Книга: Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление
|
Название: Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление Раздел: Рефераты по математике Тип: книга |
| Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова (технический университет) А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005 УДК 512 + 517.2 (075.80) ББК 22.161.5 Г723 Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей. В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления. Научный редактор проф. А.П. Господариков Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет). Господариков А.П. Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков , Г.А. Колтон , С.А. Хачатрян ; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с. ISBN 5-94211-104-9 УДК 512 + 517.2 (075.80) ББК 22.161.5 Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида § 1. Векторные пространства Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье. Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов. Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов
Коэффициенты li
(i
= 1, 2, 3), называемые координатами вектора
В силу ортогональности базиса скалярные произведения
где Если векторы
Так как при
В частности при
§ 2. Скалярное произведение и норма функций Обозначим символом Скалярным произведением функций
Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов: 1. 2. 3. 4. Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения. Функции Нормой функции
Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора: 1. 2. Если функция
откуда 3. теорема косинусов
Следствие.
Если 4. Обобщенная теорема Пифагора.
Если функции
Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим
В силу ортогональности функций
5. неравенство Коши – Буняковского
При любых вещественных
Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3. Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений: а) функция б) при любых целых k
и m
функции в) функции г) функции Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника
§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье Счетное множество непрерывных на промежутке 1. Пусть
где Числа Ряд
называется рядом Фурье для функции В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции
или более простой величины
Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций Определим, при каком наборе коэффициентов
первых п
функций ортогональной системы Преобразуем выражение для dп , используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:
Применив тождество
Из последнего выражения сразу следует, что
при Таким образом, именно частичная сумма Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций Указание . Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций. § 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля Из формулы (3.3) с учетом того, что величина
Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда
Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при
Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п
величина
Если
Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора. Замечание . Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова. Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества Свойства замкнутых систем следующие: 1. Если непрерывная функция Таким образом, к замкнутой системе функций Следствие
. Если две непрерывные функции 2. Пусть
где, как и ранее, Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов. Так как для функций
Вычитая почленно эти равенства и используя тождества
получим равенство (4.6). 3. Если
т.е. интеграл от функции
и учесть, что в этом случае
Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье. Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а
, b
] к функции § 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L , L ] Система функций
ортогональна на промежутке [–L , L ] (см. упражнение в § 3). Показать, что Каждой функции
Коэффициенты Фурье
Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье. Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции
Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции Частичные суммы
тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции
§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле Функция Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке Теорема Дирихле.
Если функция Если доопределить (или переопределить) функцию
где коэффициенты Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции
называются гармониками. Введем в рассмотрение величины
т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке. Из равенства Парсеваля (5.4) следует
где Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L
, L
] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-
периодическая функция Теорема Дирихле (другая формулировка).
Если функция Замечание
. Если функция получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:
где с – любое число. Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция
Выполнив в среднем интеграле замену переменной
Последний интеграл не зависит от а , что, собственно, и требовалось доказать. Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с
. Полагая в этих формулах Если функция Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L
, т.е. § 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций Функция Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла: а) если функция
б) если функция
Указание
. Представить интеграл Пусть четная функция
Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:
Так как
Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:
где
§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L ] Пусть функция
Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:
Аналогично, если функцию
где
На промежутке [0, L
] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию Функции
участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L
]. Кроме того, как нетрудно проверить, Замечание
. Если функцию
На промежутке [0, L
] этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции
участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на [0, L ] (см § 2, упражнение 2, д). § 9. Ряды Фурье для комплексных функций Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида Скалярным произведением функций
где 1. 2. билинейность
Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно. Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Определение нормы функции оставим прежним, так что
Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие: 1. теорема косинусов.
или в более общем виде
2. Обобщенная теорема Пифагора.
Если
Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно. 3. Неравенство Коши – Буняковского.
Если функции В самом деле, если
Таким образом, Пусть теперь система комплексных функций
ортогональна на промежутке
где коэффициенты Фурье
Введем обозначения: Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство
где Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3: а) если для некоторой функции
то ряд (9.3) сходится в среднем к б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке Введем в рассмотрение систему комплексных функций
Свойства системы функции (9.6) следующие: 1. 2. Функции 3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [–L
, L
]. Действительно, при
Здесь использована формула 4. Ряд Фурье для функции
где коэффициенты Фурье
Система функций (9.6) замкнута на [–L , L ] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения: а) ряд (9.7) сходится в среднем к б) для любой функции из в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции
Теорема Дирихле.
