Реферат: Операторный метод анализа переходных колебаний в электрических цепях
Название: Операторный метод анализа переходных колебаний в электрических цепях Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат |
Академия России Кафедра Физики Реферат ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях Орел 2009СодержаниеВступлениеОсновные свойства преобразования ЛапласаЗаконы Кирхгофа и Ома в операторной формеОператорные схемы замещенияЛитература ВСТУПЛЕНИЕ Действия над многозначными числами, как известно, существенно упрощаются при использовании логарифмов. Так операция умножения сводится к сложению логарифмов, деление – к вычитанию логарифмов и т. д. Каждому числу соответствует свой логарифм и поэтому логарифм можно рассматривать как своего рода изображение числа. Так, например, В основе операторного метода также лежит понятие об изображении. Однако если в случае логарифмов речь шла об изображении числа, то в операторном методе используется изображение функций времени. Здесь каждой функции времени Функция Фраза "функция Знак Основанный на таком представлении функций метод получил название операторного и используется для аналитического решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей. Решение задачи при этом как бы разбивается на 3 этапа. На первом этапе осуществляется переход из временной области в операторную, на втором – решение задачи в операторной форме и на третьем – обратный переход в область реального времени. Основные свойства преобразования Лапласа Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:
Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции
Отыскание Основные свойства и правила этих преобразований: Свойство единственности . Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал. Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:
Преобразование операции дифференцирования.
Если оригинал
то его изображение имеет вид:
При нулевых начальных условиях (ННУ) Преобразование операции интегрирования . Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:
то его изображение имеет вид: Теорема запаздывания (оригинала)
.
Если Теорема смещения (изображения).
Если Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках. Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для Действительно, согласно первому закону Кирхгофа: Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:
и следовательно, алгебраическая сумма
При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток). Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей. Элемент резистивного сопротивления.
Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока. Элемент индуктивности.
Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока. Элемент емкости.
Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока. Выражения представляют закон Ома в операторной форме. Выводы: – законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях; – все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме. Операторные схемы замещения реактивных элементов Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:
Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1. а) б) в) Рис. 1 Они являются следствием преобразования следующих выражений:
Здесь следует иметь в виду два обстоятельства: направление операторного тока должно совпадать с направлением тока через индуктивность в момент непосредственно предшествующий коммутации и второе, что реально существует один элемент, поэтому операторный ток через индуктивность в схеме замещения определяется в общей ветви (рис. 1б). Заряженная емкость отображается схемами замещения, показанными на рисунке 2б, в. а) б) в) Рис. 2 Они являются следствием преобразования следующих выражений:
Здесь напряжение операторного источника совпадает с напряжением на емкости до коммутации, а операторное напряжение на емкости определяется между зажимами 1 – 1¢. Применение операторных схем замещения реактивных элементов, находящихся при ненулевых начальных условиях, дает возможность применять закон Ома в операторной форме, что широко используется на практике и, в частности, при рассмотрении свободных колебаний в электрических цепях. Известно, что такие колебания возникают за счет энергии, запасенной реактивными элементами при отключении внешних источников. Следует иметь в виду, что указанная коммутация может осуществляться как путем механического отключения, так и путем гашения источников. В последнем случае источник напряжения заменяется коротким замыканием, а источник тока – обрывом. При решении задач приходится осуществлять переход от обычной к операторной схеме. Если реактивные элементы находятся при ННУ, то такой переход не вызывает особых затруднений. Например, на рисунке 3, а показана исходная схема, а на рисунке 3, б – эквивалентная ей операторная. а) б) Рис. 3 Если же реактивные элементы находятся при ненулевых начальных условиях, то в операторной схеме они должны быть отображены схемами замещения. Пример. Пусть в цепи, изображенной на рисунке 4 в момент Рис. 4 Так как реактивные элементы в данном случае находятся при ненулевых начальных условиях, то предварительно следует определить Рис. 5 Видно, что Таким образом Рис. 6 Далее находится требуемая реакция в операторной форме, а затем осуществляется переход в область реального времени. Вывод: нахождение реакций при ненулевых начальных условиях требует применения схем замещения в операторной форме и является более сложной задачей, чем при ННУ. Литература1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986. 2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: ОВВКУС 1981. |