h1; end y=y+h2; x=1-h1/2; end disp('Площадь интеграла равна:'); disp(I); В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла Площадь интеграла равна: 0.2190
Список использованной литературы. 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975. 2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. 3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978. 4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. |