Если вещественная и мнимая части функции
При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3). Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4. § 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Пусть вещественная функция
где
Если в (10.1) выразить
то получим ряд
где в силу (10.2)
= Последние три формулы можно объединить:
Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме. Пример 1.
Разложить функцию Решение . Найдем коэффициенты Фурье:
Поскольку
= Искомое разложение будет иметь вид
где учтено, что
Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля
можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае
Тогда из (10.6) следует
Упражнение 1. Доказать, что
Указание . Положить в (10.5) х = 0 и х = p. Упражнение 2. Доказать, что при
Глава 2. Интеграл Фурье § 11. Сходимость интеграла Фурье Пусть функция
где
Введя в (11.1) выражения (11.2), получим
При
Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье. Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства. Теорема.
Пусть функция § 12. Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим
Если функция
и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех Из (11.4) получим
Комплексная функция В формуле (12.3) выражение
можно трактовать, как разложение функции Равенства Парсеваля.
Пусть
т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем
В силу (12.1)
Поэтому Косинус- и синус-преобразования Фурье.
Если вещественная функция
Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,
Здесь использовано свойство (7.1) четных функций. Из (12.6) следует, что функция Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает
= Так как
Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье. Аналогично, если вещественная функция
Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье. Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы. Пример 1.
Вычислить интеграл Лапласа Решение.
Найдем Фурье-образ функции
С помощью формулы обратного преобразования Фурье
получим
или
Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
Пример 2.
Вычислить разрывной множитель Дирихле Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции
получим
Таким образом,
В частности интеграл Дирихле
Пример 3.
Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона Решение.
Сначала вычислим интеграл
=
Отсюда
Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
Упражнение 2. Доказать, что
используя равенство Парсеваля. § 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье Тот факт, что функция Свойства преобразования Фурье: 1. Теорема линейности.
2. Теорема подобия.
3. Теорема смещения.
Следствие .
где
4. Теорема о свертке.
Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций
Фурье-образ свертки функций f
и g
равен произведению их Фурье-образов, умноженному на Так как по определению
то, выполнив во внутреннем интеграле замену
= что и требовалось доказать. 5. Теорема об образе производной.
Пусть функция
Так как производная Введем в рассмотрение Фурье-образ производной
Выполнив интегрирование по частям, получим
Так как внеинтегральный член равен нулю, то
Таким образом, операции дифференцирования функции
Следствия . 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение. 2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Пример 1. Доказать, что
где Решение. Положим
Тогда
Таким образом,
и по теореме о свертке
Пример 2. Найти решение уравнения
при
Замечание . Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п. Решение.
Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на
или
где Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция
С помощью (12.3) находим
Последний интеграл в (13.7) равен
По теореме о свертке
или
Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона. Пример 3. Найти решение волнового уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Замечание.
Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
где w – параметр. Решение задачи имеет вид
Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера
Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим
Тогда
При Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х
в момент времени Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее: 1. Произвольную функцию 2. В представлении формулы 3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия. Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х ) дифференцируема, а j(х ) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10). Глава 3. Операционное исчисление § 14. Преобразование Лапласа Понятие оригинала.
Кусочно-непрерывная функция 1) 2) при Число с
называется показателем роста Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
Если функция Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция Замечание.
Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f (t ) называется несобственный интеграл вида
где Теорема.
Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Пс
: Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:
Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа
представляет собой функцию параметра p
, определенную в полуплоскости Пс
: Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа. Свойства преобразования Лапласа следующие: 1. Теорема линейности.
При любых постоянных
Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов. 2. Имеет место 3. Теорема подобия.
Для любого
Действительно, полагая
4. теорема смещения.
Для любого а
5. теорема запаздывания.
Для любого
Здесь учтено, что
Обратное преобразование Лапласа.
Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при
где Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для
Отсюда
Если в точке t
функция Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва. § 15. Изображения простейших функций Единичная функция Хевисайда. Имеем:
Так как при
Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом
Экспонента. По теореме смещения
Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем
Степенная функция с натуральным показателем.
Положим
При
Отсюда
Так как
Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов Периодические функции.
Если оригинал
Действительно, в этом случае
Выполнив замену
Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Пример.
Найти Лаплас-образ оригинала Решение. Имеем
Следовательно, в силу (15.1)
Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции.
Ступенчатая функция
где Тогда
Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида
где Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать
Введем функции
Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции
Решение. Так как
то
Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций
и семейство их изображений по Лапласу
При
Введем условную функцию Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при
Далее по определению положим
Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:
Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f (t ). Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что
что полностью соответствует теореме запаздывания. Замечание 2. В силу (15.4) имеем
Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда. В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений. § 16. Основные теоремы операционного исчисления Свертка оригиналов.
Сверткой оригиналов
Функции f (t ) и g (t ) называются компонентами свертки. Найдем для примера свертку произвольного оригинала
Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. Теорема 1.
Если
Действительно, по определению (14.3) имеем
где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
Введем вместо t
новую переменную
что и требовалось доказать. Пример 1.
Найти оригинал Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:
Так как
то по теореме 1 имеем
Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:
где а и b – постоянные. Упражнение 2. Найти свертку функций Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы. Теорема 2.
Если Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда
Теорема 3.
Если
В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь
Тогда по теореме 1
Отсюда Применив формулу (16.2) дважды, получим
и т.д. В частности, если Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа: 1. Если 2. При том же условии пределы, производные и интегралы от Теорема 4.
Если
Справа стоит интеграл Лапласа для функции
что и требовалось доказать. Применив несколько раз теорему 4, получим
Теорема 5.
Если
т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на
Поскольку при
Рассмотрим функции
По теореме 4 имеем
Так как
Точно так же получим
Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса
Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами. Следствие 1. Если сходится интеграл
то
Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение Следствие
2. Если сходится интеграл
Так как
Для
Следствие
3. Если
С другой стороны, Следствие
4. Если
Исходим из равенства
В силу (14.4) и теоремы 3
Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6). Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при Упражнение. Вычислить несобственный интеграл § 17. Формула разложения Хевисайда Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию. Теорема.
Пусть
Доказательство проведем для случая, когда
Отсюда
где
Умножим обе части последнего равенства на
откуда и следует (17.1). Теорема доказана. Замечание 1.
Если коэффициенты многочленов
где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена Замечание 2.
Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание Если знаменатель
где
Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при Пример 1. Найти оригинал изображения
Решение.
Имеем По формуле (17.1)
Здесь
Пример 2. Найти оригинал изображения
где а
> 0; Решение.
Здесь функция
Таким образом, корни знаменателя Далее запишем
По формуле (17.3) находим оригинал § 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения
(здесь
Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь
Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде
Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение
где Из уравнения (18.5) найдем операторное решение
Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):
Для задачи Коши
Операторное уравнение имеет вид
разложим операторное решение на простейшие дроби:
С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:
Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид
Пример 1.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Решение. Запишем операторное уравнение
Его решение имеет вид
Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:
Пример 2.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Решение. Запишем операторное уравнение
и его решение
Из теоремы 2 § 16 следует
в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)
Окончательно,
Пример 3.
На точку массой т
, прикрепленную к пружине жесткостью с
и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила Решение. Уравнение движения запишем в виде
где
где
Если
По теореме запаздывания
Окончательно,
Интеграл (формула) Дюамеля.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях
Пусть весовая функция
Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля. Замечание.
При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию
где Как легко видеть, Таким образом, функция Используя (18.7), найдем Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши
с начальными условиями Решение.
Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен
Окончательно,
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид
где Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему
где Из (18.10) находим операторное решение
где Оригинал Обозначим
При нулевых начальных условиях
Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля. Пример 5. Найти решение задачи Коши
с начальными условиями Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:
где
Окончательно, по формуле (18.12) получим
или
Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи. Пример 6. Решить задачу Коши:
с начальными условиями Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь
Запишем решение операторной системы
Тогда
§ 19. Приложения Электрические цепи.
Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени Для сопротивления имеет место закон Ома
где Для индуктивности справедливо соотношение
где Для конденсатора выполняется соотношение
где С
– емкость конденсатора; В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени Если ввести операторный ток
Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома
где операторное сопротивление (импеданс) При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления Если электрическая цепь с адмитансом Как правило, операторная проводимость цепи Если эдс
где Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье
следовательно,
Положим
где
Функции Будем трактовать функции Пример.
Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления Решение.
Импеданс контура
Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту Расчет длинных электрических линий.
Обозначим
Разделив уравнения (19.3) на Dх
и перейдя к пределу при Dх
® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций
Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид
Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение
где Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной
где
где Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х , вместо (19.7) запишем алгебраическую систему
где В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид
где Возвратимся к оригиналам:
С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем
Из (19.10) и (19.11) следует, что
При отыскании функций
где В частности, если
Примеры для самостоятельного решения Задание 1 . Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [–p, p]: 1. 3. 5. 7. 9. 10. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 22. 23. 24. 25. 27. 29. 31. Задание 2
. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале 1. 3. 5. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29 Указание . Для решения примера 15 воспользоваться формулами [6]
Задание 3 . Представить интегралом Фурье следующие функции: 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 16. Указание . При решении следует воспользоваться формулами
Задание 4
. Найти косинус-преобразование Фурье 1. 4. Задание 5
. Найти синус-преобразование Фурье 1. 3. 5. Ответы Задание 1 1. 3. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 17. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Задание 2
2. 3. 4. 5. 8.
9. 10. 12. 13. 14. 15. 16. 18. 20. 21. 22. 24. 26. 27. 28. 29. 30. Задание 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. 11. 14. 17. Задание 4 1. 3. Задание 5 1. 3. 5. Рекомендательный библиографический список Основной: 1. Демидович Б.П . Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972. 2. Пискунов Н.С . Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985. 3. Шипачев В.С . Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998. Дополнительный: 4. Данко П.В . Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2. 5. Минорский В.П . Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987. 6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981. Оглавление Введение Глава 1. Ряды Фурье § 1. Векторные пространства § 2. Скалярное произведение и норма функций § 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье § 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля § 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L , L ] § 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле § 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций § 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L ] § 9. Ряды Фурье для комплексных функций § 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Глава 2. Интеграл Фурье § 11. Сходимость интеграла Фурье § 12. Преобразование Фурье § 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье Глава 3. Операционное исчисление § 14. Преобразование Лапласа § 15. Изображения простейших функций § 16. Основные теоремы операционного исчисления § 17. Формула разложения Хевисайда § 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений § 19. Приложения Примеры для самостоятельного решения Ответы Рекомендательный библиографический список |
. Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.
, 
и 
. Произвольный вектор 
является линейной комбинацией векторов базиса:
. (1.1)
относительно базиса 
, могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора 
.
при 
, следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее 
, поэтому 
, откуда
, (1.2)
.
и 
заданы своими координатами 
и 
, то их скалярное произведение 
.
скалярное произведение 
, то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому 
. (1.3)
из (1.3) следует
. (1.4)
множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a
, b
], т.е. функций, имеющих на промежутке [a
, b
] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.
называется число 
.
.
.
.
; 
.
называются ортогональными 
на [a, b
], если 
.
на промежутке [a
, b
] называется неотрицательное число 
, квадрат которого равен скалярному произведению функции 
на себя:
.
.
непрерывна на [a
, b
] и 
, то 
. Так как 
, то при 
,
. Дифференцируя последнее соотно- шение по 
и применяя теорему Барроу, получим 
и, сле-довательно, 
. 
. 
.
, то 
(теорема Пифагора).
(k
= = 1, 2, …, n
) попарно ортогональны на промежутке 
, то
.
.
скалярные произведения 
при 
, поэтому 
.
, или, что то же самое, 
.
. 
.
ортогональна функциям 
и 
на промежутке 
при любых целых k
и m
;
и 
ортогональны на промежутке 
; 
и 
, а также 
и 
при 
ортогональны на промежутках 
и 
; 
и 
не ортогональны на промежутке 
.
.
функций 
образуют на этом промежутке ортогональную систему, если
, 2. 
при 
.
– ортогональная система функций на промежутке 
и 
. По аналогии с (1.2) образуем величины 
, (3.1)
.
называются коэффициентами Фурье функции 
относительно ортогональной системы 
. 
(3.2)
. 
, ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции 
линейными комбинациями функций 
.
другой, близкой к 
, функцией 
, более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения 
,
.
линейная комбинация 
наилучшим образом аппроксимирует функцию 
величина 
принимает наименьшее значение.
.
, получим
принимает наименьшее значение
, (3.3)
ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции 
по сравнению с другими линейными комбинациями функций 
ортогональна на промежутке 
, и, во-вторых, системы функций 
и 
ортогональны на промежутке 
. 
по определению не отрицательна, следует 
. (4.1)
. (4.2)
, получим неравенство Бесселя
. (4.3)
уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность 
сходится. из (3.3) получим ее предел
. (4.4)
, где 
– частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции 
. В этом случае из (4.4) следует
(4.5)
, или, что то же самое, для любой функции из 
ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система 
называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия. 
ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что 
, и тогда (см. § 2, свойство нормы 2) 
нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем 
. Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой. 
и 
имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.
и 
– коэффициенты Фурье функций 
и 
относительно замкнутой ортогональной системы 
. Тогда
(4.6)
коэффициенты Фурье, очевидно, равны 
, в силу замкнутости системы из (4.5) следует
– замкнутая ортогональная система функций, то 
, (4.7)
можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям 
и
. Тогда
, то он сходится в среднем к этой функции. 
(5.1)
следует самостоятельно.
. (5.2)
, в соответствии с (3.1), определятся формулами 
(5.3)
ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид
. (5.4)
. (5.5)
, если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна. 
, если в точке х
функция непрерывна; в точках разрыва 
; на концах промежутка 
, где 
– односторонние пределы в точке а
.
, полагая 
в точках разрыва и f
(–L
) = =
на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле 
, (6.1)
по-прежнему определяются формулами (5.3).
в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1) 
(6.2)
и 
, связанные с коэффициентами Фурье 
и 
соотношениями 
и 
. Тогда гармоника (6.2) запишется в виде 
, где 
– амплитуда гармоники; 
– ее частота; 
– начальная фаза. Множество частот 
образует дискретный частотный спектр функции 
на промежутке [–L
, L
]. Формула (6.1) примет вид
, (6.3)
, (6.4)
. 
на промежутке [–L
, L
]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.
, которая на промежутке [–L
, L
] совпадает с заданной функцией 
, является 2L-
периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию 
, (6.5)
не зависит от а
. Действительно,
и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим 
, убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).
.
.
которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если 
. Тогда 
или [
]. Так, например, функции 
и 
нечетны, а 
и 
четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. 
четна, то 
; (7.1)
нечетна, то
. (7.2)
в виде суммы интегралов: 
и в первом из них выполнить замену 
.
будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2) 
.
. (7.3)
– четная функция, то вследствие (7.1)
. (7.4)
(7.5)
. (7.6)
для 
. Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы: 
. (8.1)
. (8.2)
для 
, и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L
, L
], то в этом разложении будут содержаться только синусы:
(8.3)
. (8.4)
, но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке [–L
, 0] ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции 
; (8.5)
, (8.6)
. Поэтому величины 
и 
, определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции 
для 
. (8.7)
,
, где i
– мнимая единица, 
– вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом 
множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке 
. 
назовем комплексное число
,
– функция, комплексно сопряженная с функцией 
.свойства скалярного произведения комплексных функций
следующие:
, 
.
.
. (9.1)
, то
.
и 
непрерывны, то 
.
, то 
на 
, и доказываемое неравенство выполняется. Пусть 
. Число 
очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где 
и 
, имеем
.
, а так как 
, то 
, что и требовалось доказать.
(9.2)
. Сопоставим функции 
ее ряд Фурье 
(9.3)
.
– частичная сумма ряда Фурье; 
– произвольная линейная комбинация функций 
где 
.
(9.4)
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
, т.е. среди всех функций 
функция 
дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции 
выполняется равенство Парсеваля
, (9.5)
; 
. 
. (9.6)
.
являются 2L
-периодичными: 
.
.
.
. 
по системе функций (9.6) имеет вид
, (9.7)
. (9.8)
выполняется равенство Парсеваля 
, 
ее ряда Фурье, 
. 
удовлетворяют на промежутке [–L
, L
] условиям Дирихле, то функция 
. (9.9)
.
, (10.1)
. (10.2)
и 
через показательную функцию от мнимого аргумента:
, (10.3)
;
;
. (10.4)
, где 
– комплексное число, в ряд Фурье на промежутке 
.
.
, то 
, 
.
, (10.5)
.
, (10.6)
;
.
.
; 
.
; 
.
, (11.1)
; (11.2)
–
частота k
-й гармоники; 
.
. (11.3)
величина 
. Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции 
по переменной w в промежутке 
. Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при 
вместо ряда получим интеграл
. (11.4)
, во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке 
, т.е. интеграл 
сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L
, L
). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к 
, т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х
из промежутка 
. Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке. 
. (12.1)
непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция 
непрерывна на промежутке 
, то 
, (12.2)
, поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция 
непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы). 
. (12.3)
, определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции 
. В свою очередь, формула (12.3) определяет 
как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции 
. Равенство (12.3) при заданной функции 
задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке 
и суммарной комплексной амплитудой 
. Функция 
называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде 
,
. 
и 
– Фурье-образы вещественных функций 
и 
соответственно. Тогда
; (12.4)
, (12.5)
. Заменив функцию 
ее выражением (12.3) через Фурье-образ 
.
. 
, т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при 
.
четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать 
, также является вещественной четной функцией. Действительно, 
.
. (12.6)
вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус. 
.
и 
– соответственно четная и нечетная функции переменной w, то 
. (12.7)
нечетна, то ее преобразование Фурье 
, где 
– вещественная нечетная функция от w. При этом 
; (12.8)
. (12.9)
только для 
. Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке 
. В этом случае при 
интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при 
к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.
.
где 
:
.
.
. 
, если 
.
; 
.
.
.
, применив к функции 
, где 
, преобразование Фурье и введя замену 
; 
.
, и, следовательно, с заменой 
можно записать
.
; 
.
,
является Фурье-образом функции 
, будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: 
.
, где 
. Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.
, где 
. Обозначив 
, получим
, где 
. Введя замену 
, получим 
.
, (13.1)
. Действительно,
.
и 
называется функция 
.
: 
.
,
, получим 
=
=
,
и ее производная 
абсолютно интегрируемы на промежутке 
.
интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при 
. Следовательно, существует конечный предел 
. При этом 
, ибо в противном случае функция 
была бы неинтегрируемой на промежутке 
. Точно также доказывается, что 
.
.
.
.
соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель 
. Аналогично, если функция 
имеет абсолютно интегрируемые производные до n-
го порядка включительно, то
, 
.
, (13.2)
. 
,
.
(13.3)
, удовлетворяющее начальному условию
. (13.4)
, проинтегрируем его по х
от 
до 
. Тогда
, (13.5)
– Фурье-образ функции 
.
.
переменной t
, где w – параметр. 
. (13.6)
.
– прообраз функции 
: 
. (13.7)
. Поэтому
.
,
. (13.8)
, (13.9)
. (13.10)
, физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны 
задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа 
, где 
и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики 
– скорость возмущенного движения в точке 
в момент времени 
; 
– скорость звука в невозмущенной среде и т.д. 
(13.11)
.
. (13.12)
возмущение 
сохраняет постоянное значение 
, если переменные 
и 
связаны зависимостью: 
. Иными словами, возмущенное состояние 
переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью 
. Поэтому говорят, что функция 
определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а
. Аналогично, функция 
задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а
. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а
в уравнении (13.9): а
– это скорость распространения возмущений в среде. 
есть результат сложения волн 
и 
, вышедших в момент времени 
из точек с координатами 
и 
соответственно. 
можно представить в виде «суммы» гармоник; если 
задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если 
и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию 
называется оригиналом, если выполняются следующие условия:
для всех отрицательных t
;
растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M
> 0 и c
> 0, что 
для всех t
.
. очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю. 
удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение
будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H
(t
) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t
.
и т.п.
при 
(доказательства следует найти самостоятельно).
, а также функции вида 
являются оригиналами.
, (14.1)
– комплексный параметр.
, где с
– показатель роста f
(t
). В самом деле, по определению оригинала имеем 
. Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом 
, и, следовательно, сходится абсолютно в Пс
.
(14.2)
(14.3)
. Функция 
называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала 
. Тот факт, что 
или 
.
и 
.
, что непосредственно следует из неравенства (14.2).
.
, получим
.
. Действительно, 
.
. По определению преобразования Лапласа имеем
.
при 
. Выполнив в последнем интеграле замену 
, получим
.
оригинал 
, то 
– показатель роста 
.
. Таким образом, Лаплас-образ функции 
является Фурье-образом функции 
.
(14.4)
, то 
.
по теореме запаздывания получим
;
;
;
.
, где 
. Тогда при 
.
, поэтому
.
, то 
является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу
(15.1)
.
, в силу периодичности 
будем иметь
.
Так как при 
, то ряд сходится, и его сумма равна 
, откуда и следует доказываемое утверждение.
с периодом Т
= 1).
.
, где 
, а числа 
образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде 
, 
,
– функция, определенная для всех 
.
, где 
. Тогда 
, и по теореме запаздывания
.
;
;
,
.
(15.2)
. (15.3)
семейство функций 
расходится, так как 
– дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): 
. Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки 
, где она равна 
.
.
; 
.
(15.4)
(15.5)
(15.6)
.
и 
называется функция 
.
Имеем 
. Так как 
при 
то
. (16.1)
, следует самостоятельно.
и 
, то 
.
,
.
. Тогда
,
, если его Лаплас-образ 
.
.
,
.
,
и 
.
то 
.
.
и 
– оригиналы и
, то
. (16.2) 
.
.
, что и требовалось доказать.
, то 
, т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p
.
– оригинал с показателем роста 
, то его изображение 
имеет в области 
производные любых порядков.
можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).
, то 
, т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на 
. Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p
, получим
.
, следовательно, 
,
.
– оригиналы и 
, то
,
. Так как в силу (14.3) имеем 
, то
.
и 
, то 
.
.
.
, то по теореме 5
.
.
.
, (16.3) 
. (16.4)
непрерывно в замкнутой области 
. Переходя к пределу в (14.3) при 
, приходим к требуемому результату.
, то 
.
, то в силу (14.4)
.
справедливо равенство
.
– оригиналы, то 
. Действительно, по теореме 3 
. (16.5)
(см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при 
, получим требуемый результат. 
– оригиналы и существует конечный предел 
, то
. (16.6) 
. (16.7) 
. (16.8)
, имея в своем распоряжении только их изображения.
, где 
.
, где 
и 
– дифференцируемые функции. Введем 
как полюсы функции 
, т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если 
, получим формулу Хевисайда:
. (17.1)
– правильная рациональная дробь. Представим 
в виде суммы простейших дробей:
. (17.2)
Коэффициенты 
найдем из тождества (17.2), переписав его в виде
,
.
и перейдем к пределу при 
. Учитывая, что 
и 
, получим
,
вещественны, то комплексные корни многочлена 
, (17.3)
, вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.
, где 
. Таким образом, вещественным корням (
) соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями 
– затухающие колебания, чисто мнимым корням 
– незатухающие гармонические колебания. 
не имеет корней с положительными вещественными частями 
, то при достаточно больших значениях 
, (17.4)
;
– чисто мнимые корни многочлена 
с положительными мнимыми частями.
и поэтому не входят в установившийся режим. 
.
. Выпишем корни многочлена 
: 
. 
.
, 
, так как числа 
– корни уравнения 
. Следовательно,
.
,
.
, помимо очевидного корня 
, имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции 
. Решая уравнение 
, получим 
, откуда 
. 
имеют вид 
, где 
;
;
(18.1)
) с начальными условиями
. (18.2)
. (18.3)
. (18.4)
, (18.5)
(характеристический многочлен); 
.
. (18.6)
в принятых обозначениях можно записать
;
;
.
.
.
.
.
с начальными условиями 
, где 
. 
.
.
.
с нулевыми начальными условиями, где 
– ступенчатая импульсная функция.
.
; 
.
.
. В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс 
. Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат. 
, 
– упругая сила; 
– функция Дирака. Решим операторное уравнение 
,
. При 
.
(случай резонанса), то 
.
.
. Операторное решение в этом случае имеет вид
.
– оригинал для 
. тогда по теореме 1 § 16 получим
. (18.7)
, полагая
(18.8)
– начальные значения искомого решения 
.
, и следовательно, 
.
, полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных. 
и 
.
.
. Тогда 
, и для определения 
получим уравнение 
с однородными начальными условиями. 
, весовая функция 
. По формуле Дюамеля 
.
.
, (18.9)
– вектор искомых функций; 
– вектор правых частей; 
– матрица коэффициентов; 
– вектор начальных данных.
, (18.10)
– Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно. 
, (18.11)
; Е
– единичная матрица.
операторного решения
(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).
весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для 
, где 
Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь
. (18.12)
. (18.13)
.
,
. Тогда 
;
.
.
.
.
, проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) 
на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции 
и 
связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника. 
,
– сопротивление двухполюсника. 
,
– индуктивность двухполюсника.
,
– начальный заряд на его обкладках.
цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения. 
и операторное напряжение 
как изображения функций 
и 
соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:
.
, 
. Величину, обратную 
, 
называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.
и 
имеем 
; 
и 
, откуда 
, и следовательно, импеданс цепи 
. Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами 
и 
получим 
, 
, 
, откуда 
, и следовательно, адмитанс цепи 
.
, индуктивности 
и емкости 
, шунтированной сопротивлением 
, то ее импеданс 
. 
, то операторный ток в ней определяется соотношением 
, 
.
представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости 
, что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний. 
,
; 
– чисто мнимые полюсы функции 
с положительными мнимыми частями; 
– мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция 
не имеет кратных полюсов. 
. Тогда
; 
;
,
.
,
– амплитуда гармоники с частотой 
, bk
– ее начальная фаза; 
; g
. Тогда 
. (19.1)
и 
называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.
, как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а
и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой 
и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину
. Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ 
, его адмитанс 
. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно
;
. (19.2)
. 
, наибольший коэффициент усиления сигнала равен 
, сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.
– удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; 
– коэффициент утечки тока; 
и 
– ток и напряжение в точке с координатой х
в момент времени 
. Тогда для участка линии между точками х
и 
по известным законам физики будем иметь
;
. (19.3)
и 
:
;
. (19.4)
. (19.5)
. Тогда краевые условия запишутся в виде
, (19.6)
– длина линии.
с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему
, (19.7)
и 
– изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в
, (19.8)
.
; 
, (19.9)
; 
; 
; 
– параметр преобразования Лапласа по переменной х
.
.
,
.
;
. (19.10)
. (19.11)
;
. (19.12)
и 
будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения 
, откуда 
и 
, 
Следовательно, нули функции 
– это числа 
, расположенные в левой полуплоскости 
. Поэтому, если 
– чисто мнимые полюсы функции 
с положительными мнимыми частями.
, то 
, и следовательно, в установившемся режиме
;
.
2.
. 4.
.
6.
8.
12.
14.
16. 
18. 
20. 
26.
28.
30.
:
2.
4. 
6. 
8. 
14.
16.
18.
20.
22. 
24. 
26. 
28. 
30. 
=
2.
4.
6.
8.
10.
12.
. 14.
. 15.
.
. 17.
. 18.
.
; 
;
;
;
.
следующих функций:
2.
.
. 5.
.
следующих функций:
4.
.
. 6. 
. 7. 
.
. 2. 
.
. 4. 
.
. 6. 
.
. 
.
.
.
.
.
. 14. 
.
. 16. 
. 
. 18. 
.
.
.
.
.
. 
. 25. 
. 
.
. 
.
.
.
.
.
.
.
.
. 6. 
. 7. 
.
.
.
. 11. 
.
.
.
.
.
. 17. 
. 19. 
.
.
.
. 23. 
.
. 25. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 7. 
.
. 9. 
. 10. 
.
. 12. 
. 13. 
.
. 15. 
. 16. 
.
. 18. 
.
. 2. 
.
. 4. 
. 5. 
.
. 2. 
.
. 4. 
.
. 6.
. 7.
.